专题06 反比例函数图像及性质一．选择题（共9小题）1．（2022秋•崇川区期中）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）A．y=x3B．y＝x2C．y=―3xD．y=1x22．（2022春•东海县期末）反比例函数y=a3x的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a≥﹣3 3．（2022春•吴江区期末）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）A．y=x3B．y=3x1C．y=3xD．y＝3x4．（2022春•亭湖区校级期中）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y=kx在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）A．B．C．D．5．（2023春•惠山区校级期中）已知反比例函数表达式为y=―6x，则下列说法正确的是（ ）A．函数图象位于第一、三象限B．点（2，3）在该函数图象上C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当y≥﹣2时，x≥36．（2022秋•射阳县校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y=―kx（k为常数且k≠0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．7．（2021春•工业园区校级期末）若反比例函数y=2m1x的图象在第二，四象限，则m的取值范围是（ ）A．m＞12B．m＜12C．m＞2D．m＜28．（2022春•靖江市校级期末）下列函数y＝﹣8x，y＝5x﹣1，y=6x，y=12x（x＞0），y=―1x（x＜0）中，y随x的增大而减小的（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个9．（2022春•靖江市期末）如图，在直角坐标系中，点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=kx（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，若四边形ACBD的面积等于k的值为（ ）A．4 B．C．4D二．填空题（共8小题）10．（2022春•淮安期末）反比例函数y=kx的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是 ．11．（2022春•无锡期末）若反比例函数y＝（m+1）x2―m2的图象在第二、四象限，m的值为 ．12．（2022春•海州区期末）已知在反比例函数y=2k1x图象的每个象限内，y随x增大而增大，则常数k的取值范围是 ．13．（2022春•靖江市校级期末）对于反比例函数y =―2x，当0＜x ≤a （a ＞0）时y ≤﹣1恒成立，则a 的取值范围为 ．14．（2022春•高新区校级期末）若反比例函数y =(m +1)x 3―m 2的图象在第二、四象限，m 的值为 ．15．（2023春•苏州期中）若反比例函数y ＝（m +2）x |m |﹣5的图象在第一、三象限，则m 的值为 ．16．（2022春•工业园区期中）直线y ＝k 1x +b 与双曲线y =k 2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x＞k 1x +b 的解集为 ．17．（2022秋•大丰区期末）如图，曲线AB 是抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是抛物线顶点），曲线BC 是双曲线y =k x（k ≠0）的一部分，A 、C两点的纵坐标相等，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C”的过程，形成一组波浪线，若点P （2023，m ）和Q （x ，n ）是波浪线上的点，则m +n 的最大值为 ．三．解答题（共9小题）18．若反比例函数y =2m 1x m 2―24的图象经过第二、四象限，求函数的解析式．19．（2020春•南京期末）我们已经学习过反比例函数y =1x的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数y =―1x 2的图象和性质进行探索，并解决下列问题：（1）该函数的图象大致是 ．（2）写出该函数两条不同类型的性质：① ；② ；（3）写出不等式―1x2+4＞0的解集．20．（2020春•江都区期末）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y=4x1的图象性质．（1）补充表格，并画出函数的图象．①列表：x…﹣3﹣10235…y…﹣1﹣2﹣441…②描点并连线，画图．（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ；（3）函数y=4x1的图象是由函数y=4x的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 ；（4）根据上述经验，猜一猜函数y=4x1+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 ．21．（2021春•高港区期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数y=1x1图象与性质的过程补充完整：（1）函数y=1x1的自变量x的取值范围是 ；（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m、n的值；m＝ ，n＝ ；x…﹣2﹣1012n234…y…―13m﹣1﹣2211213…（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ；（5）根据图象直接写出1x1＞―1时x的取值范围： ．22．（2020秋•崇川区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x＝0时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x=―12时y的值．23．已知反比例函数y=k1x，（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．24．（2022春•镇平县期中）已知反比例函数y=1kx的图象经过A（2，﹣4）．①求k的值．②这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？③画出函数的图象．④点B（﹣2，4），C（﹣1，5）在这个函数的图象上吗？25．我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如113=3+23．同样的，我们也可以把某些分式写成类似的形式，如3xx1=3x33x1=3(x1)3x1=3+3x1．这种方法我们称为“分离常数法”．