某某省某某市鱼台县第一中学2021届高三数学上学期第一次月考（10月）试题（含解析）一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}|24xA x =≤，集合{}|lg(1)B x y x ==-，则AB 等于（）A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2] 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数的性质可得{}|2A x x =≤、{}|1B x x =>，再由交集的运算即可得解.【详解】因为{}{}|24|2xA x x x =≤=≤，{}{}|lg(1)|1B x y x x x ==-=>，所以(]1,2AB =.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题. 2. 复数11i-的共轭复数为（） A.1122i + B. 1122i - C. 1122i -- D. 1122-+i 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化简，再利用共轭复数的定义即可求得正确答案.【详解】()()11111111222i i i i i i ++===+--+, 所以共轭复数为1122i -， 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题. 3. 已知2cos sin αα=，则cos2=α（）A.12 B. 12C. 12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得21sin sin αα-=，即可求得sin α的值，再利用二倍角公式即可求得cos2α的值.【详解】因为22sin cos 1αα+=，且2cos sin αα=，所以21sin sin αα-=，即2sin sin 10αα+-=，1sin 2α=或1sin 2α=（舍）所以221cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题. 4. 已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A. 12B. 10C.【答案】A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5. 在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A.2133b c + B. 5233c b - C. 2133b c - D. 1233b c + 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，故选A ．6. 已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-；②对定义域内的任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是（） A. ()21f x x x =++ B. ()1f x x x=- C. ()ln 1f x x =+ D. ()cos f x x = 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞单调递增. 对于A ，是偶函数，()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；对于B ，函数()f x 是奇函数，不合题意；对于C ，函数()f x 不是偶函数，不合题意；对于D ，函数()f x 在(0,)+∞无单调性，不合题意.【详解】由题意得：()f x 是偶函数，在(0,)+∞单调递增， 对于A ，()()f x f x -=，是偶函数，且0x >时，2()1f x x x =++，对称轴为12x =-，故()f x 在(0,)+∞递增，符合题意；对于B ，函数()f x 是奇函数，不合题意； 对于C ，由10x +=，解得：1x ≠-，定义域不关于原点对称，故函数()f x 不是偶函数，不合题意； 对于D ，函数()f x 在(0,)+∞无单调性，不合题意； 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 7. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A. 49B. 91C. 98D. 182 【答案】B 【解析】 ∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A. 992B. 1022C. 1007D. 1037 【答案】C 【解析】 【分析】首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可.【详解】将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=. 故答案为：C ．【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（）A. 0d <B. 90a =C. 117S S >D. 8S 、9S 均为n S 的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项.【详解】解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>，由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键. 10. 把函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ()0ϕπ<<个单位长度可以得到函数()g x 的图像，若()g x 的图像关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（ ）A.512πB. 712πC. 56πD. 1112π【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得函数()sin223g x x πϕ=+-（），再利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，把函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ()0ϕπ<<个单位长度可以得到函数()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为函数()g x 的图像关于y 轴对称， 所以232k ππϕπ-=+()k Z ∈，所以5212k ππϕ=+()k Z ∈， 当0k =时，512πϕ=；当1k =时，1112πϕ=，故选A,D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11. 给出下面四个推断，其中正确的为（）. A. 若,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b+；B. 若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x y x y +⋅C. 若a ∈R ，0a ≠，则44a a+； D. 若,x y ∈R ，0xy <，则2x yy x+≤-.【答案】AD 【解析】 【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D 正确，选项B ，C 错误. 