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22.3 二次根式的加减(1)教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程：一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）；（2）；（3；（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）和所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算：（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）-（2））+二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（23+y）-（x）的值．分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1中，与是同类二次根式的是（）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①②17=1；；，其中错误的有（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 （二）、填空题1-二次根式的有________．2．计算二次根式3-的最后结果是________． （三）、综合提高题1 2.236，求（）-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(2)教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程：一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/ 秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ， 根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35 x=35 所以35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米．PQ=2222245535PB BQ x x x +=+==⨯=57答：35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为57厘米． 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？解：由勾股定理，得 AB=22224220AD BD +=+==25BC=222221BD CD +=+=5所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值． 注：（ 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； 事实上，化简成|b|才由同类二次根式的定义得3a - b= 2，2a -b+6=4a+3b ．由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框， 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．A ．BC ．D ． （二）、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2， 鱼塘的宽是_______m ．2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为， 那么这个等腰直角三角形的周长是________．（三）、综合提高题1n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12=2-+1=3-反之，3-=2-+1=1）2 ∴3-=-1）2 -1求：（1； （2；（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由． 六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(3)教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y ）（2x -3y ） （2）（2x+1）2+（2x -1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1） 单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立． 整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算：（1） （2）（-）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整式的运算规律．自探3. 计算：（1））（3 （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x b a-=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式22=2(1)x x +-+2(1)x x+- =（x+1）+x -=4x+2∵x b a-=2-x a b - ∴b （x -b ）=2ab -a （x -a ） ∴bx -b 2=2ab -ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题1．的值是（ ）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2 B ．3 C ．4 D ．1 （二）、填空题1．（-122的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（1-（-（-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知b=3-，则a 2b -ab 2=_________． （三）、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）六、反思及感想：。