（1）如果x3x1=1+ax1，求常数a的值；（2）利用分离常数法，解决下面的问题：当m取哪些整数时，分式3mm1的值是整数？（3）我们知道一次函数y＝x﹣1的图象可以看成是由正比例函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，函数y=2x1的图象可以看成是由反比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到．那么请你分析说明函数y=3x2x2的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？26．请借鉴以前研究函数的经验，探索函数y=6x1+2的图象和性质．（1）自变量x的取值范围为 ；（2）填写下表，画出函数的图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10234567…y…10.80.5﹣1﹣48（3）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；（4）若x＞3，则y的取值范围为 ；若y＜﹣1，则x的取值范围为 ．。
第二十六章反比例函数培优训练反比例函数中的面积问题人教版2024—2025学年九年级下册一、知识梳理利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线y＝上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|结论2：在直角三角形ABO中，面积S=0.5|k|结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|二、典型习题（一）选择题1．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y 轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．4D．不能确定2.如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S的△BEF值是（）A．6B．7C．8D．93．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（）A．2B．2.5C．3D．3.54．如图，是反比例函数y1＝和y2＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两＝3，则k2﹣k1的值是（）点，若S△AOBA．8B．6C．4D．25．已知：如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC 在y轴的正半轴上，且OA＝2OC，直线y＝x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是，则a、b的值分别为（）A．a＝2，b＝3B．a＝3，b＝2C．a＝﹣2，b＝3D．a＝﹣3，b＝26．两个反比例函数C1：和C2：在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．1B．2C．3D．47．如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y＝的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD ＝4GN．则k的值是（）A．5B．1C．3D．28．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（）A．2B．3C．4D．59．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（）A．B．C．D．（二）填空题1.如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．2.如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象y＝上．作P A⊥x轴于点A，QC⊥P A交延长线于点C，则△PQC的面积为．（用含k的式子表示）3.如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S▱ABCO＝3，则实数k的值为．4.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为．6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是．7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：①k＝2；②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；③A'E的最小值是；④∠B'BD＝∠BB'O．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）（三）解答题1．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象直接写出不等式mx+n＞的解集；（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP ＝4S△OBD，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且OD:OC＝2．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；3．如图，点A1，A2，A3，…，A n，A n+1为反比例函数y＝（k＞0）图象上的点，其横坐标依次为1，2，3，…，n，n+1．过点A1，A2，A3，…，A n作x轴的垂线，垂足分别为点H1，H2，H3，…，H n；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点A n+1作A n+1B n⊥A n H n于点B n．记△A1B1A2的面积为S1，△A2B2A3的面积为S2，…，△A n B n A n+1的面积为S n．（1）当k＝2时，点B1的坐标为，S1+S2＝，S1+S2+S3＝，S1+S2+S3+⋯+S n＝（用含n的代数式表示）；（2）当k＝3时，S1+S2+S3+⋯+S n＝（用含n的代数式表示）．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．（1）求k的值及点B的坐标．（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝的图象交于M（，4），N（n，1）两点．（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）求△OMN的面积；（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．6．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（﹣2，0），C（6，0），反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与AB交于点D（m，4），与BC交于点E．（1）求m，k的值；（2）点P为反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上一动点（点P在D，E 之间运动，不与D，E重合），过点P作PM∥AB，交y轴于点M，过点P作PN∥x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．（1）求k的值；（2）利用图象直接写出时x的取值范围；（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC ＝2S△OCD，求点C的坐标．。
