2020届安徽省安庆市桐城市重点中学高三12月月考数学(理)试题(PDF版含答案)

数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|x≥2}，则A∩(∁R B)=()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,2)D. (−2,2]2.已知复数z满足(2−i)Z=|3+4i|，则Z=()A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3.函数y=√log0.5(4x−3)的定义域是()A. (34,+∞) B. (34,1] C. (−∞,1] D. [1,+∞)4.已知a⃗=(1,k)，b⃗ =(k,4)，那么“k=−2”是“a⃗，b⃗ 共线”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件5.古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为()A. 7B. 8C. 9D. 106.设长方体的长、宽、高分别为√3a、√2a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 3πa2B. 6πa2C. 12πa2D. 24πa27.某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是()A. 70B. 75C. 68D. 668.已知tanα=3，则cos(π2−2α)=()A. 35B. 310C. 34D. 3√10109.若a=∫sπ0inxdx，则二项式(a√x−1√x)6的展开式中含x项的系数是()A. 210B. −210C. 240D. −24010.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β11.函数y=(x3−x)2|x|图象大致是()A. B. C. D. 12.斜率为2的直线l过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A. [2,+∞)B. (1,√3)C. (1,√5)D. (√5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={log2x,x>03x,x≤0，则f[f(14)]=______．14.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，则该数列前20项的和为______ ．15.计算(2516)0.5+(278)−13−2π0+4log45−lne5+lg200−lg2=______．16.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集(Ⅰ)求角C的最大值；(Ⅱ)若c=72，△ABC的面积S=32√3，求当角C取最大值时a+b的值．18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？(Ⅱ)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E是CC1的中点，BC=1，BB1=2，AB=√2，∠BCC1=60°．(1)证明：B1E⊥AE；(2)若AB=√2，求二面角A−B1E−A1的余弦值．20. 已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e =√32，它与直线x +y +1=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ ，求椭圆方程．(O 为原点)．21. 函数f(x)=xe x −ax +b 的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1．(1)求a 和b 的值；(2)若f(x)满足：当x >0时，f(x)≥lnx −x +m ，求实数m 的取值范围．22. 在极坐标系中，过曲线L ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)外的一点A(2√5,π+θ)(其中tanθ=2，θ为锐角)作平行于θ=π4(ρ∈R)的直线l 与曲线分别交于B ，C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建系)；(Ⅱ)若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=√|x +1|+|x −2|+a ．(1)当a =−5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R ，试求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∁R B={x|x<2}；∴A∩(∁R B)=(−2,2)．故选：C．进行交集、补集的即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：由(2−i)Z=|3+4i|=5，得Z=52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i．故选：D．把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：要使原函数有意义，则log0.5(4x−3)≥0，即0<4x−3≤1，解得34<x≤1．所以原函数的定义域为(34,1].故选：B．首先由根式有意义得到log0.5(4x−3)≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．4.【答案】A【解析】解：若k=−2，则a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−2,4)，满足b⃗ =−2a⃗，即a⃗，b⃗ 共线，充分性成立，若a⃗，b⃗ 共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立，故“k=−2”是“a⃗，b⃗ 共线”的充分不必要条件，故选：A．根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，先由等比数列前n项和公式求出a1=531，再由等比数列前n项和公式列出不等式，能求出要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为多少天．【解答】解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，则由题意知：S5=a1(1−25)1−2=5，解得a1=531，S n=531(1−2n)1−2≥50，解得2n≥311，由29=512，28=256，∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9天．故选C．6.【答案】B【解析】解：设长方体的外接球的半径为R，则R=12√(√3a)2+(√2a)2+a2=√62a，∴外接球的表面积为：4πR2=4π×64a2=6πa2故选：B．利用长方体的外接球的直径为长方体的体对角线求解．本题主要考查了长方体的外接球，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图，求数据的平均数的问题，在频率分布直方图中，平均数是各小长方形底边中点横坐标与对应小组频率之积的和．