数学初三上华东师大版22.3.3二次根式的加减教案 授课班级上课时间：第节教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用、教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用、 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算、 重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算、教学方法三疑三探教学过程【一】设疑自探——解疑合探自探1.〔学生活动〕：请同学们完成以下各题:1、计算：〔1〕〔2x+y 〕·zx 〔2〕〔2x 2y+3xy 2〕÷xy2、计算：〔1〕〔2x+3y 〕〔2x-3y 〕〔2〕〔2x+1〕2+〔2x-1〕2 老师点评：整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，能够代表所有一切，•所以也能够代表二次根式，因此，整式中的运算规律也适用于二次根式、自探2.计算:〔1〕2〕〔〕÷分析：刚才差不多分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•因此直截了当可用整式的运算规律、自探3.计算:〔1〕〕〔〔2〕〕分析：刚才差不多分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立、【三】质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！【四】应用拓展x ba -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，，并求值、分析〕=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可、解：原式=2+2=2(1)x x +-+2(1)x x+- =〔x+1〕=4x+2 ∵x b a -=2-x a b-∴b 〔x-b 〕=2ab-a 〔x-a 〕∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴〔a+b 〕x=a 2+2ab+b 2∴〔a+b 〕x=〔a+b 〕2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4〔a+b 〕+2【五】归纳小结〔师生共同归纳〕本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算、六、作业设计A 组【一】选择题1、的值是〔〕、 A 、203、23、23D 、2032、A 、2B 、3C 、4D 、1【二】填空题1、〔-122的计算结果〔用最简根式表示〕是________、 2、〔〔-〔〕2的计算结果〔用最简二次根式表示〕是_______、3、假设-1，那么x 2+2x+1=________、4、，，那么a 2b-ab 2=_________、B 组12、当x=的值、〔结果用最简二次根式表示〕七、板书设计知识回忆： 1、同类二次根式 把几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的22.3.2二次根式的加减〔2〕 例2计算: 〔1〕+6〕〔〕 〔2〕〕例1计算： 〔1〕二次根式称为同类二次根式2、二次根式的加减二次根式的加减确实是合并同类二次根式。
22.3二次根式的加减第1题. 计算：12答案：解：原式11)24=-1122=-1=-．第2题. 直接填写计算结果：（1=_________；（2=________．答案：1）0；（2第3题. 计算：（1（2）⎛- ⎝．答案：（1（2第4题. 已知四边形ABCD ，长．．第5题. 给出四个算式：（1）=（2）55y =（3）36y x=（4=-其中正确的算式有（ ）Ａ．3个 Ｂ．2个Ｃ．1个 Ｄ．0个答案：Ｃ．第7题. 2)，得（ ）Ａ．2- 2 Ｃ．2 Ｄ．2 答案：Ａ．第8题. 合并同类项：2235x x -＝___________；合并同类二次根式：=______．答案：22x -；-．第9题. 下列计算中正确的有（ ）（1=（2）2+=（3）=（4）2573==+=Ａ．0个 Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个答案：Ａ．第10题. ）Ｂ．Ｃ．0Ｄ．-答案：Ｃ．第11题. 下列各式中，合并同类二次根式正确的是（ ）Ａ．2=Ｂ．=Ｃ．x =+=答案：Ｄ．第12题.计算34⎛- ⎝，结果等于（ ）Ａ．- Ｂ．0Ｄ．答案：Ｂ．第13题. 计算： （1（2++（3）⎛- ⎝ 答案：（1（2（3第14题.计算：200420032)2)．答案：解：原式200320032)(52)=+200320032220032)2)2)22)1 2.⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦==×第15题.已知x y ==22353x xy y -+的值．答案：解：22223533()5x xy y x y xy -+=+-2223()253()653()11x y xy xyx y xy xyx y xy ⎡⎤=+--⎣⎦=+--=+-，又由已知可得x y +=+=321xy ==-=，故原式231113361197=-=-=×××．第107题.化简求值．22-，其中34a b ==，．答案：解：由平方差公式得22-⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦==×当34a b ==，时，原式== 第108题. 设a b c，，都是实数，且满足条件2(2)80a c -+=，20ax bx c ++=．求代数式221x x +-的值． 答案：解：由已知得220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，，，，解得248.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，222480ax bx c x x ∴++=+-=，即224x x +=，那么221413x x +-=-=．第16题.已知22x y ==-11x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值． 