3.6突破训练：反比例函数类型题举例类型体系（本专题共61题73页）考点1：与面积相关的反比例函数问题典例：（2021·长春净月高新技术产业开发区华岳学校期中）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数y ＝k x（x ＞0）的图象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2，4)，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连接OA ，AB ．（1）求k 的值．（2）若点D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．【答案】（1）8；（2）10【解析】解：（1）将点A 的坐标为（2，4）代入y ＝k x（x ＞0），可得k ＝xy ＝2×4＝8，∴k 的值为8；（2）∵k 的值为8，∴函数y ＝k x 的解析式为y ＝8x．∵D 为OC 中点，OD ＝2，∴OC ＝4．∴点B 的横坐标为4．将x ＝4代入y ＝8x ．可得y ＝2．∴点B 的坐标为（4，2）．∴S 四边形OABC ＝S △AOD +S 四边形ABCD ＝1124(24)222´´+´+´＝10．方法或规律点拨本题主要考查了反比例函数图象上点的特征和四边形的面积，运用数形结合思想是解答此题的关键．巩固练习1．（2020·宁波市第七中学期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数k y x =（k>0，x>0）的图象上有A 、B 两点，它们的横坐标分别为2和4，∆ABC 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12【答案】B 【解析】∵反比例函数k y x =(k ＞0，x ＞0)的图象上有A 、B 两点，它们的横坐标分别为2和4，∴A(2，2k )，B(4，4k )，作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∵S △ABO =S △AOC +S 梯形ACDB -S △BOD =S 梯形ACDB =6，∴()1426224k k æö+-=ç÷èø，解得8k =，故选：B ．2．（2020·山西初二月考）如图，已知点A 是反比例函数()60y x x =>图象上一点，过点A 作AB x ^轴于点B ，交反比例函数()20=>y x x的图象于点C ，连接OA OC 、，则OAC D 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】A 【解析】由题意知，1632AOB S =´=V ，1212COB S =´=V ，∴OAC D 的面积312AOB COB S S =-=-=V V ，故选A ．3．（2020·河北石家庄·初三月考）如图，ABC D 的顶点A 在反比例函数(0)k y x x =>的图像上，顶点C 在x 轴上，//AB x 轴，若点B 的坐标为(1,3)，2ABC S D =，则k 的值为（ ）A．4B．-4C．7D．-7【答案】C【解析】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC=12（a-1）×3=2，∴a=73，∴点A（73，3）∵点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k=7，故选C．4．如图，点A在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )A．3B．2C．32D．1【答案】C【解析】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △CAB ，而S △OAB =12|k|=32，∴S △CAB =32，故选C ．5．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校月考）如图，已知11OP A V 、122A P A △、233A P A △、…均为等腰直角三角形，直角顶点1P 、2P 、3P 、…在函数4y x=()0x >图象上，点1A 、2A 、3A 、×××在x 轴的正半轴上，则点2010P 的横坐标为______．【答案】2【解析】分别过1P 、2P 、3P 作x 的垂线，垂足为1H ，2H ，3H ，则11OPH △，122A P H △，233A P H △为等腰直角三角形，设111OH PH a ==，则24a =，解得2a =（负值舍去），即1P 的横坐标为2，∴OA 1=4，设1222A H P H b ==，则()44b b +=，解得(21b =-+（负值舍去），即2P 的横坐标为(421b +=+，同理：设2333A H P H c ==，则()224a b c c ++=，解得：(2c =（负值舍去），即3P 的横坐标为2+，所以n P 的横坐标为2，所以2010P 的横坐标为2+．故答案为：2+．6．（2020·山西初二月考）如图，点A 是反比例函数()60y x x=-<图象上一点，过点A 作AB x ^轴于点B ，交反比例函数()20y x x=-<的图象于点C ，过点A 作AD y ^轴于点D ，交反比例函数()20y x x=-<的图象于点E ，连接OE ，OC ，则四边形OCAE 的面积为________．【答案】4【解析】∵点A 在反比例函数()60y x x=-<图象上，∴点A 与坐标轴围成的矩形ABOD 的面积是k ＝6，∵点C 、E 在反比例函数()20y x x=-<图象上，∴S △BOC ＝S △DOE ＝k 2＝1，∴四边形OCAE 的面积＝S 矩形ABOD －S △BOC －S △DOE ＝4，故填：4．7．（2019·山东初三三模）如图，点A ，B 在反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为_____．【答案】3【解析】解：过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，点A ，B 在反比例函数y ＝1x （x ＞0）的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2，∴A （1，1），B （2，12），∵AC ∥BD ∥y 轴，∴C （1，k ），D （2，2k ），∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32，111112222OAC COM AOM k S S S k \=-=´-´´=-V V V ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1111122224-æöæö=+´-´+´=ç÷ç÷èøèø，1132242k k -\-+=，∴k ＝3，故答案为3．