根据频率分布直方图，求出该班的平均分是多少即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得：该班的平均分估计是x=(0.005×30+0.01×50+0.02×70+0.015×90)×20=68；故选C．8.【答案】A【解析】解：由tanα=3，得cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2×31+32=35．故选：A．利用诱导公式变形，再化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．9.【答案】C【解析】解：a=∫sπinxdx=−cosx|0π=2∴(a√x−√x)6=(2√x√x)6展开式的通项为T r+1=(−1)r26−r C6r x3−r令3−r=1得r=2，故展开式中含x项的系数是16C62=240故选C．利用定积分求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于1，求出系数即可．本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由l 是直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若l//α，l//β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若l//α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确； 在C 中，若α⊥β，l ⊥α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故C 错误； 在D 中，若α⊥β，l//α，则l 与β相交、平行或l ⊂β，故D 错误． 故选：B ．在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C 中，l 与β相交、平行或l ⊂β；在D 中，l 与β相交、平行或l ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．根据函数y 为奇函数，它的图象关于原点对称，当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，结合所给的选项得出结论． 【解答】解：由于函数y =(x 3−x)2|x|为奇函数， 故它的图象关于原点对称，当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0， 故选B ．12.【答案】D【解析】解：依题意，斜率为2的直线l 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率ba 必大于2，即b >2a ，因此该双曲线的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2>√1+4=√5． 故选：D ．根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a ，b 的关系，然后求出离心率的范围．本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题．13.【答案】19【解析】解：∵函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，∴f(14)=log 214=−2， f[f(14)]=f(−2)=3−2=19． 故答案为：19．先求出f(14)=log 214=−2，从而f[f(14)]=f(−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 14.【答案】300【解析】解：在等差数列{a n }中，∵a 1+a 2+a 3=3，a 18+a 19+a 20=87， ∴a 1+a 2+a 3+a 18+a 19+a 20 =3(a 1+a 20)=3+87=90， 解得a 1+a 20=30， ∴S 20=202(a 1+a 20)=10×30=300．故答案为：300．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出a 1+a 20=30，由此能求出该数列前20项的和． 本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的灵活运用．15.【答案】2312【解析】解：原式=54+23−2+5−5+lg(2×100)−lg2=2312−2+lg2+lg100−lg2=2312−2+2=2312， 故答案为：2312．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．16.【答案】−1【解析】解：∵f(x)=2xf′(1)+lnx ，求导得：f′(x)=2f′(1)+1x ，令x =1，得到f′(1)=2f′(1)+1，解得：f′(1)=−1， 故答案为：−1．对函数f(x)的解析式求导，得到其导函数，把x =1代入导函数中，列出关于f′(1)的方程，进而得到f′(1)的值．此题考查了导数的运算，以及函数的值，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵不等式x 2cosC +4xsinC +6<0的解集是空集． ∴{cosC >0△≤0，即{cosC >016sin 2C −24cosC ≤0，即{cosC >0cosC ≤−2或cosC ≥12， 故cosC ≥12，∴角C 的最大值为60°．(Ⅱ)当C =60°时，S △ABC =12absinC =√34ab =32√3，∴ab =6，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−2ab −2abcosC ， ∴(a +b)2=c 2+3ab =1214，∴a +b =112．【解析】(Ⅰ)根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC >0，求得cos C 的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C 的最大值．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中求得C ，利用三角形面积公式求得ab 的值，进而代入余弦定理求得a +b 的值． 本题主要考查了余弦定理的应用，解不等式问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．18.【答案】(Ⅰ)解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是550=110，∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×110=2人， 参与整理、打包衣物者被抽中的有30×110=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P =1−C 32C 52=710．