2018届江苏省高考压轴卷数学试题及答案

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用
0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用
0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用
2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：
锥体的体积1
3V Sh ，其中S 是锥体的底面积，
h 是锥体的高．一、填空题：本大题共
14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．
1．已知集合{0,1,2,8}A ，{1,1,6,8}B ，那么A B ▲　．
2．若复数z 满足i 12i z ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为▲　．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
5位裁判打出的分数的平均数为▲　．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为▲　．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 已知集合，，那么__________.2. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______.4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______.5. 函数的定义域为__________.6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________.7. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是__________.9. 函数满足，且在区间上，，则的值为__________.10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.11. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点若，则点A的横坐标为__________. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________.14. 已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为______.15. 在平行六面体中，，求证：平面；平面平面16. 已知，为锐角，，求的值；求的值．17. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点，，圆O的直径为求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若的面积为，求直线l的方程．19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．证明：函数与不存在“S点”；若函数与存在“S点”，求实数a的值；已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．20. 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．设，，，若对，2，3，4均成立，求d的取值范围；若，，证明：存在，使得对，3，…，均成立，并求d的取值范围用，m，q表示21. 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为若，求BC的长．22. 已知矩阵求A的逆矩阵；若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．23. 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．24. 若x，y，z为实数，且，求的最小值．25. 如图，正三棱柱中，，点P，Q分别为，BC的中点．求异面直线BP与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的正弦值．26. 设，对1，2，……，n的一个排列……，如果当时，有，则称是排列……的一个逆序，排列……的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．求，的值；求的表达式用n表示答案和解析1.【答案】【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，属于基础题．【解答】解：，，，故答案为：2.【答案】2【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得，的实部为故答案为：3.【答案】90【解析】【分析】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为故答案为：4.【答案】8【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属基础题.【解答】解：模拟程序的运行过程如下；，，，，，，，，此时不满足循环条件，则输出故答案为：5.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：，函数的定义域是故答案为：6.【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可.【解答】解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率，故答案为：7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：的图象关于直线对称，，，即，，，当时，，故答案为：8.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，可得：，可得，即，所以双曲线的离心率为：故答案为：9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由得函数是周期为4的周期函数，则，，即，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，属于中档题．将多面体看做两个正四棱锥，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的体积为故答案为11.【答案】【解析】【分析】解：，，①当时，，函数在上单调递增，，在上没有零点，舍去；②当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，，解得，则，，，的解集为，在上递增，在上递减，，，，，，在上的最大值与最小值的和为：【解答】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．推导出，，当时，，，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，，，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．