8．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象分别交矩形OABC的边AB、BC于点D、E，且BE＝2CE，若四边形ODBE的面积为7，则k的值为_____．【答案】7 2【解析】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积＝△OCE的面积，∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝12四边形ODBE的面积＝72，∵BE＝2EC，∴△OCE的面积＝12△OBE的面积＝1722´，∴k＝72；故答案为72．9．（2020·长沙市雅礼雨花中学一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝4x（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为_____．【答案】12【解析】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，设E点的坐标是（a，b），∵双曲线y＝4x（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，∴OA＝b，AB＝3a，∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，故答案为：12．考点2：与几何图形有关的反比例函数问题典例：（2020·河南郑州外国语中学初三其他）如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点B（3，﹣2），以AB为边在y轴右侧作正方形ABCD，反比例函数kyx=（x＞0）恰好经过点D．（1）求D点坐标及反比例函数解析式；（2）在x轴上有两点E，F，其中点E使得ED+EA的值最小，点F使得|FD﹣FA|的值最大，求线段EF的长．【答案】（1）D（4，5），20yx=；（2）8021EF=【解析】（1）作DM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，∵点A （0，2），点B （3，﹣2），∴OA =2，ON =2，∴AN =4，BN =3，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =90°，AB =AD ，∴∠NAB +∠DAM =90°，∵∠NAB +∠ABN =90°，∴∠DAM =∠ABN ，在△ANB 和△DMA 中，90ABN DAM ANB DMA AB AD Ð=ÐìïÐ+Ð=°íï=î，∴△ANB ≌△DMA （AAS ），∴AM =BN =3，DM =AN =4，∴OM =5，∴D （4，5），∵反比例函数k y x =（x ＞0）恰好经过点D ．∴k =4×5=20，∴双曲线为20y x=；（2）如图2所示：作A 点关于x 轴对称点A ′，连接DA ′，交x 轴于点E ，此时ED +EA的值最小，∵A （0，2），∴A ′（0，﹣2），设直线DA ′的解析式为：y ax b =+，把A （0，﹣2），D （4，5）代入得245b a b =-ìí+=î，解得：742a b ì=ïíï=-î，故直线DA ′解析式为：724y x =-，当0y =则87x =，故E 点坐标为：（87，0），延长DA 交x 轴于F ，此时|FD ﹣FA |的值最大，设直线AD 的解析式为y mx n =+，把A （0，2），D （4，5）代入得245n m n =ìí+=î，解得342m n ì=ïíï=î，∴直线AD 的解析式为324y x =+，当0y =则83x =-，∴F （83-，0），∴88807321EF =+=．方法或规律点拨本题属于反比例函数与几何的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及最短路线问题等知识，根据题意得出E ，F 点坐标是解题关键．巩固练习1．（2021·吉林长春外国语学校期中）如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°的直角三角板按照如图方式摆放，顶点A 、B 的坐标为（1，4）、（4，1），直角顶点C 的坐标为（4，4），若反比例函数k y x=0x >（）的图象与直角三角板的边有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．48k ££B ．2584k ≤≤C ．416k ££D ．25164k ≤≤【答案】C 【解析】解：由题意得：当反比例函数经过△ABC 的顶点C 时，把点()4,4C 代入得：k=16；当反比例函数经过点A 时，把点()1,4A 代入得：k=4；当反比例函数经过点B 时，把点()4,1B 代入得：k=4，∴若反比例函数ky x =0x >（）的图象与直角三角板的边有交点，则k 的取值范围为416k ££；故选C ．2．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC V 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，点D 是x 轴上一点，连接CD 、AD ．若CB 平分OCD Ð，反比例函数(0,0)k y k x x =<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，且CE DE =，ACD △的面积为12，则k 的值为（ ）A ．－4B ．－8C ．－12D ．－16【答案】B【解析】解：连接OE ，过点E 作EF ⊥OD 于点F ，过点C 作CG ⊥OD 于点G ，则EF ∥CG ，∵CE=DE ，∴DF=FG ，EF=12CG ，∵反比例函数(0,0)k y k x x =<<的图象经过CD 上的两点C 、E ，∴S △OCG ＝S △OEF ＝12|k|，∴12OG•CG=12OF•EF ，∴OF=2FG ，∴DF=FG=OG ，∴S △OEF ＝23S △ODE ，∵Rt △ABC 的斜边AB 的中点与坐标原点重合，∴OC=OB ，∴∠OBC=∠OCB ，∵CB 平分∠OCD ，∴∠OCB=∠DCB ，∴∠OBC=∠DCB ，∴CD ∥OB ，∴S △OCD =S △ACD =12，∵CE=DE ，∴S △ODE ＝12S △OCD =6，∴S △OEF ＝23S △ODE ＝23×6＝4，∴12|k|=4，∵k ＜0，∴k=-8．故选：B ．3．（2020·湖南初三月考）如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=3x的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是（ ）A．