南京清江花苑严老师江苏南京三中高考热身数学试卷

2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.设全集U=R，集合A={x∈R|x2-2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B= ．【答案】[1，2)【解析】试题分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．由A中的不等式变形得：x(x-2)＜0，解得：0＜x＜2，即A=(0，2)，由B中y=e x+1≥1，得到B=[1，+∞)，则A∩B=[1，2)．故答案为：[1，2)2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【答案】二【解析】试题分析：由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi(a，b∈R)的形式，则答案可求．由图可知z1=-2-i，z2=i，则=．该复数对应的点为(-1，2)，该点位于第二象限．故答案为二．3.已知平面区域D={(x，y)|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y=kx(k∈R)下方的概率为．【答案】【解析】试题分析：欲求直线y=kx(k∈R)下方的概率，则可建立关于x，y的直角坐标系，画出平面区域，再根据几何概型概率公式结合图形的对称性易求解．由题设知：区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知：直线y=kx将其面积平分，如图示，故所求概率为故答案为：．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】12【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱，根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据，我们可以确定出棱柱的高，并根据割补法可求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：125.定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．设f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)．则f(2)= ；f(x)在区间[-2，2]上的最小值为．【答案】-2;-6【解析】试题分析：通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，再求出f(x)的解析式，从而求出f(2)的值；最后根据所求出f(x)的解析式结合图象求解f(x)在区间[-2，2]上的最小值即可．∵由流程图可知，运算S=a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴f(2)=(0⊗2)2-(2⊗2)=0×2-2=-2．且f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)=，画出它的图象，如图所示，由图可知，当x=-2时，f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-6．故答案为：-2；-6．6.设a，b为正实数，现有下列命题：①若|-|=1，则|a-b|＜1；②若-=1，则a-b＜1；③若a2-b2=1，则a-b＜1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|＜1．其中的真命题的个数为．【答案】2【解析】试题分析：①取a=4，b=1满足条件|-|=1，即可判断出；②取a=3，b=满足条件-=1，即可判断出；③由已知可得0＜a-b＜a+b，可得a-b=＜1；④由已知不妨设a＞b＞0，可得a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，进而得到a3-b3＞(a-b)3＞0，即可判断出．①若|-|=1，取a=4，b=1满足条件，而|a-b|=3＞1，因此①不正确；②若-=1，取a=3，b=满足条件，则a-b＞1，因此不正确；③∵a2-b2=1，∴(a-b)(a+b)=1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a-b＜a+b，∴a-b=＜1，因此正确；④∵|a3-b3|=1，a＞0，b＞0，∴a≠b，不妨设a＞b＞0．∴a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，∴(a-b)(a2+ab+b2)＞(a-b)(a-b)2即a3-b3＞(a-b)3＞0．∴1=|a3-b3|＞(a-b)3＞0，∴0＜a-b＜1，即|a-b|＜1．因此正确．综上可知：只有③④正确．故答案为：2．7.“cosα=”是“cos2α=”的．(填‘充分而不必要条件’，‘必要而不充分条件’，‘充要条件’‘既不充分也不必要条’)【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：根据余弦函数的倍角公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．故答案为：充分不必要条件．8.已知sinα=+cosα，且α∈(0，)，则的值为．【答案】-【解析】试题分析：由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．由sinα=+cosα，得到sinα-cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈(0，)，联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α-sin2α=-，sin(α-)=(sinα-cosα)=，则==-．故答案为：-9.若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是．【答案】(-∞，2)【解析】试题分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则f(x)不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．由题意得，即在定义域内，f(x)不是单调的．分情况讨论：(1)若x≤1时，f(x)=-x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2(2)x≤1时，f(x)是单调的，此时a≥2，f(x)为单调递增．最大值为f(1)=a-1故当x＞1时，f(x)=ax-1为单调递增，最小值为f(1)=a-1，因此f(x)在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是(-∞，2)故答案为：(-∞，2)10.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．【答案】【解析】试题分析：由题意四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R==1，所以球的体积为：．故答案为：．11.在△ABC中，已知，sin B=cos A•sin C，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：由条件求得bccos A=9，bcsin A=6，tan A=，可得c=5，b=3，a=4，以AC 所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．