19-20版 第2章 §6 距离的计算

数学选修2-1第二章（理） 备课人 王元玺 审核 高二数学组 1 高二数学组

2.6 距离的计算 学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法； 2. 掌握用向量如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 学习过程 [基础·初探] 教材整理1 点到直线的距离 阅读教材P48“例1”以上的部分，完成下列问题． (1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A到直线l的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A在该平面内做垂直于l的直线，垂足为A′，则_______即为点A到直线l的距离． (2)求法 设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，则点A到直线l的距离d＝

________________，其中s0＝s|s|. 注：(1)公式中s为直线l的一个方向向量，s0为s的单位向量，|PA→·s0|为向量PA→在直线l方向向量s上的投影的大小． (2)空间一点A到直线l的距离的算法框图 数学选修2-1第二章（理） 备课人 王元玺 审核 高二数学组

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教材整理2 点到平面的距离 阅读教材P49“例2”以上的部分，完成下列问题． (1)定义： A是平面π外一定点，作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的

距离d等于____________________． (2)求法 设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点，则点A到

平面π的距离d＝|PA→·n0|. (1)公式中n为平面π的一个法向量，n0为n的单位向量，|PA→·n0|为向量PA→在平面π的法向量n上投影的大小． (2)空间一点A到平面π的距离的算法框图

自学检测 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )

A．10 B．3 C.83 D.103 2. 如图，在60°的二面角α—AB—β内，ACβ，BDα，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为 （） A．3 B.3 C．2 D.2 3．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为_____

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |(2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示] 由于单位向量a 0＝a|a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a|a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝(－8)2＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________. ±4[|a|＝32＋x2＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝() A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]A．4 B．5C．3 5 D．4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)254[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝25，|a－b|＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[2，＋∞)[∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ [思路探究] (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb 求解． (2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向，即4k －6－6<0，解得k<3.，当2a－3b与c反向时，k＝－92所以k的范围是k<3且k≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝() A. 2 B．2C．5 2 D．50A[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝(－1)2＋12＝ 2.故选A.]2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝π4，则x等于()A．1 B．－1 C．4 D．－4A[∵a·b＝|a|·|b|cos π4，∴3x＋2＝10×x2＋4×2 2，解得x＝1或x＝－4.又∵3x＋2>0，∴x>－23，故x＝1.]3．设a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)且a⊥b，则x＝________.－23[∵a⊥b，∴a·b＝0.即x＋2(x＋1)＝0.解得x＝－23.]4．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[解](1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

2.2.4 点到直线的距离1．点到直线的距离 (1)概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d2．两平行线间的距离公式 (1)概念夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离． (3)公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．2 B ．3 C ．2 D. 5 D [由点到直线的距离公式得d＝|0＋0－5|12＋22＝ 5.]2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()A．522B．22C．52D． 2 A[由两平行线间的距离公式可得d＝|2－(－3)|12＋12＝52＝522.]3．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于() A． 3 B．－ 3C．－33D．3或－33D[由点到直线的距离公式得|3＋3m－4|12＋(3)2＝1，解得m＝3或－33.]4．两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于() A．3 B．7C．110D．12C[直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－52＝0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋5232＋42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪125＝110.]【例1】求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于22的直线方程．[解]因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又因为原点到直线的距离等于22，所以|k＋2|k2＋(－1)2＝22，解得k＝－7或k＝－1.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.点到直线的距离的求解方法1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.3．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．1．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直线y＝34x＋14化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.【例2】直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．[思路探究]先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论．[解]当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得|1－(－5k)| k2＋(－1)2＝5，解得k＝12 5.此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.求两平行线间距离一般有两种方法1．转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．2．公式法：直接用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为()A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0D[根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d＝|c－1|22＋12＝55，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.]1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？[提示]如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．2．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．[提示]由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而k AB＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【例3】在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B (0,4)的距离之差最大．[思路探究] 点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题． [解] 如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1. 所以a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，所以3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0，②解①②得a ＝3，b ＝3，所以B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.所以由⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． 所以点P (2,5)为所求．在本例中，求到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小的P 点的坐标？[解] 如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以AC ′所在直线的方程为 19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267为所求．求最值问题的处理思路1．利用对称转化为两点之间的距离问题．2．利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． 3．利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题．1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法， (2)求两平行直线间的距离有两种思路， (3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．( )(2)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b . ( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ [提示] (1)正确． (2)应是d ＝|y 0－b |. (3)正确．2．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A．322B．22C．32D．12A[d＝|1＋1＋1|12＋(－1)2＝322.]3．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．5[d＝|3－(－2)|＝5.]4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．[解]∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得|b－6|52＋(－12)2＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.。

