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一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结(上)

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精 华 名 师 辅 导 教学内容：一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总结(上)

【基本目标要求】 一、经历由具体实例建立不等式模型的过程，了解不等式和一元一次不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质. 二、了解不等式的解和解集的概念，掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等式的解集． 三、初步认识一元一次不等式的应用价值． 四、了解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴表示一元一次不等式组的解集． 五、会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题，感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，发展学生分析问题、解决问题的能力．

【基础知识导引】 一、不等式及其基本性质 1．定义 凡用符号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)连接的式子叫做不等式． 2．性质 性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

二、不等式的解集 1．不等式的解集 一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 2．解不等式 求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如5x≥15的解集为x≥3，即在数轴上(图1-1)用表示3的点及其右边部分来表示，这里的黑点表示包括3这一点．如果不等式的解集为-1≤x＜4(图1-2)，则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示，这里的黑点表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括4这一点在内．

三、一元一次不等式和它的解法 1．一元一次不等式 左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式．叫做一元一次不等式． 2．一元一次不等式标准形式 ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 3．同解不等式 如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式． 4．不等式的同解原理 原理l 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式； 原理2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式； 原理3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式． 5．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表1-1所示． 表1-1 解一元一次方程 解一元一次不等式

解法步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1。

（1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）系数化成1。 在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号改变方向

解的情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式的解集含有无限多个数

四、一元一次不等式组和它的解法 1．一元一次不等式组的解集 一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集． 2．解不等式组 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组． 3．解一元一次不等式组的两个步骤 (1)求出这个不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．

【重点难点点拨】 本章的重点是一元一次不等式的解法．本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3，要注意变号． 另外，要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、一次函数三者之间的关系．要掌握以上重点、难点，必须注意以下问题． 一、一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的区别与联系 1．一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数，一次函数含有两个未知数，它们的左右两边都是整式． 2．一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等的关系，一次函数不仅表示相等关系，更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系． 3．一元一次方程和一次函数的图象都是一条直线，一元一次不等式的图象是直线一侧(有时包含直线，有时不包含直线)的区域． 4．一元一次方程的解是其图象(直线)与x轴交点的横坐标的值，至于一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式，只须依据两个独立条件确定k、b，即可求出一次函数． 二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用 令一次函数y=kx+b(k≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式．

【发散思维导练】 ★ 发散思维分析 本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法，及一元一次不等式组和它的解法．它们是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、研究一次函数的基础上引入的、一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其它不等式的基础．正确地解一元一次不等式，关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原理．学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、一元一次方程、一次函数的有关内容对比，找出它们之间的联系和区别，用数轴表示不等式的解集，利用数轴求不等式的解集等，都体现了数形结合的思想方法．本章安排了一定数量的迁移发散题，迁移发散利用数学式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一个分科中，达到化难为易的目的． ★ 发散思维应用 1．不等关系 2．不等式的基本性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式

【典型例题】 1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．

(1)16144xx；

(2)5.265413315.0x。. 解 (1)去分母，得 12)1(2)4(3xx，

去括号，得 1222123xx，

合并同类项，得 x<-2； 原不等式的解集在数轴上表示如下(图1-3) (2)56541331x， 1541331x，

35413x，

2413x，

∴ 3x. 原不等式的解集在数轴上表示为(图1-4)

2．解不等式1)1(22xx，并把它的解集在数轴上表示出来． 解 原不等式化为 2)1(22xx，2222xx，

∴x>-2. 它在数轴上表示为(图1-5)

3．求使方程组36542myxmyx的解x,y都是正数的m的取值范围． 解 解方程组36542myxmyx得

.527mymx

∵ 它的解为正数， ∴ .052,07mm ∴.25,7mm ∴ 725m. 故当725m时，原方程的解都是正数．

【题型发散】 发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内． (1)下面列出的不等式中，正确的是 ( ) (A)a不是负数，可表示成a＞0 (B)x不大于3，可表示成x＜3 (C)m与4的差是负数，可表示成m-4＜0 (D)x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0 (2)下列不等式中一定成立的是 ( ) (A)4a＞3a (B)3-x＜4-x

(C)-a＞-2a (D)aa23 (3)不等式5(x+1)-3x＞2x+3的解集为 ( ) (A)x＞-1 (B)x＞1 (C)无解 (D)一切实数 (4)如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，那么 (A)m=6 (B)m等于5，6，7 (C)无解 (D)5≤m≤7 (5)不等式14x-7(3x+8)＜4(2x-5)的负整数解是 ( ) (A)-3，-2，-1，0 (B)-4，-3，-2，-1 (C)-2，-1 (D)以上答案都不对