设，，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合求得a值得答案．【解答】解：设，，，，则圆C的方程为联立，解得解得：或又，即A的横坐标为故答案为：13.【答案】9【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用1的代换的方法进行求解即可．【解答】解：由题意得，即，得，得，当且仅当，即，亦即，时，取等号，故答案为：14.【答案】27【解析】【分析】本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题.根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出n的最小值. 【解答】解：集合A是由所有正奇数组成的集合，集合B是由组成的集合，所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，，，不符合题意；当时，，，，符合题意．故使得成立的n的最小值为故答案为：15.【答案】证明：平行六面体中，，又平面平面；得平面；在平行六面体中，，得四边形是菱形，在平行六面体中，，又，平面，平面得面，且平面平面平面【解析】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．由平面；可得四边形是菱形，，由面，平面平面16.【答案】解：由，解得，；由得，，则，，，则【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题．由已知结合平方关系求得，的值，再由倍角公式得的值；由求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解．17.【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时，；当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是较难题．根据图形计算矩形ABCD和的面积，求出的取值范围；根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数，利用导数求的最大值，即可得出为何值时年总产值最大．18.【答案】解：由题意可设椭圆方程为，焦点，，椭圆C过点，，又，解得，椭圆C的方程为：，圆O的方程为：①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，可设直线l的方程为，由圆心到直线l的距离等于圆半径，可得，即由，可得，，可得，，结合，，解得，将，代入，可得，解得，，故点P的坐标为②设，，由联立直线与椭圆方程得，，O到直线l的距离，，的面积为，解得，正值舍去，直线l的方程为【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于较难题．由题意可得，，又，解得，，即可得到椭圆C的方程和圆O的方程；①可设直线l的方程为，，可得，即，由，可得，，解得，，进而可得P点坐标；②设，，联立直线与椭圆方程得，根据弦长公式和点到直线得距离公式可解得，正值舍去，，即可得到直线方程.19.【答案】解：证明：，，则由定义得，得方程无解，则与不存在“S点”；，，，由得，得，，得；，，，由，假设，得，得，由，得，得，令，，设，，则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点．【解析】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；根据“S点”的定义解两个方程即可；分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．20.【答案】解：由题意可知对任意，2，3，4均成立，，，，解得即且对，3，…，均成立，，…，，即，…，，…，，，…，，又，…，，存在，使得对，3，…，均成立当时，，设，则，…，，设，，单调递增，，设，且设，则，，，，在上恒成立，即单调递减，又，，对…，均成立，数列，…，单调递减，的最大值为，的最小值为，的取值范围是【解析】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．21.【答案】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以因为圆O的半径为2，，所以，，所以，所以，所以为等边三角形，所以【解析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断是等边三角形，BC的长．本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．22.【答案】解：矩阵，，所以A可逆，从而：A的逆矩阵设，则，所以，因此点P的坐标为【解析】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．矩阵，求出，A可逆，然后求解A的逆矩阵设，通过，求出，即可得到点P的坐标．23.【答案】解：曲线C的方程为，，，曲线C是圆心为，半径为得圆．直线l的方程为，，直线l的普通方程为：圆心C到直线l的距离为，直线l被曲线C截得的弦长为【解析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．24.【答案】解：由柯西不等式得，，是当且仅当时，不等式取等号，此时，，，的最小值为4【解析】本题主要考查求的最值，利用柯西不等式是解决本题的关键．根据柯西不等式进行证明即可．25.【答案】解：如图，在正三棱柱中，设AC，的中点分别为O，，则，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，，点P为的中点．，，异面直线BP与所成角的余弦值为；为BC的中点．，，设平面的一个法向量为，由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角，向量法求空间角，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．设AC，的中点分别为O，，以为基底，建立空间直角坐标系，由可得异面直线BP与所成角的余弦值；求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的正弦值为，可得，即可得直线与平面所成角的正弦值．26.【答案】解：记为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，，，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，；对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，当时，……因此，当时，【解析】由题意直接求得的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得的值；对一般的的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得，则当时，…，则的表达式可求．本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．