2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离1．两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝x 1＝x 2＝0，即两点在y 轴上时，P 1P 2＝|y 1－y 2|；当y 1＝y 2＝0，即两点在x 轴上时，P 1P 2＝|x 1－x 2|.2．中点坐标公式对于平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y1＋y 22.3．点到直线的距离 (1)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：y ＝kx ＋b 的距离d(3)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离．(4)两平行线间的距离公式若两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)，则l 1，l 2间的距离d1.思考辨析(1)点(m ，n )到直线x ＋y －1＝0的距离是m ＋n －12. ( ) (2)连结两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离． ( ) (3)两平行线间的距离是两平行线上两点间的最小值．( )(4)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式P 1P 2＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－1，0)，B (2，1)，C (0，3)，则边AB 的长为________，AB 边的中线CM 的长为________．10262 [由中点坐标公式得，M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，由两点间的距离公式得 AB ＝（－1－2）2＋（0－1）2＝10， CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＝262.] 3．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为________． 5 [d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2＝|－5|5＝ 5.]4．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________． 1 [d ＝|－7－（－12）|32＋42＝1.]程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．思路探究：利用直线AB ，AD 的方程求交点A .利用D 是线段BC 的中点，将点C 的坐标转化到点D 上，再利用点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上解得点C .然后利用两点间距离公式求AC .[解] 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－23.∴k AB ＝－1k EC ＝32.∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，得A (1，1)． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，y 2＋42.而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3y 2－16＝0，2·x 2＋32－3·y 2＋42＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝2，∴C (5，2)．即|AC |＝（5－1）2＋（2－1）2＝17.两点间距离公式主要是用来计算两点之间的距离，记熟公式是解题的关键，单独考查较少，常与其他知识综合考查．1．在x －y ＋4＝0上求一点P ，使点P 到点M (－2，－4)，N (4，6)的距离相等．[解] 由直线x －y ＋4＝0可得y ＝x ＋4，因为点P 在此直线上，所以可设点P 的坐标为(a ，a ＋4)，已知|PM |＝|PN |，由两点间距离公式可得[a －（－2）]2＋[a ＋4－（－4）]2 ＝（a －4）2＋（a ＋4－6）2，解得a ＝－32，从而a ＋4＝52， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.________．(2)若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a ＝________．思路探究：(1)由点到直线的距离公式得出k 的方程，解方程即得k 值． (2)由平行关系及平行线间的距离公式可求得a ，c 的值． (1)－3或173 (2)±1 [(1)由4＝|5×2－12k ＋6|52＋122，解得k ＝－3或k ＝173.(2)由于两直线平行，所以63＝a －2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，又21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c232＋（－2）2，故c＝－6或c＝2.从而c＋2a＝1或－1.]1.利用点到直线的距离公式要注意：(1)要将直线方程化为一般式；(2)当直线方程中含有参数时，斜率不存在的情况要单独考虑．2.对于平行线间的距离问题一般有两种思路：(1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接用公式d＝|C1－C2|A2＋B2，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．2．(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程；(2)已知直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)，B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．[解](1)∵与l平行的直线方程为5x－12y＋c＝0，根据两平行直线间的距离公式得|c－6|52＋（－12）2＝3，解得c＝45或c＝－33.所以所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.