(Ⅱ)解：女生志愿者人数X =0，1，2， 则P(X =0)=C 122C 202=3395，P(X =1)=C 121C 81C 202=4895，P(X =2)=C 82C 202=1495，X 0 1 2 P339548951495∴X 的数学期望EX =0×3393+1×4895+2×1495=7695．【解析】(Ⅰ)由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．(Ⅱ)女生志愿者人数X =0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．19.【答案】(1)证明：连接BC 1，BE ，在△BCC 1中，BC =1，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=60°． ∴BC ⊥BC 1． ∴BE =12CC 1=1，∵B 1E =√EC 12+B 1C 12−2⋅EC 1⋅B 1C 1⋅cos120°=√3． ∴B 1E ⊥BE ，又AB ⊥平面BB 1C 1C ，且B 1E ⊂平面BB 1C 1C ， ∵B 1E ⊥AB ，AB ∩BE =B ， ∴B 1E ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ， ∴B 1E ⊥AE ；(2)以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0，√2)，B 1(−1,√3,0)，B(12,√32,0)，A 1(−1,√3,√2)，∴B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,−√2)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,−√2)， 设平面AB 1E 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，设平面A 1B 1E 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√3y +√2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√3,√2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3a −b =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −√3b −2√2c =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=42×√6=√63， 即二面角A −B 1E −A 1的平面角的余弦值为√63．【解析】(1)证明：连接BC 1，BE ，则BC ⊥BC 1，求出BE 和B 1E ，并证得B 1E ⊥BE ，又AB ⊥平面BB 1C 1C ，得B 1E ⊥AB ，得到B 1E ⊥平面ABE ，证得B 1E ⊥AE ； (2)以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面AB 1E 的法向量为n ⃗ ，设平面A 1B 1E 的法向量为m⃗⃗⃗ ，然后计算夹角即可． 本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题．20.【答案】解：设椭圆方程为x 2a 2+y2b 2=1， 由ca=√32得{c =√32a b =12a∴椭圆方程为x 24b2+y 2b 2=1，即x 2+4y 2=4b 2设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则由OP ⊥OQ ⇒x 1x 2=−y 1y 2{y =−1−x x 2+4y 2=4b 2⇒5x 2+8x +4−4b 2=0由△>0⇒b 2>15X 1+X 2=−85，x 1x 2=4−4b 25y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=4−4b 25+(−85)+1=1−4b 25∴4−4b 25+1−4b 25=0b 2=58>15 ∴椭圆方程为x 252+y 258=1【解析】先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a 和c 的关系，进而表示出b 和a 的关系，代入椭圆方程，根据OP ⊥OQ 判断出x 1x 2=−y 1y 2，直线与椭圆方程联立消去y ，进而根据表示出x 1x 2和y 1y 2，根据x 1x 2=−y 1y 2求得b 的值．进而椭圆的方程可得．本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．21.【答案】解：(1)∵f(x)=xe x −ax +b ， ∴f′(x)=(x +1)e x −a ，由函数f(x)的图象在x =0处的切线方程为：y =−x +1，知：{f(0)=b =1f′(0)=1−a =−1, 解得a =2，b =1．(2)∵f(x)满足：当x >0时，f(x)≥lnx −x +m ， ∴m ≤xe x −x −lnx +1，①令g(x)=xe x −x −lnx +1，x >0， 则g ′(x)=(x +1)e x−1−1x=(x+1)(xe x −1)x ，设g′(x 0)=0，x 0>0，则e x 0=1x 0，从而lnx 0=−x 0，g′(12)=3(√e 2−1)<0，g′(1)=2(e −1)>0，由g′(12)−g′(1)<0，知：x 0∈(12,1)，当x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0； 当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增． ∴g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−x 0−lnx 0+1=2． m ≤xe x −x −lnx +1恒成立⇔m ≤g(x)min ， ∴实数m 的取值范围是：(−∞,2]．【解析】本题考查利用导数研究函数单调性与极值，构造函数，不等式恒成立问题，考查函数与方程思想，化归与转化思想，考查运算求解能力和思维能力，属于较难题． (1)求出f′(x)=(x +1)e x −a ，由{f(0)=b =1f′(0)=1−a =−1，能求出a ，b ．(2)推导出m ≤xe x −x −lnx +1，令g(x)=xe x −x −lnx +1，x >0，由m ≤xe x −x −lnx +1恒成立⇔m ≤g(x)min ，利用导数性质能求出实数m 的取值范围．22.【答案】解：(Ⅰ)根据极坐标的转化可得，曲线l 的方程为：ρy 2ρ2=2a xρ即 y 2=2ax ，A(−2,−4)直线L 的方程为y +4=x +2即y =x −2(3分) (Ⅱ)直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t(t 为参数)，代入y 2=2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1⋅t 2=8(4+a) 因为|BC|2=|AB|×|AC|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 2=t 1⋅t 2 解得 a =1(7分)【解析】(I)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程 (II)写出直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =−4+√22t，代入y 2=2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1⋅t 2=8(4+a)，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a 的值本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线与曲线的位置关系的应用，解题的关键是要熟练应用极坐标与直角坐标的互化．23.【答案】解：(1)由题设知：|x +1|+|x −2|−5≥0， 如图，在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x −2|和y =5的图象(如图所示)，知定义域为(−∞,−2]∪[3,+∞)；(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|+a ≥0， 即|x +1|+|x −2|≥−a ，由(1)|x +1|+|x −2|≥3， ∴−a ≤3，即a ≥−3．【解析】(1)由|x +1|+|x −2|−5≥0，然后构造函数y =|x +1|+|x −2|，在同一坐标系内画出函数y =|x +1|+|x −2|与y =5的图象得答案；(2)函数f(x)的定义域为R ，说明当x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|+a ≥0，即|x +1|+|x −2|≥−a ，然后结合绝对值的几何意义求得a 的取值范围．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数形结合的解题思想方法，考查了绝对值的几何意义，是中档题．。

高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DAADCBCCDDBB二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[13.83π14.1215.121n -16.4π三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）设公差为d ，则1114193,,34(n 1)4n 1510554n a d a a a d d +==⎧⎧∴=+-=-⎨⎨+==⎩⎩解得.（4分）（2）111111()(41)(4n 3)44143n n a a n n n +==--+-+，∴T n ＝1111111()43771141433(43)n n n n -+-++-=-++ .（10分）18.解析：（1）f (x )＝12cos2x ＋32sin2x －3sin2x ＝12cos2x －32sin2x ＝cos(2x ＋π3)，∴f (x )的最大值为1，当且仅当2x ＋π3＝2k π，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时取得最大值．（6分）（2）由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π(k ∈Z )得f (x )的增区间为[k π－2π3，k π－π6]，k ∈Z ，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得f (x )的减区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z ，当k ＝0时，在[0，π]上的减区间为[0，π3]；当k ＝1时，在[0，π]上的减区间为[5π6，π]．∴f (x )在[π3，5π6]上单调递增，在[0，π3]和[5π6，π]上单调递减．（12分）19.解析：（1）cos B ＝－13＝cos2D ＝1－2sin 2D ，sin D ＝63，∴△ACD 的面积S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝12×4×23×63＝4 2.（6分）（2）由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝12＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，解得BC ＝3.（12分）20.解析：（1）证明：取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =，∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===，∴//CD AB ，12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴//FC QD ，又∵FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//FC 平面PAD .……………………4分（2）如图，分别以,,AD AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设PA a =.则，(0,0,0)A，(0,B，C，D，)2a E，2aF ，取平面ABCD 的法向量为1(0,0,1)n = (6)分()2a CE =，()2aCF =- ，设平面CEF 的法向量为2(,,)n x y z = ，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0202a z a z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨取z =，则x a =，y a =，即2(,n a a =.∴121212cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅，解得4a =，即4PA =．………………………12分21.解析：（1）由a n +1＝可得＝1+，∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，．（5分）（2）由（1）可知＝，T n ＝+…+，…++，两式相减得﹣＝＝．∴．（12分）22.解析：(1)设公比为q ，由22112210,q 1()2n n n a a a q q +++=+-==可得解得或-舍去，∴a n ＝22n a q-＝12n－1.(4分)(2)设函数f (x )＝x －ln(x ＋1)(x ＞0)，则f ′(x )＝1－1x ＋1＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )＞f (0)＝0，x ＞ln(1＋x )，ln(1＋a n )＜a n ，∴ln(1＋a 1)＋ln(1＋a 2)＋ln(1＋a 3)＋…＋ln(1＋a n )＜a 1＋a 2＋…＋a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝2－12n －1＜2，∴ln[(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )]＜2，(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＜e 2.(12分)。

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。