设=，=，则=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sin B=cos A•sin C，sin(A+C)=sin C cosn A，即sin A cos C+sin C cos A=sin C cos A．∴sin A cos C=0，∵sin A≠0，∴cos C=0，C=90°．∵=9，S△ABC=6，∴bccos A=9，bcsin A=6，∴tan A=．根据直角三角形可得sin A=，cos A=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=(3λ，4-4λ)(0≤λ≤1)．设=，=，则||=||=1，且=(1，0)，=(0，1)．∴=(x，0)+(0，y)=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，12=4x+3y≥2，解得xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故答案为3．12.定义在R上的函数f(x)的图象过点M(-6，2)和N(2，-6)，且对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，则当不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)时，实数t的值为．【答案】2【解析】试题分析：根据对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，判断函数单调性，是R上的单调递减函数，根据绝对值不等式的解法解不等式|f(x-t)+2|＜4，利用函数的单调性即可求得实数t的值．∵对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，∴函数f(x)在R上单调递减，∵f(-6)=2，f(2)=-6，|f(x-t)+2|＜4，∴-6＜f(x-t)＜2，即f(2)＜f(x-t)＜f(-6)，∴-6＜x-t＜2，即t-6＜x＜2+t，∵不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)∴t=2．故答案为2．13.平面四边形ABCD中，AB=，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S，T，则S2+T2的最大值是．【答案】【解析】试题分析：先利用余弦定理求出cos A和cos C的关系，再用含角A，C的面积公式求出S2+T2，进而转化为cos A的二次函数，即可求出最大值．由题意，∵∴∴S2+T2====∴时，S2+T2的最大值是故答案为：14.在直角坐标系x O y中，点P(x P，y P)和点Q(x Q，y Q)满足按此规则由点P 得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若=m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin(x+θ)的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为．【答案】(，)【解析】试题分析：先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ的值，最后利用三角函数的图象和性质，得函数的最高点坐标即可依题意，()2==m2∵∴=m2∴=m2∴m2=2，即m=∵∠POQ=θ，∴cosθ=====∵θ=∴函数y=msin(x+θ)即为y=sin(x+)∴此函数在y轴右边第一个最高点的坐标为(，)故答案为(，)二、解答题(本大题共12小题，共94.0分)15.已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB1=8，E，F分别是线段A1A，BC上的点．(1)若A1E=5，BF=10，求证：BE∥平面A1FD．(2)若BD⊥A1F，求三棱锥A1AB1F的体积．【答案】证明：(1)过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF．∵=，∴=，∴EG=10=BF．∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．∴四边形BFGE是平行四边形．∴BE∥FG．又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，∴BE∥平面A1FD．(2)∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F=A1，∴BD⊥平面A1AF．∴BD⊥AF．∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，∴在R t△BAD中，tan∠ABD==2．在R t△ABF中，tan∠BAF==．∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，∴=，BF=4．∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD，又平面ABCD∩平面AA1B1B=AB，∠ABF=90°，∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．∵∠AA1B1=90°，AA1=BB1=8，A1B1=AB=8，∴S△AA1B1=32．∴V三棱锥A1AB1F=V三棱锥FA1B1A=×S△AA1B1×BF=．【解析】(1)欲证BE∥平面A1FD，只需证平面A1FD外一直线与平面A1FD内一直线平行，过E 作EG∥AD交A1D于G，连接GF，根据比例关系可证得四边形BFGE是平行四边形，则BE∥FG，又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，满足定理所需条件；(2)先证明FB⊥平面AA1B1B，从而BF为三棱锥FA1B1A的高，然后根据V三棱锥A1AB1F=V=×S△AA1B1×BF进行求解即可．三棱锥FA1B1A16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若=-，b=，求a+c的值；(2)求2sin A-sin C的取值范围．【答案】解：(1)∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=-，∴accos(π-B)=-，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2-2accos B，∴a2+c2-ac=3，即(a+c)2-3ac=3．∴(a+c)2=12，所以a+c=2．(2)2sin A-sin C=2sin(-C)-sin C=2(cos C+sin C)-sin C=cos C．∵0＜C＜，∴cos C∈(-，)．∴2sin A-sin C的取值范围是(-，)．【解析】(1)通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．(2)通过两角和公式对2sin A-sin C，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sin A-sin C 的取值范围．17.