【详解】解：对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b aa b a b+⨯=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，即选项A 正确；对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x y +⋅即选项B 错误； 对于选项C ，当0a <时，44a a+显然不成立，即选项C 错误； 对于选项D ，0xy <，则0,0y xx y->->，则[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-，当且仅当()()x y y x -=-，即x y =-时取等号，即选项D 正确， 即四个推段中正确的为AD ，故答案为AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题. 12. 对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（） A. 3x =是函数()f x 的一个极值点 B. ()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C. ()f x 在区间(1,2)上单调递减D. 直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题. 三. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．若q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是__________. 【答案】()3,+∞ 【解析】 【分析】由必要不充分条件可得{}2430x x x -+< (){}210x x m x m -++<，结合一元二次不等式即可得解.【详解】因为q 是p 的必要不充分条件，所以{}2430x x x -+< (){}210x x m x m -++<，所以1m ，{}13x x << {}1x x m <<， 所以()3,m ∈+∞. 故答案为：()3,+∞.【点睛】本题考查了由条件间的关系求参数，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.14. 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，12()log (210)f x x =+，则(2020)f =________.【答案】3 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得()(3)f x f x =-，再由函数的周期性和奇偶性可得()()20201f f =--，由对数的运算即可得解.【详解】因为奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，所以()(3)(3)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为3的周期函数, 所以()()()()()1220201673311log 2103f f f f =+⨯==--=--+=.故答案为：3.【点睛】本题考查了函数奇偶性与周期性的综合应用，考查了对数的运算，属于基础题. 15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m ︒=.若24m n +=，则m n+=_________.【答案】22 【解析】 【分析】利用同角的基本关系式，可得24cos 18n =︒，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 【详解】因为2sin18m =︒，24m n +=，所以222444sin 184cos 18n m =-=-︒=︒， 所以2sin182cos1822sin(1845)22sin 63sin 63m n +︒+︒︒+︒===︒︒，故答案为22【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题16. 在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=. 【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.四. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC 的面积为c 的值.【答案】（1）T π=（2）c =【解析】【分析】（1）()f x 解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出()f x 的最小正周期；（2）由()1f C =确定出C 的度数，sin 2sin B A =利用正弦定理化简得到2b a =，利用三角形面积公式列出关系式，求出ab 的值，联立求出a 与b 的值，利用余弦定理求出c 的值即可.【详解】解：（1）()112cos cos sin 22262f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期为T π=；（2）()1sin 2162f x C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴1sin 262C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0C π<<，则132666<+<πππC ， ∴5266C ππ+=，3C π∴= ∵sin 2sin B A =，∴2b a =，又ABC 的面积为∴1sin 23ab π=， ∴8ab =，则2a =，4b =，由余弦定理得c ===【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18. 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9n n n S -+-=. 【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，② ①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n nn n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9nn n S -+-∴=. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.19. 已知向量a ＝（3cos 2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x ），且[0,]2x π∈． （1）用cos x 表示a ·b 及|a ＋b |；（2）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值．【答案】（1）a ·b ＝2cos 2x －1，|a ＋b |＝2|cos x |；（2）－1．【解析】分析】(1)先根据向量数量积化解，再根据余弦的和角公式和二倍角公式化解即可得到a ·b ，模长可由模长的坐标公式先表示为三角函数的形式再由余弦二倍角公式化解即可.(2)由（1）可得到函数的解析式，根据余弦函数与二次函数的复合函数，通过配方后再利用二次函数的性质即可.【详解】（1）a ·b ＝3cos 2x cos 2x －3sin 2x sin 2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1， |a ＋b |2|cos x |， ∵[0,]2x π∈，∴cos x ≥0，∴ |a ＋b |＝2cos x ．