下列函数中，周期为2π的是（ ）A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A ．5B ．52C ．3D ．2 4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ）①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷> 本试题卷分为非选择题(第1题～第20题，共20题>．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：(1>样本数据x1，x2，…，xn 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. (2>直棱柱的侧面积S ＝ch ，其中c 为底面周长，h 为高． (3>棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合A ＝{－1，1，2，4}，B ＝{－1，0，2}，则A ∩B ＝________.2．函数f(x>＝log5(2x ＋1>的单调增区间是________．3．设复数z 满足i(z ＋1>＝－3＋2i(i 为虚数单位>，则z 的实部是________．4．根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的m 的值为________．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数．则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．SjkbsIFcn16．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________.SjkbsIFcn17．已知tan()4x π+＝2，则tan tan 2xx的值为________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数2()f x x=的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．SjkbsIFcn19．函数f(x>＝Asin(ωx ＋φ>(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0>的部分图象如图所示，则f(0>的值是________．SjkbsIFcn110．已知e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e1－2e2，b ＝ke1＋e2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．SjkbsIFcn111．已知实数a ≠0，函数2,1,()2, 1.x a x f x x a x +<⎧⎨--≥⎩=若f(1－a>＝f(1＋a>，则a 的值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x>＝ex(x ＞0>的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．SjkbsIFcn113．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q 的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．SjkbsIFcn114．设集合A ＝{(x ，y>|2m ≤(x －2>2＋y2≤m2，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y>|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．SjkbsIFcn1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．(1>若sin()6A π+＝2cos A ，求A 的值；(2>若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．SjkbsIFcn1求证：(1>直线EF ∥平面PCD ； (2>平面BEF ⊥平面PAD ．17．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm>．SjkbsIFcn1(1>某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2>最大，试问x 应取何值？(2>某厂商要求包装盒的容积V(cm3>最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆22=142x y 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C ．连结AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k.SjkbsIFcn1(1>若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (2>当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3>对任意的k ＞0，求证：PA ⊥PB ．19．已知a ，b 是实数，函数f(x>＝x3＋ax ，g(x>＝x2＋bx ，f ′(x>和g ′(x>分别是f(x>和g(x>的导函数．若f ′(x>g ′(x>≥0在区间I 上恒成立，则称f(x>和g(x>在区间I 上单调性一致．SjkbsIFcn1(1>设a ＞0，若f(x>和g(x>在区间[－1，＋∞>上单调性一致，求b 的取值范围；(2>设a ＜0且a ≠B ．若f(x>和g(x>在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b|的最大值．SjkbsIFcn120．设M 为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n 项的和为S n ，已知对任意的整数k ∈M ，当整数n ＞k 时，Sn ＋k ＋Sn －k ＝2(Sn ＋Sk>都成立．SjkbsIFcn1(1>设M ＝{1}，a2＝2，求a5的值；(2>设M ＝{3，4}，求数列{an}的通项公式． 21．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A ，其半径分别为r1与r2(r1＞r2>．圆O1的弦AB 交圆O2于点C(O1不在AB 上>．求证：AB ∶AC 为定值． B ．选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦，向量β＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得A2α＝β. C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数>的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩ (t 为参数>平行的直线的普通方程．