如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=．点M，N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合)．设∠AMN=θ．(1)用θ表示∠BA′M和线段AM的长度，并写出θ的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．【答案】解：(1)易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，则∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°，设MA=MA′=x，则MB=1-x，在R t△MBA′中，sin(2θ-90°)=-cos2θ=，∴MA=x==，∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴45°＜θ＜90°；(2)∵∠B=90°，AB=1，BC=，∴根据勾股定理得：AC=2，∴∠BAC=60°，在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ，又MA=，∴根据正弦定理得：=，可得：AN==，令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-30°)，∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，则θ=60°时，AN有最小值．【解析】(1)由折叠可知△AMN≌△A′MN，可得对应角相等，∠AMN=θ，可得出∠A′MA=2θ，在直角三角形A′MB，根据直角三角形的两锐角互余，即可表示∠BA′M，设MA=MA′=x，由AB=1，利用AB-AM表示出MB为1-x，R t△MBA′中，根据锐角三角函数定义用x表示出sin(2θ-90°)，求出x，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，即可表示出MA，同时由点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，可得出θ的取值范围；(2)在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，可得出AC=2AB，即∠ACB为30°，得出∠BAC为60°，在三角形AMN中，∠AMN=θ，利用三角形内角和定理表示出∠ANM，再由AM的长，利用正弦定理列出关系式，化简可得出AN=，设t=2sinθsin(120°-θ)，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，可得出t的最大值，进而确定出AN的最小值．18.已知函数(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)当时，若函数g(x)=f(x)+m有零点，求m的范围；(3)若，，求sin(2x0)的值．【答案】解：(1)∵f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2令2x+可得：，∴对称轴方程为：，．(2)∵2x+∴∴∵函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解．即-m，m．(3)即2sin(+2=即sin(=∵∴又∵，∴∴∴===【解析】利用辅助角公式可得f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2(1)令2x+可得对称轴方程为：(2)由可得2x+，从而可得∴而函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解，可转化为y=f(x)与y=-m有交点，结合图象可得-m，m(3)由已知可得，结合可求，而利用两角差的正弦公式可求19.设数列{b n}满足：，b n+1=b n2+b n，(1)求证：；(2)若T n=++…+，对任意的正整数n，3T n-log2m-5＞0恒成立．求m的取值范围．【答案】解：(1)∵，b n+1=b n2+b n=b n(b n+1)，∴对任意正整数n＞0，有即：．(2)T n=()+()+…+()==2-．∵b n+1-b n=b n2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{b n}是单调递增数列．∴数列{T n}关于n递增．∴T n≥T1．∵，∴∴∴∵3T n-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3T n-5恒成立，∴log2m＜-3∴．【解析】(1))要证明，只要能证b n+1=b n(b n+1)，而由已知：b n+1=b n2+b n，推导即可(2)由(1)可求得，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{b n}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可20.设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)的两个极值点．(Ⅰ)若x1=-1，x2=2，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若求的最大值；(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)-a(x-x1)，x∈(x1，x2)，当x2=a时，求证：．【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，∴f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意有，(a＞0)解得a=6，b=-9，∴f(x)=6x3-9x2-36x．(Ⅱ)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，∴，∴，∴b2=3a2(6-a)，∵b2≥0，∴0＜a≤6，设p(a)=3a2(6-a)，则p′(a)=-9a2+36a，由p′(a)＞0，得0＜a＜4，由p′(a)＜0，得a＞4，即：函数p(a)在区间(0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．∴当a=4时，p(a)有极大值为96，∴p(a)在(0，6]上的最大值是96.∴b的最大值是4．(Ⅲ)证明：∵x1，x2是方程f′(x)=0的两根，∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，∵，x2=a，∴，∴|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，∵x1＜x＜x2，即，∴，∴=-3a++≤=，∴|g(x)|≤成立．【解析】(Ⅰ)由f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，知f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，由′，(a＞0)，能求出函数f(x)的解析式．′(Ⅱ)由f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，所以，由此能求出b的最大值．(Ⅲ)由x1，x2是方程f′(x)=0的两根，知f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，由，x2=a，知，故|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，由此能够证明|g(x)|≤．