(6)已知0|32|)2(2nbaa中，b为正数，则n的取值范围是( ) (A)n＜2 (B)n＜3 (C)n＜4 (D)n＜5 解 (1)用直接法. ∵ a不是负数，可表示成a≥0； x不大于3，应表示成x≤3； x与2的和是非负数应表示成x+2≥0， ∴ 只有(C)正确． 故本题应选(C)． (2)用排除法． 由不等式的性质，若a＜0，则(A)，(C)，(D)三个选项都不正确，可排除(A)，(C)，(D)． 故本题应选(B)． (3)用直接法． 解不等式，经移项、合并同类项，得 O＞-2． 上面不等式与x无关，它的解集为一切实数． 故本题应选(D)． (4)用直接法． ∵ x+2m-3=3x+7 解得 x=m-5． 依据题意得0≤x≤2， 即 0≤m-5≤2，∴ 5≤m≤7． 故本题应选(D)． (5)用排除法． 14x-7(3x十8)＜4(2x-5)， 14x-21x-56＜8x-20， 14x-21x-8x＜-20+56， -15x＜36，

522x,

所以，(A)，(B)，(D)均可排除． 故本题应选(C)． (6)用直接法．

∵ 0|32|)2(2nbaa. 得 a-2=0，则 a=2． 2a-3b-n=0，以a=2代入，得 34nb， ∴ b为正数，∴ 4-n＞0， ∴ n＜4． 故本题应选(C)．

发散2 填空题 (1)若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k的取值范围是_________． (2)若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a的取值范围是_____________． (3)在下面横线上填上等号或不等号． 设m＞n，那么 m-5________n-5；-5m__________-5n；

10m_____________10n；mp____________np。

(4)有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________． (5)已知0≤a≤15，且a≤x≤15，则当x_________时，式子｜x-a｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小． 解 (1)∵ kx+1=2x-1， ∴ (k-2)x=-2，

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专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)

专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型(举一反三)(沪科版)(原卷版)

专题1.2 一元一次不等式与不等式组章末重难点题型【沪科版】【考点1 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

【例1】（2019春•南平期中）下列四个不等式：（1）ac＞bc；（2）﹣ma＜mb；（3）ac2＞bc2；（4）＞1，一定能推出a＞b的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2018春•江汉区期末）若a＞b，则下列结论：①a+x＞b+x；②＞；③ax2＞bx2；④ab＜b2；⑤﹣|a|＜﹣|b|．其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2019春•冠县期末）下列式子正确的是（）A．若＜，则x＜y B．若bx＞by，则x＞yC．若＝，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y【变式1-3】（2019春•宜宾县校级期中）若ab＜0，且a＜b，下列解不等式正确的是（）A．由ax＜b，得x＜B．由（a﹣b）x＞2，得x＞C．由bx＜a，得x＞D．由（b﹣a）x＜2，得x＜【考点2 由实际问题抽象出一元一次不等式】【方法点拨】由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【例2】（2019春•湘桥区期末）某种商品的进价为600元，出售时标价为900元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【变式2-1】（2019春•威远县校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8xC．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【变式2-2】（2019春•肥城市期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2016﹣2017赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是（）A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48【变式2-3】（2019•江北区一模）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为（）A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27C．3×5+3×0.8（x﹣5）≤27 D．3×5+3×0.8（x﹣5）≥27【考点3 解一元一次不等式】【方法点拨】解一元一次不等式组的步骤：（1）求出每个不等式的解集；（2）求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3）用代数符号语言来表示公共部分。

