03随机过程

泊松过程的一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的
泊松过程，若它满足下列条件：
(1) X (0) = 0 ;
(2) X (t) 是独立、平稳增量过程;
(3) X (t) 满足下列两式：
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
x0 解: (1) V t x N t N t x 0 0 x t xt
0 FVt v P V t x 1 e x 1
x0 0 xt xt
E n 1 n 1

或
n1 Ti , E n 1 ETi
i 1 i 1
n 1
n 1
n 1

(3)根据定理3.3,
n ~ n,
P n t F n t 1 e
t

k 0
n 1
n
其中λ称 为Poission过程的强度系数.
s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
例1 顾客到达某商店服从参数 4 人 / 小时的泊 松过程，已知商店上午 9：00 开门，试求 1） 10：00 到 12：00 没有顾客的概率；2）到 9： 30 时仅到一位顾客，而到 11：30 时总计已 达 5 位顾客的概率。
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的 某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程. 此类过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次 数彼此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次 数的概率规律是一样的; (4)普通性:在非常短的时间区段Δt内的理赔次 数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近 似与 Δt成正比.

• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。

20040t0,0t 3
(t)1400, 3t13
140040(0t13)1, 3t16
假设乘客数在不相重叠时间间隔内是相 互独立的，求12时至14时有2000人来站 乘车的概率，并求这两小时内来站乘车 人数的数学期望。
.
15
解 12时至14时为t[7,9]
在[0,t]内到达的乘车人数N(t)服从参数 为(t)的非齐次泊松过程
k0
n1
k
P(N(t) k)P( Xn 0) ept
k0
n1
.
20
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次， 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数.
解
先 求 条 件 分 布 P{h W ksh|X(t)n}
再 对 s求 导 。
s s+h t
0 Tk
Tn
{sTksh} {Tksh}\{Tks} 当 h充 分 小 时 ， 有 X(sh)k
.
10
例：考虑保险公司的全部赔偿.假设参加人寿保险者不 幸死亡的人数N(t)是具有强度为λ的泊松过程.用Yn描 述第n个死亡者（即保险值Yn是独立同分布的）.令X(t) 表示[0,t)内，保险公司必须付出的全部赔偿.令 Yn~E(a),试求[0,t)内保险公司的平均赔偿额，方差和 特征函数.
f (u) a a ju
h
P{X (t) n}
F(s h) F(s) P{X (t) X (s h) n k}
h
P{X (t) n}
令h0，则有
.
23
P{X (t) X (s) n k}
fTk |X (t) (s | n ) fTk (s )
P{X (t) n}

2
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。


3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt