必修四 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇教学内容

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识得交汇一、四心得概念介绍(1)重心——中线得交点:重心将中线长度分成2:１;(2)垂心-—高线得交点:高线与对应边垂直;(3)内心—-角平分线得交点(内切圆得圆心):角平分线上得任意点到角两边得距离相等;(4)外心——中垂线得交点(外接圆得圆心):外心到三角形各顶点得距离相等。

二、四心与向量得结合(1)就是得重心、证法１:设就是得重心。

证法２:如图三点共线,且分为２:1就是得重心(2)为得垂心。

证明:如图所示O 就是三角形ABC 得垂心,ＢE 垂直AC,A Ｄ垂直B Ｃ, D 、E 就是垂足.同理, 为得垂心 (3)设,,就是三角形得三条边长,O 就是ＡBC 得内心为得内心.证明:分别为方向上得单位向量, 平分,),令()化简得(4)为得外心。

典型例题:例１:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 。

外心B 、内心 C.重心 D 。

垂心分析:如图所示,分别为边得中点、//点得轨迹一定通过得重心,即选、例2:(0３全国理４)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( B )B D BC DA.外心 B 。

内心 C 、重心 D.垂心分析:分别为方向上得单位向量,平分,点得轨迹一定通过得内心,即选、例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 、外心 B.内心 C 。

重心 D 、垂心分析:如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 就是垂足.= ==+=０点得轨迹一定通过得垂心,即选、练习: 1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则得值为( )Ａ、2 B 、 C.３ Ｄ。

62.若得外接圆得圆心为Ｏ,半径为1,,则( )A 、 B.0 C 。

1 D 、３.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比就是( )A 、0 B. Ｃ。

讲义•八平面向量与三角形四心的交汇—、四心的概念介绍(1)重心一中线的交点：重心将中线长度分成2:1; (2 )垂心一高线的交点：高线与对应边垂直；(3 )内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4 )外C —中垂线的交点(夕卜接圆的圆心)"卜心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合(1) OA + OB + OC0是MBC 的垂心.证法 1:设O(x 9y\ A(x x ,y {\B(x 2,y 2\C(x 3，儿)（X| _ X ）+ （x 2 _ X ）+（X3 _ X ）=0 （>\ 一 刃+（儿一刃 + （儿 一 y ） = oX. + X. +x. X = --- --- = ----3O0 是 MBCy=”+〉'2+ 儿足•鬲•方=而况*0丽(鬲一况)=亦•鬲=0同理鬲丄龙，元丄莊O0为AABC 的垂心(3)设a.b.c 是三角形的三条边长，0是△ ABC 的内心 aOA + bOB + cOC = 6 oO 为 A4BC 的内心.AB AC― —*证明：•・•——> —分别为AB.AC 方向上的单位向量 f c b:.型+ 虫平分ZBAC,c b ...花=期空+竺），+ bec h a+b+c的重心. 证法2 :如图 ・・• OA+OB + OC = OA + 2OD = 0 /. AO = 2OD:.A. O 、D 三点共线，且0分AD 为2 : 1 ・•・0是AABC 的重心 （2） OA ・ OB = OB ・ OC = OC • OA o 0 为 AABC 的垂心.证明：如圉所示 0是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC r AD 垂直BC r D 、E 是垂OA+OB +OC =0<^>—x be AB AC・•・ AO =—-—(——+ —) a+b+c c b化简得(a + b + c)OA + bAB+cAC = 0/. aOA + bOB + cOC = 6(4) |OA | = |O ^| = |oc| O 0为AABC 的外心。

2019 年第 3 期 (下)
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔


x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,

OA OB OC AB AC AB cos BAC cos C→ AB sin B → AC sin C ⎪⎪⎭ 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 （1） 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2） 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3） 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4） 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1） OA + OB + OC = 0 ⇔ O 是 ∆ABC 的重心.（2） OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ⇔ O 为 ∆ABC 的垂心. （3） 设 a , b , c 是三角形的三条边长，O 是 ∆ ABC 的内心aOA + bOB + cOC = 0 ⇔ O 为 ∆ABC 的内心.（4） = = ⇔ O 为 ∆ABC 的外心。

典型例题：例 1： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + ( A B + AC ) ，∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 2： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP = OA + ( +) ，∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 3： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + (+) ， ∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心⎛ ⎫→ → → → ⎪ 例 4：若存在常数,满足 M G = MA + AB + ⎝AC ⎪(≠ 0) ,则点 G 可能通过∆ABC 的.举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若 P 点为∆ABC 内任意一点，若 P 点满足:⎪DP PB = DP PC ⇒ P 为 ABC 的外心; ⎪ AP BC = 0 ⇒ P 为 ABC 的垂心. 1 + = ⎪ ⎧AP = ( AB + AC ),> 0⎪⎪ 1． ⎨AB AC ⇒ P 为 ABC 的内心;⎪BP = t ( BA + BC )，t > 0 ⎩⎪ BABC 2. D 、E 两点分别是∆ABC 的边 BC 、CA 上的中点,且 ⎧ ⎨ ⎪⎩EP PC = EP PA ⎧ 1 ⎪ AP = 3 ( AB + AC ), 3. ⎨ 1⇒ P 为 ABC 的重心; ⎪BP = ⎩ (BA + BC )， 3 ⎧ 4. ⎨ ⎪⎩BP AC = 0练习：1. 已知∆ABC 三个顶点 A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，若实数满足： AB + AC = AP ，则的值为（） 3 A ．2B ．C ．3D ．622. 若∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， OA + OB + OC = 0 ，则OA ⋅ OB = ()A ．B ．0C ．1D ． - 1223. 点O 在∆ABC 内部且满足OA + 2OB + 2OC = 0 ，则∆ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 54 A ．0B ．C ．D ．2434.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，若OH = OA + OB + OC ，则 H 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心5.O 是平面上一定点， A 、 B 、 222C 是平面上不共线的三个点，若OA BC OB+ CA 2= OC 2+ AB 2，则O 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ， OH = m (OA + OB + OC ) ，22 2=++则实数m =→→→→AB AC→→AB→AC17.已知非零向量AB与AC满足( → + → )·BC=0 且→·= , 则△ABC 为( )|AB| |AC| |AB|→ 2|AC|A.三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8.已知∆ABC 三个顶点A、B、（）C ，若AB =AB ⋅AC +AB ⋅CB +BC ⋅CA ，则∆ABC 为A.等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =1(1OA +1OB +2 OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）3 2 2A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点10.在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB - 2 A B •CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心11.若O 点是∆ABC 的外心, H 点是∆ABC 的垂心,且OH m(OA OB OC) ,求实数m 的值.12、已知向量OP1, OP2 , OP3 满足条件OP1+OP2 +OP3 = 0 ，| OP1|=| OP2 |=| OP3 |= 1 ，求证：△P1P2P3是正三角形．PA13.在△ABC 内求一点 P ，使 AP 2+ BP 2+ CP 2最小．B图２。