答案：解：化简1112x y xy y x xy⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又22x y =+=-则(2431xy =+=-=， 故原式121124xy xy=++=++=．第17题.细心观察图，认真分析各式，然后解答各个问题．21222312213214SSS+==+==+==，，，（1）请用含n的（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出10OA的长度．（3）求出222212310S S S S++++的值．答案：解：（1）这一规律如下：2112nn S+=+=，；（2）10OA应是1011OA ARt△的一直角边，且有101110101110122OA AS S A A OA===Rt△××，即1012OA=×即10OA=；（3）2222222212310123102222S S S S⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1155(123410)55444=+++++==×．第18题. 已知a b c===，则a b c，，的大小关系为（）Ａ．a b c>>Ｂ．a c b>>Ｃ．b a c>>Ｄ．c b a>>答案：Ｄ．5A4A3A2A1A1S2S3S4S１１１第19题. 下列计算正确的是（）=Ｂ．2=236=Ｄ．2=答案：Ｃ．第20题.21(2)2--⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，与02的大小关系是（）Ａ．2012(2)2--⎛⎫>>-⎪⎪⎝⎭Ｂ．210(2)22--⎛⎫>->⎪⎪⎝⎭Ｃ．2012(2)-->->⎝⎭Ｄ．2012(2)-->>-⎝⎭答案：Ａ．第21题. 若x为任意实数，则下列各式中能成立的是（）2 ==x =2x=-答案：Ｃ．第22题. 若实数a=．或1．第23题. 如图，以１为直角边长作直角三角形，以它的斜边长和1为直角边作第二个直角三角形，再以它的斜边和1为直角边作第三个直角三角形，以此类推，所得第n个直角三角形的斜边长为．11 1第24题.答案：＜．第25题. 化简求值（122433x xy y x y-+-（其中x y ==；（2 2.25a =）．答案：（1）；（2）1781．第26题. 答案：0．第27题. 设 a =2b =- 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）Ａ．a b c >>Ｂ．a c b >>Ｃ．c b a >>Ｄ．b c a >>答案：Ａ．第28题. 计算：12-答案：解：原式=-=1=-．第29题. 计算：222223-⎛⎛⎛⎫-+--⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案：解：原式19124=+-34=-．第30题. 已知a b ==的值为（ ） Ａ．5Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．4答案：Ａ．第31题. 的值（ ） Ａ．在4和5之间 Ｂ．在5和6之间Ｃ．在6和7之间Ｄ．在7和8之间答案：Ｄ．第32题. 比较大小- 答案：＜；＞．第33题. 计算或化简．（12-；（2（3）(5+-；（4）2．答案：解：（1212111-=+-===；（2===12107⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭（3）22(55251213+-=-=-=；（4）2222=-+×4441612221241283333=-+=-=-+=×××．第35题. 计算：（1）+×（29)4- ⎪⎝⎭．答案：解（1）原式===（2）原式32===．第36题. 0)b>．a ===×由已知得0b>，则0a ≤，a ==-×第37题.101)-⎛+ ⎝．答案：解：原式1133⎛=+-⎝⎭11112110033==+⎫=--+=⎪⎭第38题.计算或化简：02(1．答案：解：原式42(12)633=+--=-+=+．第39题.计算或化简：×．答案：解：原式====-第40题. x y，是实数，且14y<．2(2x-．答案：解：由已知得2020xx-⎧⎨-⎩≥≥，即2x=，1144y∴<=．即124y<<，则20y-<，22(2(222x y-+=-+=-222y y -=--=-．第41题. 若01x <<2x ）2x >> 2x >>Ｃ．2x >> 2x >> 答案：Ｄ．第42题. 计算：200320033)3)= ． 答案：1-．第43题. 03⎛-- ⎝×第44题.99+++．答案：解：原式1100=++-1)=2918==×．第45题. 计算：2(22-+-+． 答案：23-．第46题. 比较大小：答案：＞，＞．第47题. 若实数a b ，在数轴上对应的点A B ，分别位于原点的左侧和右侧，则b = ．答案：b a -．第48题. 若m，则m = ，m = ．第49题.已知直角三角形的周长为2+a 和b ，若斜边上的中线长是1，则无论a b ，为何值，这个三角形的面积都为一个定值，求这个定值． 答案：14．第50题. 如下图，某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向上．问船向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果可以保留根号）答案：10．第51题. （1）判断下列各式是否成立，你认为成立的，请在括号内打“√”，不成立的打“×”．=（ ）=（ ）= ）= ） （2）在判断完上述各题之后，你有什么发现？能用一个含n 的式子将你发现的规律表示出来？并注明n 的取值范围：．东（3）能否用你所学习过的数学知识说明你所发现的式子的正确性？答案：（1）①√②√③√④√；n≥且n为整数）；（2=（2（3===，甲、乙两同学的解法如下：第52题.=====对于甲、乙两同学的解法，正确的判断是（）Ａ．甲、乙的解法都正确Ｂ．甲正确、乙不正确Ｃ．甲不正确、乙正确Ｄ．甲、乙都不正确答案：Ａ．第53题. 若x为任意实数，则下列各式中能成立的是（）2===2x=-x答案：Ｃ．第54题. 计算：答案：0．。
