归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础知识归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π
4.
基础题必做
1． 若tan α＝3，则sin 2α
cos 2α的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选D
sin 2αcos 2α＝2sin αcos α
cos 2α
＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A ．－2
2
B.
22
C.
3
2
D ．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22
. 3．已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于( )
A ．－5
3 B ．－19
C.19
D.53
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－1
9.
4．(教材习题改编)若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－
1－cos 2α＝－3
5
，
sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－7210
5．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2
5，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－3
7.
答案：－3
7
解题方法归纳
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则
后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α
＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对
角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
三角函数公式的应用 典题导入
[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4
＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5， ∴2sin α＝10
13，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝3
5.
∴cos α＝1213，sin β＝4
5
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝16
65.
解题方法归纳
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β
的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)已知sin α＝3
5
，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α
2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.
(2) 已知α为锐角，cos α＝
5
5
，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－1
7
C ．－43
D ．－7 解析：(1)
cos 2α
2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝
cos 2α－sin 2α
2⎝⎛⎭
⎫22sin α＋2
2cos α＝cos α－sin α，
∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－4
5. ∴原式＝－7
5
.
(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4
＝－4
3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17
. 答案：(1)－7
5 (2)B
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x
2－3sin x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α
的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x
2
－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，