21.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD．【答案】证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．【解析】(1)要证明l是⊙O的切线，可利用切线的判定定理，由于P点已经在圆上，故我们可以证明l与过P点的半径垂直，即可得到结论；(2)要想得到PB平分∠ABD，即证∠DBP=∠ABP，观察到已知中及(1)的结论中有多个垂直关系，又由AB为直径也可得到∠APB=90°，故可以结合弦切角定理，利用等量代换的思想解决问题．22.已知，点A在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为(-3，4)，求点A的坐标．【答案】解：根据题意知，在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：=，设A(a，b)，则由=，得，∴，即A(-2，3)．【解析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵．再设A(a，b)，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．23.求曲线C1：被直线l：y=x-所截得的线段长．【答案】解：由曲线C1：可得t=，∴x=，化简可得(x-1)2+y2=1表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．圆心到直线y=x-的距离为d==，故圆被直线解得的弦长为2=．【解析】把曲线的参数方程化为普通方程可得曲线表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．求出圆心到直线y=x-的距离d，再由圆被直线解得的弦长为2求得结果．24.已知a、b、c是正实数，求证：++≥+．【答案】解：∵()2+()2+()2≥0即2•(++)-2•(++)≥0即2•(++)≥2•(++)∴++≥++．【解析】由实数平方的非负性可得()2+()2+()2≥0，利用不等式的性质，将其展开后，进行变形，即可证得结论．25.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小；(Ⅱ)求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．【答案】解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，O(0，0，2)，M(0，0，1)(Ⅰ)设AB与MD所成的角为θ，∵，∴，∴AB与MD所成角的大小为(Ⅱ)∵，∴设平面OCD的法向量为，则，即，取，解得．易知平面OAB的一个法向量为．由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为【解析】(Ⅰ)作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；(Ⅱ)先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．26.已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙．(1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；(2)比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．【答案】解：(1)由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为p n，故整个系统能正常工作的概率是p1=1-(1-p n)2=p n(2-p n)，乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是p(2-p)，故整个系统能正常工作的概率是p2=p n(2-p)n．(2)由于p2-p1=p n[(2-p)n-(2-p n)]，故比较p1与p2的大小可通过比较[(2-p)n-(2-p n)]符号，当n=2时，有(2-p)2-(2-p2)=2(1-p)2＞0(0＜p＜1)．故有n=2时，(2-p)2＞2-p2，假设n=k时，有(2-p)k＞2-p k，当n=k+1时，(2-p)k+1-(2-p k+1)=(2-p)(2-p)k-(2-p k+1)=2(1-p)(2-p k)由于0＜p＜1，可得2(1-p)(2-p k)＞0，故有n=k+1时，(2-p)k+1＞(2-p k+1)，综上证得p2＞p1，由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出现不正常工作的可能小，较可靠．【解析】(1)由题意及图知，甲系统是先串联再并联，可先求出每个串联的电路正常工作的概率再求整个系统能正常工作的概率，乙系统是先并联再串联，同理可求出整个系统能正常工作的概率；(2)由(1)的结果，对两个系统正常工作的概率进行比较即可，由于两个系统的概率与自然数n有关，可用数学归纳法证明。

“” C
P17-3D C B A3P682 1 2 1
“” 3 21“”“”
A．88，90
B．90，90
C．88，95
“”
3 “” 2 413“” 2 1 5
“” 21P961P9610 3 2 1 4 3 2 m，动圆 P 的半径是 2cm，动圆在直线 l 上移动，
“”
14．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S2，则 S1＋S2＝ ▲ ． 15．已知一个圆锥的母线长为 10cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是 144°，则这个圆锥的底 面圆的半径是 ▲ cm．
k 16．如图，点 A、B 在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别
“” C
21．（本题
5
分）解不等式组：
2 1
x 1 x 2 x 1 2x 23
1
“”
3 “” 2 413“” 2 1 5
“” 21P961P9610 3 2 1 4 3 2 271 1
“” 3 21“”“”
P17-3D C B A3P682 1 2 1
，并写出该不等式组的整数解．
中考数学模拟试卷 1417
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，有只有一个
是正确的，请将答案填涂在答题卡上．）
1．下列计算正确的是
A．x4·x4＝x16
B．(a3)2·a4＝a9
C．(ab2)3÷(－ab)2＝－ab4
D．(a6)2÷(a4)3＝1
A．64°
B．65°
C．67°
D．68°
10．如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE，BE，DE．过点 A 作 AE 的垂线交 ED 于点

