(完整版)必修4之《辅助角公式》

三角辅助角公式
asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。

1.辅助角公式是一种高等三角函数公式，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。

该公式已被写入中学课本，表达式为asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。

在使用该公式时，无论用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是用来表示函数名称的系数。

2.三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。

三角函数复习之辅助角公式讲义辅助角公式是指在三角函数的计算中，使用一些特定角度的三角函数值来计算其他角度的三角函数值的公式。

这些特定角度被称为辅助角。

在三角函数的求解和计算中，辅助角公式是非常实用的工具。

下面是一些常用的辅助角公式。

1.正弦函数的辅助角公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的正弦函数值。

2.余弦函数的辅助角公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的余弦函数值。

3.正切函数的辅助角公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的正切函数值来推导得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的正切函数值。

4.余切函数的辅助角公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的余切函数值来推导得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的余切函数值。

辅助角公式在实际问题中有广泛的应用。

例如，在求解三角函数方程或证明三角恒等式时，辅助角公式可以帮助简化计算。

此外，辅助角公式还可以用于求解三角函数的特殊值，如求解sin15°、cos75°等。

高中数学必修4辅助角公式
学习高中数学必修4要学会对辅助角的公式进行归纳整理，高中数学必修4辅助角公式有哪些呢？下面是店铺为大家整理的高中数学必修4辅助角公式，希望对大家有所帮助!
高中数学必修4辅助角公式1.两角和差公式 (写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学必修4辅助角公式2.用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
(上面这个余弦的很重要)
sin2A=2sinA*cosA
高中数学必修4辅助角公式3.半角的只需记住这个
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
高中数学必修4辅助角公式4.用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
高中数学必修4辅助角公式5.用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式
1-cosA=sin^(A/2)*2
1-sinA=cos^(A/2)*2。

辅助角公式是什么要注意哪些地方
辅助角公式属于高等三角函数公式中的一个，在考试中使用的频率也是很高。

下面是由编辑为大家整理的“辅助角公式是什么要注意哪些地方”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

辅助角公式是什么
辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。

辅助角公式的具体内容
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。

拓展阅读：辅助角公式的记忆方法
很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。

如果用余弦来表示，那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。

推导对于fx=asinx+bcosxa>0型函数;我们可以如此变形;设点a;b为某一角φ-π/2<φ<π/2终边上的点;则;因此就是所求辅助角公式..又因为;且-π/2<φ<π/2;所以;于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示针对b>0的情况;设点b;a为某一角θ-π/2<θ<π/2终边上的点;则;因此同理;;上式化成若正弦和余弦的系数都是负数;不妨写成fx=-asinx-bcosx;则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时;经常忘记反正切到底是b/a还是a/b;导致做题出错..其实有一个很方便的记忆技巧;就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx;的位置永远是你用来表示函数名称的系数..例如用正弦来表示asinx+bcosx;则反正切就是b/a即正弦的系数a 在分母..如果用余弦来表示;那反正切就要变成a/b余弦的系数b在分母..疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为-π/2;π/2 其实是在分类讨论a>0或b>0的时候;已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了;此时辅助角的范围是2kπ-π/2;2kπ+π/2k是整数..而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变;况且在-π/2;π/2内辅助角可以利用反正切表示;使得公式更加简洁明了..提出者;原名李心兰;字竟芳;号秋纫;别号壬叔..出身于读书世家;其先祖可上溯至南宋末年汴梁今人李伯翼..生于1811年 1月22日;逝世于1882年12月9日;人;是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和;创立了二次的幂级数展开式..1就是现在的他研究各种;和对数函数的幂级数展开式;这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就..1在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献..他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用..同治七年;李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献.. 李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献..继之后;李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表..他一生翻译西方科技书籍甚多;将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国;对促进近代科学的发展作出卓越贡献..1公式应用例1求sinθ/2cosθ+√5的最大值解：设sinθ/2cosθ+√5=k 则sinθ-2kcosθ=√5k∴√1+-2k2sinθ+α=√5k平方得k2=sin2θ+α/5-4sin2θ+α令t=sin2θ+α t∈0;1则k2=t/5-4t=1/5/t-4当t=1时有kmax=1辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化例2化简5sina-12cosa解：5sina-12cosa=135/13sina-12/13cosa=13cosbsina-sinbcosa=13sina-b其中;cosb=5/13;sinb=12/13例3π/6≤a≤π/4 ;求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值解：令fa=sin2a+2sinacosa+3cos2a=1+sin2a+2cos2a=1+sin2a+1+cos2a公式=2+sin2a+cos2a=2+√2sin2a+π/4辅助角公式因为7π/12≤2a+π/4≤3π/4所以famin=f3π/4=2+√2sin3π/4=3。

《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。

为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。

二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。

这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。

三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。

辅助角公式总结辅助角公式在三角函数的学习中可是个相当重要的家伙！它能帮我们把形如 $a\sin x + b\cos x$ 的式子化简成一个单一的三角函数形式，让解题变得轻松不少。

先来说说辅助角公式的表达式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。

咱们拿个具体的例子来瞅瞅。

比如说，$3\sin x + 4\cos x$ ，这时候咱们就可以用辅助角公式啦。

先算出 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，然后$\tan\varphi = \frac{4}{3}$ ，所以 $\varphi$ 约等于 $53^{\circ}$ 。

于是，$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53^{\circ})$ 。

我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。

我就跟他说：“你就把这公式想象成一个魔法盒子，把两个三角函数扔进去，它就能给你变出一个更厉害的！” 那孩子听了之后，眼睛瞪得大大的，好像突然来了兴趣。

再说说辅助角公式的应用吧。

在求三角函数的最值、周期、单调区间等问题时，它可真是大显身手。

比如说，求函数 $y = 2\sin x +2\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。

用辅助角公式一化简，变成 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ ，一下子就能看出最大值是 4 啦。

还有啊，在解三角形的时候，辅助角公式也能帮上忙。

比如已知三角形的两边和夹角，要求第三边的长度。

通过正弦定理和余弦定理把式子变成含有三角函数的形式，再用辅助角公式化简，就能更方便地求出结果。

我曾经在课堂上出了一道题：已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ，求它在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值。

有个学生很快就用辅助角公式算出了结果，还得意洋洋地跟旁边的同学炫耀。