3.2辅助角公式 课件-人教版高中数学必修四

高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x aa b x b a b 222222(sin cos )··。

记a a b 22+=cos θ，ba b 22+=sinθ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*cos ,θ=sin θ=来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）1sin 2αα+； （2cos αα+；（3）sin cos αα- （4）sin()cos()6363ππαα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 53.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为 ( )A ．1B ．2C 1D 24.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π8对称，那么a= ( )（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最大值是________．7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r , (sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21cos ,sin cos sin 222a αααα+==）。

二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。

过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。

教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。

教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。

教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。

或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。

公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sin θ+b cos θ为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,总结出公式22sin cos sin()a b a b θθθφ+=++或22sin cos cos()a b a b θθθφ+=+-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.教师引导：P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设OP=r=22a b +由三角函数定义可知： 辅助角公式•推导对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角φ由2222cos sin a a b b a b φφ=+=+ 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。

其中φ的大小可以由sin φ、cos φ的符P号确定φ的象限,再由tanφ的值求出.或和P(a,b)所在的象限来确定. 由tanφ=ba教师指导题目4将下列各式化为一个角的正弦形式教师总结，批阅。

学案一、知识回顾：两角和与差的正余弦公式：二、新课探究：1、利用和差角公式计算下列各式的值：练习：2、求证：cos2sin()6πααα=+3、将sin cosa xb x+化为一个角的正弦形式。

P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P，设由三角函数定义可知：b=a=辅助角公式•推导对于一般形式ααcossin ba+（a、b不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？其中辅助角φ由cos__________sin___________φφ==确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）的终边经过点P (,)a b------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为辅助角。

辅助角公式总结辅助角公式在三角函数的学习中可是个相当重要的家伙！它能帮我们把形如 $a\sin x + b\cos x$ 的式子化简成一个单一的三角函数形式，让解题变得轻松不少。

先来说说辅助角公式的表达式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。

咱们拿个具体的例子来瞅瞅。

比如说，$3\sin x + 4\cos x$ ，这时候咱们就可以用辅助角公式啦。

先算出 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，然后$\tan\varphi = \frac{4}{3}$ ，所以 $\varphi$ 约等于 $53^{\circ}$ 。

于是，$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53^{\circ})$ 。

我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。

我就跟他说：“你就把这公式想象成一个魔法盒子，把两个三角函数扔进去，它就能给你变出一个更厉害的！” 那孩子听了之后，眼睛瞪得大大的，好像突然来了兴趣。

再说说辅助角公式的应用吧。

在求三角函数的最值、周期、单调区间等问题时，它可真是大显身手。

比如说，求函数 $y = 2\sin x +2\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。

用辅助角公式一化简，变成 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ ，一下子就能看出最大值是 4 啦。

还有啊，在解三角形的时候，辅助角公式也能帮上忙。

比如已知三角形的两边和夹角，要求第三边的长度。

通过正弦定理和余弦定理把式子变成含有三角函数的形式，再用辅助角公式化简，就能更方便地求出结果。

我曾经在课堂上出了一道题：已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ，求它在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值。

有个学生很快就用辅助角公式算出了结果，还得意洋洋地跟旁边的同学炫耀。