B．4C．D．2【答案】A【解析】如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵反比例函数y=3x的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，由勾股定理得，=∵四边形ABCD是菱形，∴，∴菱形ABCD的面积，故选A．4．如图，点M为反比例函数y＝1x上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（）A．3B．C．2D【答案】C【解析】解：设点M 的坐标为(1,m m )，将1y m =代入y ＝-x+b 中，得到C 点坐标为(11,b m m-)，将x m =代入y ＝-x+b 中，得到D 点坐标为(,m m b -+)，∵直线y ＝-x+b 分别与x 轴，y 轴相交于点A ，B ，∴A 点坐标(0，b)，B 点坐标为(b ，0)∴2=，故选：C ．5．（2020·浙江杭州·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过对角线OB 的中点Ｄ和顶点C ．若菱形OABC的面积为，则k =____【答案】【解析】解：设点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（c，k c），则a•k c ＝D 的坐标为（,22a c k c+），∴•22k a c k k a c c ìïïí=ï+ïî解得，k ＝故答案为：6．如图，一次函数22y x =+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，以AB 为一边在第二象限作正方形ABCD ，反比例函数()0k y k x=¹经过点D ．将正方形沿x 轴正方向平移a 个单位后，点C 恰好落在反比例函数上，则a 的值是_______．【答案】1【解析】解：过点C作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，在y＝2x+2中，令x＝0，解得：y＝2，即B的坐标是（0，2），令y＝0，解得：x＝﹣1，即A的坐标是（﹣1，0）．则OB＝2，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，∵∠OBA＝∠DAF，∠BOA＝∠AFD，AB＝AD，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理可证：△OAB≌△EBC，∴AF＝OB＝EC＝2，DF＝OA＝BE＝1，∴D的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣2，3）．将点D代入kyx=得：k＝﹣3，则函数的解析式是：y＝﹣3x．∴G的坐标是（﹣1，3），∴当点C与G重合时，正方形沿x轴正方向平移了1个单位，即a＝1．故答案为1．7．如图，已知菱形OABC ，OC 在x 轴上，AB 交y 轴于点D ，点A 在反比例函数1k y x =上，点B 在反比例函数22k y x =-上，OD=2，则2k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】∵四边形ABCO 是菱形，∴AB ∥OC ，∴AB ⊥y 轴，∵OD ＝2，∴A （2k ，2），B （k -，2），∴AB ＝32k ，AD ＝2k ，∵AB ＝OA ，∴OA ＝32k ，∵AD 2＋OD 2＝OA 2，∴（2k ）2＋22＝（32k ）2，∴2k =2故选：A ．8．（2020·四川天府七中月考）如图1，已知点(,0)A a ，(0,)B b ，且a 、b 2(3)0a b +++=，平行四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．图1（1）a =_____，b =_____．D 点的坐标______．（2）点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标．图2（3）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ^，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．图3【答案】（1）1a =-；2b =-；D 的坐标为()1,4；（2）Q 点坐标为(0,6)，(0,6)-，(0,2)；（3）MN HT 的值不发生改变，值为12【解析】解：（1）2(3)0a b ++=0³，2(3)0a b ++³．1030a ab +=ì\í++=î解得：12a b =-ìí=-î(1,0)A \-，(0,2)B -E Q 为AD 中点，1AD \=，设()1,D t ，又Q 四边形ABCD 是平行四边形，(2,2)C t \-。
反比例考点归纳与训练命题点1 反比例函数的图像与性质1．（2022•云南）反比例函数y＝的图象分别位于（）A．第一、第三象限B．第一、第四象限C．第二、第三象限D．第二、第四象限2.（2022•海南）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（1，﹣6）D．（6，1）3．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）4.（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4 5．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（）A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）6．（2022•益阳）反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是（写出一个符合条件的k值即可）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．命题点2 反比例函数解析式的确定类型一直接带点型8．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为．9．（2022•湖北）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为．10．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为．11．（2022•温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．类型二利用几何图形性质求点型12．（2018•遵义）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝类型三利用k得到几何意义求解析式13．（2017•铜仁市）如图，已知点A在反比例函数y＝上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝﹣14．