九年级数学第二十二章第3节二次根式的加减法 华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：22.3 二次根式的加减法二. 重点、难点： 1. 重点：（1）了解同类二次根式的概念，掌握二次根式的加减运算； （2）能进行二次根式的混合运算. 2. 难点：（1）能结合乘法公式和因式分解的方法进行二次根式的混合运算. （2）能够运用二次根式的混合运算解决一些简单的实际问题.三. 知识梳理： 1. 同类二次根式几个二次根式经过化简之后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如822=，1832=，所以8和18是同类二次根式。
说明：（1）判断同类二次根式的方法：①首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式； ②再看被开方数是否相同。
（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
合并同类二次根式与合并同类项类似，理论依据都是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只是把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变。
2. 二次根式的加减法二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式，它与合并同类项类似。
如42+32－52=（4+3－5）2。
必须注意不是同类二次根式的不能合并，如2+3≠23+。
二次根式的加减一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根式； ②找出其中的同类二次根式； ③合并同类二次根式。
需要注意的是：①进行二次根式的加减运算时，过去在学习整式的加减运算中的交换律，结合律及去括号，添括号法则仍然适用；②二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和。
3. 二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算与整式的混合运算类似。
其运算顺序是：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。
（2）在二次根式混合运算的过程中，每个二次根式可以看做一个“单项式”，几个被开方数不同的二次根式的和可以看做“多项式”，故二次根式的运算可以看做整式的运算。
（3）实数运算中的运算律，运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
【典型例题】例1. 把下列各式化成最简二次根式：（1）3459a ；（2）22xx；（3）22520x y z ；（4）32230.48()a b a b +；（5）1149+。
分析：化简二次根式的一般步骤：（1）把被开方数（式）分解质因数（式），化为积的形式； （2）把根号内能开得尽方的因数（或式）移到根号外；（3）化去根号内的分母.有带分数要化成假分数，有小数化成分数。
解： .37949945)1(33a a a a ==.22222)2(2222x x x x x x x x x x x x x=⋅=⋅⋅=⋅=.52522020)3(322222522522z z xy z z z z z y x z y x z y x =⋅⋅⋅⋅⋅==.)b a (3ab 52)b a (3ab 104)b a (b a 10048)b a b a (48.0)4(223223+=+=+=+（5）61336139141==+例2. 下列二次根式中，哪些是同类二次根式?.y x 31,33x ,xy 323,y x 2x ,3,16111,75,3123-分析：先化二次根式为最简二次根式.最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关。
解：,222 ,343162716111,353575 ,3323122xy y x y y y x x y xx =⋅⋅⋅=-=-=-=⨯==例3. 已知最简根式2334++a b a 、462++-b b a 是同类根式，求代数式20012002b a -的值。
分析：同类根式必须同时满足以下条件：①为最简根式；②根指数相同；③被开方数相同。
同类二次根式概念为本题提供了求出a 、b 的条件，从而最终求出代数式的值。
解：因为最简根式2334++a b a 、462++-b b a 是同类根式，.6234,423+-=++=+b a b a b a 且所以.b a ,b ,a .b a b a ,b a 011111162344232001200220012002=-=-=-∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+-=++=+解得由例4. 计算：;405214551551252021)1(-++-;98173118134)2(-+-);1()3(33ab b b a b +-+).0()4(322244>>-+--y x y x y xy y x y x分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式。
解：.21521 215)29311( 529535215 405214551551252021)1( -=--++=-++-=-++-解.23232)2161(3)3132(22133126133298173118134)2(-=--++=-+-=-+-.ab )ab1a (b )b 1(ab ab1b b ab a b )ab 1b (b a b )3(33-+-=--+=+-+.)()()()0()4(2222222224222324224322244y x y x y yxyx y x y y x y x yx y x yx y y x y y x x y x y xy y y x x y x y x y xy y x y x ---=----=-⋅--⋅⋅+--=-+--=>>-+--例5. 计算：).32(312)4();323)(232)(3(;)3)(2();65153(1021)1(33+÷---÷+--⋅xy xy xy y x分析：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算。
第（1）、（2）、（3）题都与整式运算类似。
第（4）题，因为除法不满足分配律，可先转化成分数形式，再分母有理化。
