双变量回归与相关()

在统计方法中常用简单线性相关与简单线性回 归的方法来研究两变量之间的相互依存和互
为消长的线性关系。
例子
一、基本概念与计算
为直观地判断两个变量之间的关系，可在 直角坐标系中把每对（Xi,Yi）值所代表的 点绘出来，形成散点图。例如21名肝癌患 者血清胆固醇与三酰甘油关系的散点图如 下图所示：
(二) 等级相关系数的计算
例10.6 为了研究肝癌病人分期与血清甲 胎蛋白水平(AFP)之间的相关关系,某研 究人员收集了10例肝癌病人的数据,结果 见表10.9(数据集:例10 06.save)。问:肝癌 病人分期与血清AFP是否有相关关系?
二、SPSS软件实现
三、注意事项
1. 在判断两变量之间是否有线性相关关系时, 按照理论要求,当资料满足双变量正态分布时, 用Pearson相关系数r 表示两变量相关的方向 和密切程度。但在实际应用的过程中,资料满 足的要求有所降低,只要X 和Y 分别满足正态 分布,也可求Pearson相关系数。否则就用 Spearman等级相关系数进行分析,但后者是非 参统计,对数据信息有一定的损失。
一、区别
二、联系
1. 对一组数据若同时计算r 和b,它们的正负号 是一致的,r 为正,说明两变量间的相互关系是 同向变化的。b 为正,说明X 增加一个单位,Y 平均增加b 个单位。
2.r 和b 的假设检验是等价的,即对同一样本,二 者的t值相等。由于r 的假设检验既可直接查 表,计算又比较方便,而b 的假设检验计算较繁, 故在实际应用中常以r 的假设检验代替对II 型 回归模型中b 的假设检验。
第三节 秩 相 关
一、基本概念与计算 (一) 基本概念 两变量间的线性相关分析一般要求两变
量满足双变量正态分布。但实际资料有 时不能满足这些条件,如两变量:①不服从 双变量正态分布;

2. 相关系数的计算
r rXY
2
( X X )(Y Y ) ( X X ) (Y Y )
i i
2
l XY l XX .lYY
( X )( Y ) n
其中
l XY
( X X )(Y Y ) XY
2 ( X X ) 2 X
五、相关分析应用中应注意的问题 1.相关分析要求两个变量是服从双变量正 态分布的资料。 2.进行相关分析前应先绘制散点图，散点 图呈现出直线趋势时，再作分析。
3. 满足应用条件的同一份双变量资料 ，回归系数与相关系数的正负号一 致，假设检验等价。 4. 相关分析时，小样本资料经 t-test 只能推断两变量间有无直线关系， 而不能推断其相关的密切程度。要 推断其相关的密切程度样本含量必 须足够大。
l XX
( X ) 2 n
(n 1)S x
2
lYY (Y Y ) Y
2 2
( Y ) n
2
(n 1) S
2 y
3.相关系数的性质 相关系数r没有测量单位，其数值为 -1≤r≤+1。 r值为正，表示正相关； r值为负，表示负相关； r值为0，则称零相关即无直线关系。 当r值的绝对值为1时，称完全相关。

y 33.73 0.516x
X 68
Y 69
E (Y 72) Y X 72 71
E (Y 64) Y X 64 67
二、线性回归基本概念 当一个变量X 改变时，另一个变量Y 也 相应地改变，此时称X为自变量 (independent variable), Y 为应变量 (dependent variable)。 自变量X：可随机变动亦可人为取值。 因（应）变量Y：被视为依赖于X 而变化的 反应变量。在X 的数值确定时按某种规律 随机变动。

（2）t 检验 t=（b—0）/ Sb，v = n—2，
Sb = S Y，X / √∑（X—x）2＝ 0.2877 /√ 306.6667
= 0.0164
SY，X = √SS剩 / （n—2）=√0.8280÷10＝0.2877 …剩余标准差
t= 0.058826 / 0.0164 = 3.581 查t界值表，p=0.005，按α=0.05水准拒绝无效假设，故可认 为女大学生的肺活量与体重之间的回归方程成立。
2）分析前应绘制散点图；
3）应在实际回归范围内应用，
内插、外延
若无充分理由证明超出自变量取值范围还是直线，则避免外
延。
4）要假设检验，且结论不能绝对化
三、直线相关、回归的区别与联系
1. 区别:
(1)在资料要求上不同; 回归: 要求Y服从正态分布，X是可以精确测量或严格控 制 的。 此类回归一般称 I 型回归。
a = 2.9025—0.058826×49.3333 = 0.000419
故回归方程为：Y = 0.000419 + 0.058826X
3、直线回归方程的图示
3、直线回归方程的图示 在自变量X的实测范围内任取相距较远且易读的两个X值，代入
方程求得两个Y。 如X1=42，Y 1=2.47，X2=58，Y 2=3.41，在图上确定
34.2
5
3
9
9
5.9 9
77.6
10
--1
1
10
10.0 10
合计
55.1
8
2
4
42
基本思想
U和V的差值反映了X、Y的秩次排列一致性的情况。在n一定时,∑d2
的最大值反映X、Y的秩次排列顺序完全相反, 即完全负相关；∑d2=0时 ，反映X、Y的秩次排列顺序完全相同, 即完全正相关。所以，∑ d2 从0 到最大值的范围内的变化，反映X、Y两变量的相关程度

直线相关一、直线相关的概念直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。

其性质可由图9-6散点图直观的说明。

研究两个变量X,Y数量上的相关关系。

目的1. 意义：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。

以符号r表示样本相关系数，符号 表示其总体相关系数。

相关系数没有单位，其值为-1≤r≤1。

r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相关。

图9-6直线相关示意图2. 计算：样本相关系数的计算公式为22()()()()XY XX YY X X Y Y l r l l X X Y Y --==--∑∑∑（9-18）例9-5 对例9-1数据（见表9-1），计算8名儿童的尿肌酐含量与其年龄的相关系数。

由例9-1算得，42XX l =， 1.046YY l =， 5.845XY l =按公式（9-18）5.8450.881842 1.046r ==（一）相关系数的假设检验20, 212r r r t n S rn ν-===---（9-19）例9-6 对例9-5所得r 值，检验尿肌酐含量与年龄是否有直线相关关系？检验步骤0H : 0ρ=，1H : 0ρ≠，α=0.05本例n =8，r =0.8818，按公式（9-19）20.88184.57910.881882t ==--按ν＝6，查t 界值表，得0.0020.005P <<。

按0.05α=水准拒绝0H ，接受1H ，可以认为尿肌酐含量与年龄之间有正的直线相关关系。

若直接查r 界值表(附表13)，结论相同。

（二）总体相关系数的可信区间由于相关系数的抽样分布在ρ不等于零时呈偏态分布（大样本情况下亦如此），所以ρ的可信区间需要先将其进行某种变量变换，使之服从正态分布，然后再估计其可信区间。