(2)由已知条件可知直线l 的斜率一定存在， 又直线l 经过点P (2，－5)， ∴设直线l ：y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0，∴A 点到直线l 的距离d 1＝|k ·3＋2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B 点到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|－3k －11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||－3k －11|＝12， 即k 2＋18k ＋17＝0， 解得k ＝－1或k ＝－17.∴直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.1．若点P (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P ′，那么P ′的坐标如何求解？[提示] 设出P ′的坐标，利用线段PP ′的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，和k PP ′＝BA ，列方程组求解．2．已知直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2，如何由l 1，l 的方程求出l 2的方程？ [提示] 法一：先由l 1，l 的方程求出交点，交点在l 2上，再在l 1上任取一点，求该点关于l 的对称点，对称点在l 2上，由两点式即可求出l 2的方程．法二：设l 2上任意一点坐标为(x ，y )，它关于l 的对称点(x ′，y ′)在l 1上，利用对称性质求出⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝f （x ，y ），y ′＝g （x ，y ）代入l 1的方程即得l 2的方程．【例3】 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程．思路探究：点关于直线的对称点的求法，可利用两点的连线与已知直线垂直，线段的中点在直线上，列方程组求得，而直线关于直线的对称直线方程的求法，可转化为点的对称问题，直线关于点的对称直线方程可通过中点坐标公式求解．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2，0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 02＋2×y 0－22－2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7.∴l 2的方程为：y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二：直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，得⎩⎨⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85，把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理， 得7x －y －14＝0，即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)法一：取l ：x ＋2y －2＝0上一点M (2，0)，则M 关于点A (1，1)的对称点M ′的坐标为(0，2)，且M ′在l 关于A (1，1)对称的直线上，又所求直线与l 平行，∴设所求直线为x ＋2y ＋C ＝0. 又过点M ′(0，2)， ∴C ＝－4，∴所求直线方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎨⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程x ＋2y －2＝0，得x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过两个条件列方程组求解．3．已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4，1)，B (0，4)，C (2，0)． (1)试在l 上求一点P ，使AP ＋CP 最小； (2)试在l 上求一点Q ，使|AQ －BQ |最大．[解] (1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1，1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，3x －y －1＝0，得l 与直线AC ′的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，此时AP ＋CP 取最小值为5.① ②(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3，3)．所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得AB ′与l 的交点为Q (2，5)，此时|AQ －BQ |取最大值为 5.1．本节课的重点是掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法． (2)求两平行直线间的距离有两种思路． (3)待定系数法求解有关距离问题的方法．3．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式．1．已知△ABC 的三个顶点为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形D [由两点间距离公式得AB ＝52，BC ＝104，AC ＝52，易知AB ＝AC 且AB 2＋AC 2＝BC 2，所以△ABC 是等腰直角三角形．]2．夹在两条平行线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为________．4π [因两条平行线间的距离为d ＝|0－20|5＝4，则圆的最大面积为π·22＝4π.]3．在坐标平面内，与点A (1，2)距离为1，且与点B (3，1)距离为2的直线共有________条．2 [由题可知，所求直线显然不与y 轴平行，∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53，k ＝－43. ∴所求直线有2条．]4．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．[解] 设点A 的坐标为(t ，2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0，解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2，即x－2y－8＝0.。