解：.1556215152256523610251510236510211531021)65153(1021)1(-=⋅-⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=-⋅.y xy 3x xyxy y xyxy xy xy 3xy xy x xy xy xy xy 3xy y x xy )xy xy 3y x )(2(3333+-=+⋅-=÷+÷-÷=÷+-.626366662323322332)323)(232)(3(+--=+⨯-⨯-⨯=--.333232)32(332)32()32()32(33232312)32(312)4(=+-=--=-⋅+-⋅-=+-=+÷-例6. 计算：).6233)(6233)(3(;)23()23)(2();21)(21)(31)(31)(1(22---+-+-+-+分析：原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用二次根式的运算.这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式。
解：（1）()()2)21)(31(2131)21)(21)(31)(31(222=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+-+ .1)23(])2()3[()]23)(23[()23()23)(2(2222222=-=-=-+=-+.269186263)23()6(632)3()23()63(]23)63][(23)63[()6233)(6233)(3(22222--=-+-=-+⋅⋅-=--=--+-=---+例7. 已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。
分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。
解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ； ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3.例8. 计算：);3267()2453)(1(-÷+;73271141145)2(+----;2318233323223)3(-+++--分析：一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
解决此题首先要化去分母中的根号，则关键是选择一个适当的数（或代数式），用这个数（或代数式）去乘分式的分子和分母，从而使分母不含根号，即分母有理化。
解：282683561563021)32()67(3224672432536753)3267)(3267()3267)(2453(32672453)3267()2453)(1(22+++=-⋅+⋅+⋅+⋅=+-++=-+=-÷+.173711114)73()711(114)7(3)73(2)7()11()711(4)11(4)114(573271141145)2(222222=+---+=--+-+=----+--+=+----.3232323)32(323232318233323223)3(-=-+++---=-+++--例9. 已知x ，y 都是正整数，且1998x y +=，求 x y +的值.分析：因为只有同类二次根式才能合并，而1998=3222，所以易知x 、y 与3222是同类二次根式，于是可求出x ，y 的值。
解：∵1998=3222 ∴设x =222a ，y =222b ，（a 、b 为正整数）则有222a +222b =3222 ，即a +b =3； ∵a 、b 为正整数， a =1，b =2或a =2，b =1， ∴x =222，y =888或x =888，y =222 ∴x +y =1110.例10. 有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向。
问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）OCBA东北分析：此题将二次根式与解直角三角形相结合，先解直角三角形，再根据二次根式的有关性质进行化简.船离电视塔最近时，应为线段AC 的长。
解：设BC=x ，则在R t △ACB 中，∠ABC=45°，所以AC=BC=x在R t △ACO 中，∠AOC=30°，AC=（x +20）÷3， 所以有：（x +20）÷3=x ， 解得：x =2031- 即x =2031-=20(31)(31)(31)+-+=103+10 答：再向西航行（103+10）海里，船离电视塔最近。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 下列根式中，最简二次根式是 （ ） A.m 18B.4a 2+C.x1 D.b a 522. 与5a b 不是同类二次根式的是 （ ） A.2ab B.b aC.22a bD.1ab3. 下列根式中，是同类二次根式的是 （ ） A.22x 和3xB.46x 和36xC. 5a x -和21axD. 2x x 和3x x4. 下列计算中，错误的是（ ）A.3)(33b a b a -=-B. a a a 272225=+C.ab ab ab -=-65D. 43x x x x -=5. 化简22850+- 的结果是（ ） A. 0B. －2C.2D. 4250-6. 下列计算中，正确的是 （ ） A. 3232+=B. 323365a a a +=C. 41010510m m m +=D. m a n a m n a -=-7. 若m<0，则把式子m x 根号外面的因式移到根号里的式子应是 （ ）A. 2m x - B. 2m x -C.2()m x -D. mx --8. 计算2(21)(21)-+ 的结果是（ ）A.21+ B. 3(21)-C. 1D. －19. 已知a=1103-，b=310+，则a 与b 的关系是 （ ）A. a=bB. a+b=0C. ab=1D. ab=－110. 下列计算正确的是（ ）A. (73)10101010+=⨯=B. (623)(623)36630-+=-=；C.111261332⎛⎫÷+=+ ⎪⎝⎭D. 22()()()a m b m a m b m a b m -+=-二、填空题 11. 化简1755-=________；23382x y =____________（x>0，y>0）。