（2）f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2（cos x ＋1）2－3， ∵[0,]2x π∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝0时，f （x ）取得最小值－1．【点睛】本题考查了向量数量积、余弦的二倍角公式以及复合函数最值的求解，属于中档题目，解题中需要准确应用三角函数的各类公式和复合函数单调性的性质,同时对运算能力也有较高的要求.20. 给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n T <． 【答案】（1）12n n a ，具体选择见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】 （1）若选第一个则可以将3a ，4a ，5a 转化为1a 与q 进行求解；若选第二个则可以利用首项求出a 的值；若选第三个条件则可以利用等比数列前n 项和公式作答；（2）构造新的数列并利用裂项相消法证明即可．【详解】（1）选①进行作答因为34a ，43a ，52a 成等差数列，所以435642a a a =+⇒2333642a q a a q ⋅=+解得1q =（舍)或2q所以12n n a选②进行作答由题意得2n n S a =-因为1121a S a ==-=，所以1a =所以21n n S =-11221n n n S --⇒=-，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =，符合上式，所以12n n a ；若选③作答由37S =，212311177a a a a a q a q ++=+⋅+⋅=即解得2q 或3q =-又因为0q >，所以2q所以12n n a（2）1222121n n b log n -=+=-，1111111()(2)(21)22121n n b b n n n n +==-+-+， 所以11111111(1)(1)23352121221n T n n n =-+-+⋯++=--++ 因为n ∈+N ，所以11121n -<+，所以12n T <，得证． 【点睛】本题属于开放型题目，由我们加一条件进行补充后作答加大了学生的思维量，第二问结合对数函数构造新的数列，并利用裂项相消法证明不等式，考查知识面较为广．21. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将放在机器人上，机器人将送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台（2）90【解析】【分析】（1）由总成本21()150600p x x x =++万元,可得每台机器人的平均成本()p x y x=,然后利用基本不等式求最值； （2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求．【详解】解:（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=,当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩, 当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+, ∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000；当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=,∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）． ∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=．【点睛】本题考查函利用均值定理求最值,考查简单的数学建模思想方法.22. 已知函数()()2ln f x x ax x a R =+-∈． （1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，某某数a 的取值X 围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，使得当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由；（3）当(]0,x e ∈时，证明225(1)ln 2e x x x x >++. 【答案】（1）72a ≤-（2）存在，2a e =（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得2121()2x axf x x a x x +-'=+-=,则可将问题转化为()0f x '≤在[]1,2上恒成立,即12a x x ≤-+在[]1,2上恒成立,设()12h x x x=-+,求得()min h x ,即可求解；（2）先对()g x 求导,再分别讨论0a ≤,10e a <<,1e a ≥时的情况,由最小值为3,进而求解； （3）令()2ln F x e x x =-,结合（2）中知()F x 的最小值为3.再令ln 5()2x x x ϕ=+并求导,再由导函数在0x e <≤大于等于0可判断出函数()ϕx 在(]0,e 上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有2ln 5ln 2x e x x x ->+成,，即225ln ln 2e x x x x x ->+成立,即可得证. 【详解】（1）解:2121()20x ax f x x a x x'+-=+-=≤在[]1,2上恒成立, 即2210x ax +-≤在[]1,2上恒成立, 所以12a x x≤-+在[]1,2上恒成立, 设()12h x x x =-+,则()h x 在[]1,2上单调递减,所以()()min 722h x h ==- 所以72a ≤- （2）解:存在,假设存在实数a ,使()()(]()2ln 0,g x f x x ax x x e =-=-∈有最小值3, 11()ax g x a x x'-=-= ①当0a ≤时,0g x ,则()g x 在(]0,e 上单调递减,所以()()min 13g x g e ae ==-=,解得4a e=（舍去）； ②当10e a <<时,当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0g x ；当1,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则0g x , 所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭,解得2a e =,满足条件； ③当1e a ≥时,0g x ,则()g x 在(]0,e 上单调递减,所以()()min 13g x g e ae ==-=,解得4a e =（舍去）, 综上,存在实数2a e =,使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3.（3）证明:令()2ln F x e x x =-,由（2）知,()min 3F x =, 令ln 5()2x x x ϕ=+,则21ln ()x x x ϕ'-=, 当0x e <≤时,()0x ϕ'≥,则()ϕx 在(]0,e 上单调递增, ∴max 1515()()3222x e e ϕϕ==+<+= ∴2ln 5ln 2x e x x x ->+, 即225(1)ln 2e x x x x >++． 【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.。