[A 基础达标]1．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．(1，5) D ．[1，25]解析：选B.|AB →| ＝（2cos θ－3cos α）2＋（2sin θ－3sin α）2 ＝9＋4－12cos αcos θ－12sin αsin θ ＝13－12cos （α－θ），因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤|AB →|≤5.2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则异面直线AC 与A 1D 的距离为( ) A.233B.33C. 2D ．1解析：选A.建立如图坐标系，连接B 1C ，AB 1，因为A 1D ∥平面AB 1C ，所以异面直线AC 与A 1D 的距离为A 1到平面AB 1C 的距离．D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，A 1(2，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)，AA 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1C 的法向量，由n ·AC →＝0，n ·AB 1→＝0得：x ＝y ＝－z ，可取n ＝(1，1，－1)，故A 1到平面ACB 1的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝233.3．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2D. 3 解析：选D.以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，C (0，1，0)，C 1(0，1，3)，A (1，0，0)，CC 1→＝(0，0，3)，AC 1→＝(－1，1，3)，易知C 1C →⊥平面ABCD ，可取CC 1→为平面ABCD 的法向量， 故A 1C 1到平面ABCD 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CC 1→·AC 1→|CC 1→|＝ 3. 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是( )A.655B.455C.255D.55解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，则BA →＝(0，2，0)，BE →＝(0，1，2)，设∠ABE ＝θ，则cos θ＝|BA →·BE →||BA →||BE →|＝225＝55，sin θ＝1－cos 2θ＝255.故A 到直线BE 的距离 d ＝|AB →|sin θ＝2×255＝45 5.5．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1到平面BDC 1的距离为( )A.2aB.3aC.23a D.33a 解析：选D.明显A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1，1)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，BA →＝(0，－a ，0)，则两平面间的距离为d ＝|BA →·n|n ||＝a 3＝33a .6．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则空间P ，D 两点间的距离为________．解析：设P (x ，y ，z )，由AP →＝(x －1，y －2，z －1)＝2PB →＝2(－1－x ，3－y ，4－z )＝(－2－2x ，6－2y ，8－2z )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z ，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝83，z ＝3，故|PD |＝（－13－1）2＋（83－1）2＋（3－1）2＝773. 答案：7737．三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AS ＝AB ＝AC ＝2，D 是SA 的中点，则点D 到BC 的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，所以BD →＝(－2，0，1)，BC →＝(－2，2，0)，所以BD →在BC →上的投影长为 |BC →·BD →||BC →|＝422＝2， 故D 到BC 的距离为 |BD →|2－（2）2＝ 3.答案： 38．已知ABC -A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1D 的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)， B (32a ，a2，0)， B 1(32a ，a2，a )， D (0，a ，a2)，C 1(0，a ，a )，设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0，n ·OB 1→＝0，即⎩⎨⎧ay ＋a2z ＝0，32ax ＋a 2y ＋az ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋z ＝0，3x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝－2，则y ＝1，x ＝3，所以n ＝(3，1，－2)，C 1D →＝(0，0，－a 2)，则点C 1到平面AB 1D 的距离为|n ·C 1D →||n |＝24a .答案：24a 9．在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，且AB ＝AD ＝1，BB ′＝2，M ，N 分别是A ′D ′，D ′C ′的中点，求直线AC 与直线MN 的距离．解：依据长方体的性质可知AC ∥MN ，故两直线间的距离为点M 到直线AC 的距离． 由题意得AC →＝(－1，1，0)，AM →＝(0，12，－2)．所以点M 到直线AC 的距离d ＝|AM →|2－|AM →·AC →|AC →||2＝174－18＝664. 10．如图，在四棱锥S -ABCD 中，AD ∥BC 且AD ⊥CD ，平面CSD ⊥平面ABCD ，CS ⊥DS ，CS ＝2AD ＝2，E 为BS 的中点，CE ＝2，AS ＝ 3.求点A 到平面BCS 的距离．解：如图，以S (O )为坐标原点，OD 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系．设A (x A ，y A ，z A )，因平面COD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面COD ，即点A 在xOz 平面上，因此y A ＝0，z A ＝|AD →|＝1.又x 2A ＋12＝|AS →|2＝3，x A ＞0，解得x A ＝ 2. 从而A (2，0，1)．因AD ∥BC ，故BC ⊥平面CSD ，即平面BCS 与平面yOz 重合，从而点A 到平面BCS 的距离为x A ＝ 2.[B 能力提升]11．空间直角坐标系中(O 为坐标原点)，在坐标平面xOy 上到点A (3，2，5)，B (3，5，1)距离相等的点有( )A ．1个B ．2个C ．不存在D ．无数个解析：选D.过AB 的中点(3，72，3)且以AB →＝(0，3，－4)为法向量的平面上的点到A 、B的距离相等．12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 的距离为________．解析：以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴正向建立坐标系，在线段AB 上取点E ，使|BE →|＝14|AB →|，易得NE →∥AM →，则AM ∥平面ENC ，则异面直线AM 与CN 的距离等于M 到平面ENC 的距离，E (1，34，0)，N (1，1，12)，C (0，1，0)，M (1，12，1)，EN →＝(0，14，12)，EC →＝(－1，14，0)，EM →＝(0，－14，1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面ENC 的法向量，由n ·EN →＝0，n ·EC →＝0得y ＝－2z ＝4x ，可取n ＝(1，4，－2)， 故AM 与CN 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EM →|n |＝217.答案：21713．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，如图①把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD (如图②)．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)若点M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．解：(1)证明：由已知条件可得BD ＝2，CD ＝2，CD ⊥BD .因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD ⊥AB .(2)以点D 为原点，DB 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A (1，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，1，0)，所以CD →＝(0，－2，0)，AD →＝(－1，0，－1)，MC →＝(－1，1，0)．设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则CD →⊥n ，AD →⊥n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1，0，－1)，所以点M 到平面ACD 的距离d ＝|n ·MC →||n |＝22.14．(选做题)已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ； (2)求点C 1到平面A 1AB 的距离．解：(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以DE ⊥AC ，且A 1D ⊥平面ABC ，以射线DE ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，设A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )，其中t ＞0，则AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，因为AC 1→·CB →＝0，所以AC 1⊥CB ， 又因为BA 1⊥AC 1，所以AC 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知AC 1⊥平面A 1BC ， 所以AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3.设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)． 所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝ |AC 1→·n ||n |＝2217.。

