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一次函数之存在性问题（一）（讲义）
➢课前预习
1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为
( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为．
2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以
点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．
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➢知识点睛
1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某
种状态是否存在的题目，主要考查．
2.存在性问题的处理思路：
①分析不变特征
分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类．
②分类画图求解
分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．
③结果验证
回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等．
3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例：
两定一动
连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．
4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：
分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．
➢精讲精练
1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB
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．OA 3
点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．
（2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，直线y=2x+3 与y 轴交于点A，与直线x=1 交于点B．
（1）求点A，B 的坐标．
（2）在直线x=1 上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2 3.
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC ，OA 分 别与 x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠BCO =45°，BC = 4 ，点 C 的坐标为(-6，0)，直线 BD 交 y 轴正半轴于点 D ，且 OD =2．
（1） 求直线 BD 的表达式．
（2） 若 P 是直线 BD 上的一个动点，是否存在点 P ，使以O ，
D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，直线y =1
x + 2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是2
直线y =1
x + 2 上的一个动点，过点P 作直线AB 的垂线，分2
别交x 轴、y 轴于点E，F，是否存在点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，直线y=-x+2 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 是
直线y=-x+2 上的一个动点（不与点A 重合）．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D，是否存在点C，使△BCD 与△AOB 全等？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
5 5 2 2 2 2 2 【参考答案】
➢ 课前预习 1. (0，2)或(0，-2) 2. 4
➢ 知识点睛
1. 运动的结果 ➢ 精讲精练
1. （1）点 C 的坐标为(6，4)；
（2）存在，点 P 的坐标为( -2 0)或( 13
，0).
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，0)，( 2
，0)，(12，
2. （1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(1，5)； （2）存在，点 P 的坐标为(1，5 + )，(1，5 - )，(1，
1)或(1， 15
).
4
3. （1）直线 BD 的表达式为 y = -x + 4 ；
（2）存在，点 P 的坐标为(2，0)，( ，2 - )，( - ， 2 + 2 )或(1，1).
4. 存在，点 P 的坐标为( - 12 ， 4 )或( 4 ， 12
)
5 5 5 5
5. 存在，点 C 的坐标为( - ，2 + )，( 2 ，2 - )或(-2，
4).
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