八年级数学北师大版初二下册--第二单元 2.6《一元一次不等式组》课件

八年级数学北师大版初二下册--第二单元 2.6《一元一次不等式组》课件

(2)设商店所获利润为y(单位：元)，购进篮球的个数为 x(单位：个)，请写出y与x之间的函数关系式(不要 求写出x的取值范围)．
(3)若要使商店的进货成本在4 300元的限额内，且全 部销售完后所获利润不低于1 400元，请你列举出 商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？
解：(1)设购进篮球m个，排球n个，
根据题意得
ìïïíïïî
x＋3 y＝1.4， 2x＋5 y＝2.5.
解得
ìïïíïïî
x＝0.5， y＝0.3.
答：每台大型收割机1 h收割小麦0.5公顷，每台小型收割
机1 h收割小麦0.3公顷．
(2)设大型m)台，
根据题意得
w＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m＋4 000.
ìïïíïïî
8m＋（5 20－m）³ 20－m ³ 2.
148，
解得16≤m≤18.
∵m取整数，
∴m可取16，17，18.
故有三种派车方案：
方案一：大型运输车16辆，小型运输车4辆；
方案二：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
方案三：大型运输车18辆，小型运输车2辆．
应用 6 租车方案
8.【 中考•绵阳】江南农场收割小麦，已知1台大型 收割机和3台小型收割机1 h可以收割小麦1.4公顷， 2台大型收割机和5台小型收割机1 h可以收割小 麦2.5公顷． (1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小 麦各多少公顷？
解得35≤x≤37.5.
∵x为整数，∴x＝35，36，37.
方案如下：
方案 一 二 三
A型口罩 35 36 37
B型口罩 15 14 13
设购买口罩需要y元， 则y＝5x＋7(50－x)＝－2x＋350，k＝－2<0， ∴y随x增大而减小， ∴x＝37时，y的值最小． 答：有3种购买方案，其中方案三最省钱．
第8讲 一元一次不等式(组)及其应用

第8讲 一元一次不等式(组)及其应用

A，B两种水果共1 500千克进行销售，其中A种水果收购单价10
元/千克，B种水果收购单价15元/千克.
(1)求A，B两种水果各购进多少千克.
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划
A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的
最低销售单价.
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解:(1)设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
③从反面求解确定;④借助数轴确定.
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变式4－1 [2025·预测]若关于x的不等式组
+1

＜ －1，
3
2
＜4
无
解，则m的取值范围是_________.
m≤2
【解析】
−1

解不等式
＜ －1，得x＞8.
3
2
∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2.
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4－2 ≥ 0，
＋2＝110，
＝50，
由题意，得
解得
＝30.
2＋3＝190，
答:脐橙树苗的单价为50元/棵，黄金贡柚树苗的单价为30元/棵.
(2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵，
由题意，得50m＋30(1 000－m)≤38 000，解得m≤400.
答:最多可以购买脐橙树苗400棵.
正数
同一个负数，必须__________________，所得的不等式成立.
改变不等号的方向
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3.一元一次不等式
(1)一元一次不等式:不等号的两边都是整式，而且只含有一个
未知数，未知数的最高次数是_________次，这样的不等式叫
初中数学_《一元一次不等式与一元一次不等式组》单元起始课教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_《一元一次不等式与一元一次不等式组》单元起始课教学设计学情分析教材分析课后反思

第十一章“一元一次不等式（组）”单元起始课教学设计一、教学理念：1、尊重学生的学习体验；2、注重知识的生成过程；3、突出学生的主体地位；4、让学生学习有价值的数学。

二、教学目标：1、了解不等式的意义和不等式的性质；2、理解不等式的解及解集的概念，会用数轴表示简单不等式的解集；3、经历建构研究不等式内容的框架图，体会“类比”是研究数学的重要方法,提升数学素养．二、重点：一元一次不等式的相关概念和性质的得出难点：不等式性质3三、教学过程（一）、解决问题，激发生成问题 1、幼儿园王老师给小朋友分糖果，如果每人分5块，还剩3块；如果每人分6块，则差5块. 有多少个小朋友？有多少块糖果?借助方程（组）可以解决生活中许多等量关系的问题，我们学过哪些与方程有关的知识点呢？（通过方程这个知识点建构一元一次方程的知识体系）问题2、幼儿园张老师给小朋友分糖果，如果每人分5块，还剩3块；如果每人分6块，则有一个小朋友不足6块. 有多少个小朋友？有多少块糖果?生活中还存在着不等量关系，如何表达呢？【类比等式，建构不等式的概念】1.根据你的理解，什么样的式子叫做不等式？（引导学生说出“用不等号连接表示不相等关系的式子，叫做不等式）2.如何用不等式表示生活中的不等关系？请举例说明。

3.表示不等关系的关键词有哪些？（二）类比联想，促进生成【类比等式，建构不等式的框架】刚才类比等式，我们得出了什么叫不等式，在本章，我们将系统地学习最简单的不等式-----一元一次不等式的相关内容，还有一元一次不等式组的知识。

请大家根据前面学习等式的经验，你认为我们将学习不等式的哪些内容呢？【板书课题：一元一次不等式（组）】可以从学习内容、过程、方法等多个角度谈谈你的看法。

（三）深入探究，自主生成【类比一元一次方程的相关概念，建构一元一次不等式的相关概念】活动1：观察下列不等式：该如何定义？活动2：类比一元一次方程的解的定义，什么是不等式的解呢？请举例说明。