第三十一讲 完全平方数和完全平方式

完全平方公式的证明推导过程完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。

(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。

先用代数方法证明，a²+2ab+b²=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b) （乘法分配律）=(a+b)x(a+b)=(a+b)²同理，a²-2ab+b²=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b) （乘法分配律）=(a-b)x(a-b)=(a-b)²完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。

如下图所示，两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。

显然，大正方形的面积为(a+b)²。

它也等于①②③④四部分的面积和。

分别计算四部分的面积，如下图：那么，大正方形的面积=a²+ab+ab+b²(a+b)²=a²+2ab+b²同样，我们再来证明(a-b)²=a²-2ab+b²。

如下图，大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。

小正方①的面积为(a-b)²。

同样，①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。

和G老师一起分别计算下②③④的面积吧大正方形的面积为a²，小正方形①的面积=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb 即，(a-b)²=a²-(a-b)xb-b²-(a-b)xb展开后，得(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方式又常常写成：(a±b)²=a²±2ab+b²小学阶段对于完全平方式并不要求，但是某些小升初试题中会考到简单的计算，知道该怎么简便计算即可。

完全平方的规律一、完全平方公式1. 完全平方和公式- 对于(a + b)^2，根据乘法分配律展开：- (a + b)^2=(a + b)(a + b)=a(a + b)+b(a + b)- 进一步展开得到a^2+ab+ba + b^2=a^2 + 2ab+b^2。

- 例如：(x+3)^2，这里a = x，b = 3，根据公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。

2. 完全平方差公式- 对于(a - b)^2，同样根据乘法分配律展开：- (a - b)^2=(a - b)(a - b)=a(a - b)-b(a - b)- 进一步展开得到a^2 - ab - ba+b^2=a^2-2ab + b^2。

- 例如：(x - 2)^2，这里a=x，b = 2，根据公式(x - 2)^2=x^2-2× x×2+2^2=x^2-4x + 4。

二、完全平方数的规律1. 个位数字规律- 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、9、6、5。

- 因为0^2 = 0，个位数字是0；1^2 = 1，个位数字是1；2^2=4，个位数字是4；3^2 = 9，个位数字是9；4^2 = 16，个位数字是6；5^2 = 25，个位数字是5；6^2 = 36，个位数字是6；7^2 = 49，个位数字是9；8^2 = 64，个位数字是4；9^2 = 81，个位数字是1。

2. 十位数字规律（以两位数为例）- 设一个两位数n=10a + b（a是十位数字，b是个位数字），n^2=(10a + b)^2 = 100a^2+20ab + b^2。

- 当b = 0时，n^2的十位数字是0；当b = 1或9时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是1，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 2或8时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是4，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 3或7时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是9，所以n^2的十位数字是偶数；当b = 4或6时，2ab的个位数字是偶数，b^2的个位数字是6，所以n^2的十位数字是奇数；当b = 5时，n^2的十位数字是2。

完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。

注意不要与完全平方式所混淆。

完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则或即或∴k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。

性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

完全平方数公式
完全平方公式有哪些?下面让我们一起来了解一下吧
1、两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.
(a+b) 2=a2 + 2ab+b2
2、两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍
( a - b ) 2=a2 - 2ab+b2
公式特征
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征
左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍:
左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接，左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“_”两项乘积的2倍(注: 这里说项时未包括其符号在内)
公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式
公式口诀
首平方，尾平方，首尾相乘放中间。

或首平方，尾平方，两数二倍在中央
也可以是: 首平方，尾平方，积的二倍放中央
同号加、异号减，负号添在异号前。

注意事项
1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方的和，加上(或减去)这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项
3、不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4、不要漏下一次项。

5、切勿混淆公式
6、运算结果中符号不要错误。

7、变式应用难，不易于掌握.
8、最重要的是做题小心谨慎。

初中数学辅导资料完全平方数和完全平方式内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根练习题1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习题答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。

完全平方式的所有公式完全平方式是数学中一个非常重要的知识点，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多数学难题的大门。

咱们先来说说完全平方和公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。

想象一下，a 和 b 是两个小伙伴，它们手拉手一起做游戏。

当它们决定要一起变成完全平方的样子时，就按照这个公式来变身啦。

比如说，a = 3，b = 4 ，那么 (3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4²，算一算，7² = 9 + 24 + 16 ，49 = 49 ，是不是很神奇？再看看完全平方差公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这个就像是 a 和 b这两个小伙伴闹了点小别扭，分开的时候的变化规则。

比如 a = 5 ，b = 2 ，(5 - 2)² = 5² - 2×5×2 + 2²，3² = 25 - 20 + 4 ，9 = 9 ，分毫不差。

咱们在实际解题的时候，这两个公式可太有用啦！记得有一次，我在给学生们讲一道数学题，题目是：已知 x + y = 7 ，xy = 12 ，求 x² +y²的值。

这时候，完全平方公式就派上用场啦！我们可以把 x² + y²变形为 (x + y)² - 2xy ，然后把 x + y = 7 ，xy = 12 代入，就得到 7² - 2×12= 49 - 24 = 25 。

同学们恍然大悟，那种因为掌握了新知识而眼睛放光的样子，让我特别有成就感。

还有呢，这两个公式还能帮助我们进行因式分解。

比如 x² + 6x + 9 ，我们一看，这不就是 (x + 3)²嘛。

还有 4x² - 12x + 9 ，可以写成 (2x -3)²。