[A 组 基础巩固]1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1，3,0)在α内，则平面α外一点P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.103解析：P A →＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2，1)，所以P 到α的距离为|(1，2，－4)·(－2，－2，1)4＋4＋1|＝|－2－4－43|＝103.答案：D2．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23B.33C.23D.53解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)．设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，PQ ＝(1－μ)2＋(μ－λ)2＋4λ2＝2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1＝5⎝⎛⎭⎫λ－15μ2＋95⎝⎛⎭⎫μ－592＋49，当且仅当λ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23.答案：C3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A.2a B.3a C.23a D.33a 解析：A 1C ⊥平面AB 1D 1，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →＝(0，－a,0)，则两平面间的距离为d ＝|BA →·n|n ||＝a 3＝33a .答案：D4.如图，P -ABCD 是正四棱锥，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )A ．6 B.355 C.655D.322解析：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0,0,2)，D (0,2,2)，P (1，1,4).AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)，∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655.答案：C5．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝5，AB ＝12，则直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是( )A ．5B ．8 C.6013D.132解析：解法一：∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1.从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离即为所求．如图，过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于点E .∵BC ⊥平面A 1ABB 1，且B 1E ⊂平面A 1ABB 1，∴BC ⊥B 1E .又BC ∩A 1B ＝B ，∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1，B 1E 的长即为点B 1到平面A 1BCD 1的距离．在Rt △A 1B 1B 中，B 1E ＝A 1B 1·B 1B A 1B ＝12×552＋122＝6013，∴直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013.解法二：以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)．设B (x,12,0)，B 1(x,12,5)(x ≠0)．设平面A 1BCD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，由n ⊥BC →，n ⊥CD 1→，得n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x,0,0)＝－ax ＝0，n ·CD 1→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0，∴a ＝0，b ＝512c ，∴可取n ＝(0,5,12)．又B 1B →＝(0,0，－5)，∴点B 1到平面A 1BCD 1的距离为|B 1B →·n ||n |＝6013.∵B 1C 1∥平面A 1BCD 1，∴B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离为6013.答案：C6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点F ，G 分别是AB ，CC 1的中点，则点D 1到直线GF 的距离为__________．解析：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，F (1,1,0)，G (0,2,1)，于是有GF →＝(1，－1，－1)，GD 1→＝(0，－2,1)，所以GF →·GD 1→|GF →|＝2－13＝13，|GD 1→|＝5，所以点D 1到直线GF 的距离为5－13＝423.答案：4237．已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．解析：如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则平面ACD 1的一个法向量为(1,1,1)，∵M (1,1，12)，A (1,0,0)，∴AM →＝(0,1，12)，∴点M 到平面ACD 1的距离为 d ＝|(0，1，12)·(1，1，1)|3＝32.又MN →綊12AD 1→，M N ⃘平面ACD 1.故MN ∥平面ACD 1，故MN 到平面ACD 1的距离也为d ＝32. 答案：328．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,1)，∴A 1B →＝(3，1，－1)，A 1C →＝(0,2，－1)． 设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ，z ＝2y ，令y ＝3，则n ＝(3，3,6)，n 0＝⎝⎛⎭⎫14，34，32.又AA 1→＝(0,0,1)，∴d ＝|AA 1→·n 0|＝32.答案：329．已知单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求点A 到平面BDC 1的距离．解析：以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可知B (1,1,0)，C 1(0,1,1)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝－y .令y ＝－1，则平面BDC 1的法向量为n ＝(1，－1,1)． 取平面BDC 1内的点D (0,0,0)，则DA →＝(1,0,0)， ∴点A 到平面BDC 1的距离为d ＝|DA →·n|n ||＝33.10.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．解析：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)， 从而EF →＝(2,2,0)，MN →＝(2,2,0)， AM →＝(－2,0,4)，BF →＝(－2,0,4)． ∴EF →＝MN →，AM →＝BF →， ∴EF ∥MN ，AM ∥BF .