高等代数(Ⅱ)试题二
一. 单项选择题 ( 2分⨯5=10分）
1. 设V 是实数域R 上n ( n >1) 阶反对称矩阵构成的向量空间, 则V 的维数是 ( )
A. n
B. n ２
C. 2)1(-n n
D. 2
)1(+n n 2. 下列向量组中, 哪一个可作为向量空间R 3(R 是实数域)的基. ( )
A. { ( 1, 1, 0), ( 0, 1, 1), (1, 2, 1) }
B. { ( 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 1), ( 0, 1, 1) }
C. { ( 1, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 0) }
D. { ( 1, 2, 3 ), ( 1, 2, 4), ( 1, 2, 5) }
3．有限维向量空间V 的线性变换σ关于不同基的矩阵P 与Q 的关系是 ( )
A. P 与Q 相等
B. P 与Q 合同
C. P 与Q 互逆
D. P 与Q 相似
4．设λ是矩阵A 的特征值,β是相应的特征向量,下列说法中正确的是 ( )
A. β线性无关
B. β线性相关
C. β＝０
D. 前三种说法都不对
5．下列表达式中那一个是二次型 ( )
A. f 1
= x +2x 1x 2+x
+x B. f 2
= x +x 2+x 3
C. f 3 = x 1+x 2+x 3
D. f 4 = x 1x 2+ x 1x 2x 3
二. 多项选择题 ( 3分⨯4=12分)
1. 设σ是向量空间V 的线性变换, 下列说法中正确的是 ( )
A. 零向量在σ之下的象是零向量
B. 零向量在σ之下的象不一定是零向量
C. ―α的象是―σ(α)
D. α+β的象是σ(α)+σ(β)
2. 给定矩阵A = ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛300320210, 下列说法中正确的是 ( )
A. A 能与对角形矩阵相似
B. A 不能与对角形矩阵相似
C. A 所有的特征值是2,3
D. A 的行向量线性相关
E. A 的列向量线性相关
3. 下列关于数域构成的向量空间 (运算是普通数的加法与乘法)的说法正确的是 ( )
A. 复数域C 可看成是实数域R 上的向量空间
B. 实数域R 可看成是实数域R 上的向量空间
C. 有理数域Q 可看成是实数域R 上的向量空间
D. 任何数域可看成是有理数域Q 上的向量空间
E. 以上A,B,C,D 四种说法都正确
4. 下列变换中, 哪些是向量空间R 3( R 是实数域)的线性变换 ( )
A. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, 0, 0 )
B. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, x 2, 0 )
C. ( x 1, x 2, x 3 ) → ( x 1, x 2, x 3 )
D. ( x 1, x 2, x 3 ) →
( x , 0, 0 )
E. ( x 1, x 2, x 3 ) →
( x , x , 0 )
三.判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”， 否则画“×”, 2分⨯5=10分）
1．数域F 上任何一个向量空间都与向量空间F n 同构 ( )
2. 任何一个向量空间都有无穷多个向量 ( )
3. n(n>1)维向量空间V 的基是唯一的. ( )
4．设σ是n(n>1)维向量空间V 的线性变换, 且σ是满射, 则σ一定是可逆的线性变换.( )
5．n （n>1）维欧氏空间V 可能有标准正交基，也可能没有标准正交基. ( )
四、计算题（7分⨯4=28分）
1. 求向量组 α1 = (1, 2, 1), α2 = (2, 1, 3)，α3 = (3, 0, 4), α4= (5, 1, 6) 的一个极大线性无 关组. 并把其余向量用该极大线性无关组线性表示.
２．设向量空间F 3的线性变换σ为
σ( x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2, x 1+x 2 )
求σ在基 ε1= ( 1, 0, 0), ε2= ( 0, 1, 0), ε3= ( 0, 0, 1)下的坐标
３. 求矩阵A =----⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪⎪100252241的特征值及相应地特征向量.
4. 设｛ε1,ε2, ε3, ε4｝是向量空间V 的一个基, 且V 的线性变换σ在这个基下的矩阵是
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---2122552131211201. 求σ(V)与Ker σ.
五.证明题（10分⨯4=40分）
1. 若向量组ααα12,,, s 线性无关，而s αααβ,,,,21 线性相关，证明：β可由s ααα,,,21 唯一线性表示.
2.设A 是n 阶正交矩阵, 若 | A| = －1, 证明－1是A 的一个特征值.
3.设σ是向量空间V 的线性变换, ｛ααα12,,, s ｝是V 的一个基, 证明,
σ可逆的充要条件 是σ(α1), σ(α2), … , σ(αn ) 线性无关.
4. 证明, 欧氏空间中两个向量α,β正交的充要条件是: 对任意的实数t, 都有
| α+β | ≥ | α|.