中考数学精品模拟试卷1602一、选择题（本人题共8小题，每小题3分，共24分）1. 一2的倒数是 ......................................................... （▲）A. 2B. |C. —|D.不存在 2. .......................................................................................................................... 下列运算正确的是 （▲） A. a 6^cr= a 3 B. a 5-cr= a 3 C. （3a y ）2 =6a D. 2（a y b ）2-3（a 3b ）2 =~ab 23.已知四边形ABCD 是平行四边形，再从®AB=BC,②ZABC=90°t ®AC=BD, @AC 丄3D 四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（▲）标即该方程的解•类似地，我们可以判断方程兀一1=0的解的个数冇（▲）A. 0个 B, 1个 C. 2个 D. 3个8. 如图，正方形肋仞内接于00,点戶在劣弧 肋上，连结处 交化于点Q.若QP=QO,则空的值为（▲）QAA. 2V3-1B. 2V3C. V3+V2 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9. 函数y = Q X -2中自变量兀的取值范围是 ▲。

10.国家统计局的相关数据显示2015年第1季度我国国民生产总值为118000亿元，这一数据用科学记数 法表示为 ▲ 亿元11. 若一个多边形的内角和比外角和大360。

，则这个多边形的边数为▲ . 12. 已知i （r = 3, 10" =2,则io 2/w -n 的值为 ▲ ・13. 甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中，随机抽取一4. 5. 6. A.选①②B.选①③C.选②④ 若OV G VI,则点M （G -1, G ）所在的象限是 ........... A.笫一象限B.笫二象限C.笫三象限D.笫四象限 若关于x 的方程2x-m=x-2的解为兀=3,则m 的值为 ...................A. -5B. 5 C ・ 一7 D. 7 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，D.选②③ A.7 •求一元二次方程/+3x-l =0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图像的方法： 在平面有和坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=—■的图像，则两图像交点的横坐D. V3+2 （第6题）张，放冋后，再随机抽取一张.若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏▲.（填“公平”或“不公平”）.14.若关于x的一元二次方程£,+2（侶1）刎认一1=0冇两个实数根，则£的取值范围是▲.15.如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是▲・16.如图，已知正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O, AE平分ZBAC交BD于点E,则BE的长为▲17.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB.AD的中点。

2016江苏高考数学模拟训练08一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设Ρ是椭圆x225＋y216=1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|＝________． 2. 设i 是虚数单位，复数12aii++为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3. 执行如图所示的程序框图,如果输入a=2, b=2,那么输出的a 值为4. 随机抽取100名年龄在[)[)[)60,50,,30,20,20,10 年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[)60,50年龄段抽取的人数为 .5. 若全集为实数集R ，集合A=12{|log (21)0},R x x C A ->则= .6. 已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=.7. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为8. 直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)9. 在△ABC 中，已知5AB =，2BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ．10. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2A B B C A A===，则四面体11A BC D 的体积为 ．（第3题） （第4题）A C11. 不共线的四点O,A,B,C满足=+=OC OA OB ,3231 12. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ． 13．已知函数122++=ax ax y 的值域为[)+∞,0, 则实数a 的取值范围是14.已知函数()sin tan f x x x =+,项数为27的等差数列{}n a 满足,,22n a ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且公差0d ≠,若1227()()...()0f a f a f a +++=,则当()0.k f a =时，k =二、解答题(本大题共6个小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .（１）证明：PA ∥平面EDB ； （２）证明：PB ⊥平面EFD .16.（本小题满分14分）已知函数,)(x f ⋅=其中向量),cos 3,cos (sin x x x ωωω+=),sin 2,sin (cos x x x ωωω-=,0>ω若)(x f 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于.π（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,3=a 当ω最大时，,1)(=A f 求ABC ∆的面积最大值.17.(本小题满分14分) 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)=200x+3361x (元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?18. (本小题满分16分) 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．19. (本小题满分16分) 如图,已知椭圆E: 23)0(12222的离心率为>>=+b a b y a x , 过左焦点F ()03，-且斜率为k 的直线交椭圆于A,B 两点,线段AB 的中点为M, 直线04:=+ky x l 交椭圆E 于C,D 两点.(1) 求椭圆E 的方程; (2) 求证:点M 在直线l 上; (3) 若⊿BDM 的面积是⊿ACM 面积的3倍, 求斜率k 的值.20. （本小题满分16分） 设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.（3）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围.。