又EF ∩BF ＝F ，MN ∩AM ＝M ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面AMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝2x ＋2y ＝0n ·AM →＝－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z y ＝－2z ，取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)为平面AMN 的一个法向量． ∵AB →＝(0,4,0)，∴AB →在n 上的投影为n ·AB →|n |＝－84＋4＋1＝－83，平面AMN 与平面EFBD 间的距离记为d ，∴d ＝|n ·AB →||n |＝83.[B 组 能力提升]1．已知ABC -A 1B 1C 1是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B.28a C.324aD.22a 解析：连接A 1B 交AB 1于点E ，连接ED ，A 1D ，DB ，易证A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥ED . ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，∴A 1B →是平面AB 1D 的一个法向量．∴点C 到平面AB 1D 的距离为 d ＝|AC →·A 1B →||A 1B →|＝|AC →·(A 1A →＋AB →)|2a＝|AC →·A 1A →＋AC →·AB →|2a ＝|0＋a ×a ×cos 60°|2a ＝24a .答案：A2．在空间直角坐标系中，定义平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于( )A.55B.255 C ．2D ．5解析：作出正四棱锥P －A ′B ′C ′D ′，如图，以底面中心O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A ′(1,1,0)，B ′(－1,1,0)，P (0,0,2)，设平面P A ′B ′的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以平面P A ′B ′的方程为－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，所以点O 到侧面的距离d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝255.答案：B3．如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，PD ＝3，AD ＝2，若M 是AB 的中点，则点M 到平面P AC 的距离为________．解析：如图建系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2，2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则M (2,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面P AC 的一个法向量，P A →＝(2,0，－3)，PC →＝(0,2，－3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·PC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3z ＝0，2y －3z ＝0⇒x ＝y ＝3z2， 取z ＝2，则x ＝y ＝3，n ＝(3,3,2)， MA →＝(0，－1,0)，d ＝|n ·MA →||n |＝322＝32222，所以点M 到平面P AC 的距离为32222.答案：322224．如图，四面体A －BCD 中，O ，E 分别为BD ，BC 的中点，AB ＝AD ＝2，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝22，AO ⊥平面BCD ，则点D 到平面ABC 的距离为__________．解析：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0，2)，B (2，0,0)，C (0，6，0)，D (－2，0,0)，∴AB →＝(2，0，－2)，BC →＝(－2，6，0)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0BC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0－2x ＋6y ＝0，令y ＝1，得n ＝(3，1，3)，又AD →＝(－2，0，－2)，∴点D 到平面ABC 的距离h ＝|AD →·n ||n |＝|－2×3－2×3|3＋1＋3＝2427.答案：24275．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CC 1的中点． (1)求证：AD ∥平面A 1EFD 1； (2)求AD 到平面A 1EFD 1的距离．解析：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，D (0，0,0)，D 1(0,0，a )，E (a ，a ，a2)，F (0，a ，a2)．∵DA →＝(a,0,0)，D 1A 1→＝(a,0,0)． ∴DA ∥D 1A 1，而D 1A 1平面A 1EFD 1，DA平面A 1EFD 1，∴DA ∥平面A 1EFD 1.(2)由(1)知D 1F →＝(0，a ，－a 2)，DD 1→＝(0,0，a )．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1EFD 1的法向量， 则⎩⎨⎧ n ·D 1F →＝ay －a2z ＝0，n ·D 1A 1→＝ax ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12z .取z ＝1得n ＝(0，12，1)，∴DD 1→在n 上的投影长为d ＝|n ·DD 1→||n |＝a 14＋1＝255a .∴AD 到平面A 1EFD 1的距离是255a . 6.如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段P A ，PD 的中点．问：线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为45？若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由．解析：由题意知P A ，AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (0,2,0)，E (0,0,1)，F (0,1,1)．假设在线段CD 上存在一点Q 满足题设条件．令CQ ＝m (0≤m ≤2)，则DQ ＝2－m .∴点Q 的坐标为(2－m,2,0)，∴EQ →＝(2－m,2，－1)．而EF →＝(0,1,0)，设平面EFQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF →＝0n ·EQ →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0(2－m )x ＋2y －z ＝0， 令x ＝1，则n ＝(1,0,2－m )是平面EFQ 的一个法向量．又AE →＝(0,0,1)，∴点A 到平面EFQ 的距离d ＝|AE →·n ||n |＝|2－m |1＋(2－m )2＝45，即(2－m )2＝169，∴m ＝23或m ＝103(舍去)．故存在点Q ，且CQ ＝23时，点A 到平面EFQ 的距离为45.。