（2016•铁岭）如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数图象上，边CD落在x轴上，点B 在y轴上，AD交y轴于点E，OE：EB＝1：2，四边形BCDE的面积为6，则这个反比例函数的解析式是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为．16．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S＝2，则该反比例函数的解析式为．△AOP故答案为：y＝．17．（2022•东营）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．命题点3 反比例函数与一次函数结合类型一同一坐标系中函数图像的判断18．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象大致是（）A．B．C．D．19．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．20．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．21．（2022•南陵县自主招生）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④22．（2022•贺州）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣kx+b与y＝的图象为（）A．B．C．D．23．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四类型二反比例函数与一次函数综合题24．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（）A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1 25．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2命题点4 反比例函数与几何图形结合25．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 26．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22 27．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（）A．3 B．﹣3 C．D．28．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A．B．C．D．28．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（）A．3 B．5 C．6 D．10 30．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 21．（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（）A．1 B．C．2 D．32．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是．33．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝．34．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC ＝6，则k＝．35．（2022•威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为．命题点5 反比例函数与一次函数及几何图形结合36．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（﹣，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（）A．3 B．C．D．37．（2022•随州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为．38．（2022•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．39．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．（1）k＝，b＝；（2）连接并延长AO，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．40．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+）两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．41．（2022•苏州）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x ＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．（1）求k与m的值；（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．42．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．（1）求反比例函数解析式；（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．43．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．44．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．45．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．46．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B 两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．命题点6 反比例函数的实际应用47．（2022•青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C 三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为（用小于号连接）．48．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：R（Ω）100200220400I（A） 2.2 1.110.55那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝A．49．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．50．（2022•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．。