SjkbsIFcn1D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|＜3.22．如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC1上．设二面角A1—DN —M 的大小为θ.SjkbsIFcn1(1>当θ＝90°时，求AM 的长；(2>当cos θ＝6时，求CM 的长． 23．设整数n ≥4，P(a ，b>是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1，2，3，…，n}，a ＞B ．SjkbsIFcn1(1>记An 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求An ；(2>记Bn 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求Bn.参考答案1．答案：{－1，2} 2．答案：(12-，＋∞> 3．答案：1 4．答案：35．答案：136．答案：1657．答案：498．答案：4910．答案：54.11．答案：34-12．答案：2e +12e1314．答案：[12，2]15．解：(1>由题设知sin cos +cos sin 66A A ππ＝2cos A ．从而sinA ＝，cos A ≠0，所以tan A .因为0＜A ＜π，所以A ＝3π.SjkbsIFcn1(2>由cos A ＝13，b ＝3c 及a2＝b2＋c2－2bccos A ，得a2＝b2－c2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.16．证明：(1>在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ． 所以直线EF ∥平面PCD ．(2>连结BD ．因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD ．SjkbsIFcn1又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．17．解：设包装盒的高为h(cm>，底面边长为a(cm>．由已知得a，h=)x =-，0＜x ＜30. (1>S ＝4ah ＝8x(30－x>＝－8(x －15>2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2>V ＝a2h＝32+30x x -），V′＝(20)x -． 由V ′＝0得x ＝0(舍>或x ＝20.当x ∈(0，20>时，V ′＞0；当x ∈(20，30>时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时1=2h a .即包装盒的高与底面边长的比值为12.18. 解：(1>由题设知，a ＝2，b M(－2，0>，N(0，，所以线段MN 中点的坐标为(－1，2->．由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以2=12k -.SjkbsIFcn1(2>直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得224+=142x x ，解得23x =±，因此P(23，43>，A(23-，43->．于是C(23，0>，直线AC 的斜率为40+3=122+33，故直线AB 的方程为2=03x y --.因此，d＝3. (3>解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入22+=142x y ，解得x＝记μP(μ，μk>，A(－μ，－μk>．于是C(μ，0>．故直线AB 的斜率为0++k μμμ＝2k ，其方程为y ＝2kx μ-（）代入椭圆方程得(2＋k2>x2－2μk2x －μ2(3k2＋2>＝0，解得x ＝22322k kμ(+)+或x ＝－μ.因此B(22322k k μ(+)+，322k k μ+>．SjkbsIFcn1于是直线PB 的斜率k1＝32222322k k k k k μμμμ-+(+)-+＝32222322k k k k k -(+)+-(+)＝1k-.因此k1k ＝－1，所以PA ⊥PB ．解法二：设P(x1，y1>，B(x2，y2>，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1>，C(x1，0>．设直线PB ，AB 的斜率分别为k1，k2.因为C 在直线AB 上，所以k2＝1110y x x -(-)-(-)＝112yx ＝2k.SjkbsIFcn1从而k1k ＋1＝2k1k2＋1＝2·2121y y x x --·2121()()y y x x ----＋1 ＝2221222122y y x x --＋1＝22222211222122x y x y x x (+)-(+)- ＝222144x x --＝0.因此k1k ＝－1，所以PA ⊥PB ． 19．解：f ′(x>＝3x2＋a ，g ′(x>＝2x ＋B ．(1>由题意知f ′(x>g ′(x>≥0在[－1，＋∞>上恒成立．因为a ＞0，故3x2＋a ＞0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞>上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞>．SjkbsIFcn1(2>令f ′(x>＝0，解得x＝若b ＞0，由a ＜0得0∈(a ，b>．又因为f ′(0>g ′(0>＝ab ＜0，所以函数f(x>和g(x>在(a ，b>上单调性不一致．因此b ≤0.SjkbsIFcn1现设b ≤0.当x ∈(－∞，0>时，g ′(x>＜0；当x ∈(－∞，时，f ′(x>＞0.因此，当x ∈(－∞，时，f ′(x>g ′(x>＜0.故由题设得a≥b≥13-≤a ＜0，于是13-≤b ≤0.因此|a －b|≤13，且当a ＝13-，b ＝0时等号成立．SjkbsIFcn1又当a ＝13-，b ＝0时，f ′(x>g ′(x>＝6x(x219->，从而当x ∈(13-，0>时f ′(x>g ′(x>＞0，故函数f(x>和g(x>在(13-，0>上单调性一致．因此|a －b|的最大值为13.SjkbsIFcn120．解：(1>由题设知，当n ≥2时，Sn ＋1＋Sn －1＝2(Sn ＋S1>，即(Sn ＋1－Sn>－(Sn －Sn －1>＝2S1.从而an ＋1－an ＝2a1＝2.又a2＝2.故当n ≥2时，an ＝a2＋2(n －2>＝2n －2.所以a5的值为8.(2>由题设知，当k ∈M ＝{3，4}且n ＞k 时，Sn ＋k ＋Sn －k ＝2Sn ＋2Sk 且Sn ＋1＋k ＋Sn ＋1－k ＝2Sn ＋1＋2Sk ，两式相减得an ＋1＋k ＋an ＋1－k ＝2an ＋1，即an ＋1＋k －an ＋1＝an ＋1－an ＋1－k.所以当n ≥8时，an －6，an －3，an ，an ＋3，an ＋6成等差数列，且an －6，an －2，an ＋2，an ＋6也成等差数列．SjkbsIFcn1从而当n ≥8时，2an ＝an ＋3＋an －3＝an ＋6＋an －6，(*> 且an ＋6＋an －6＝an ＋2＋an －2，所以当n ≥8时，2an ＝an ＋2＋an －2，即an ＋2－an ＝an －an －2，于是当n ≥9时，an －3，an －1，an ＋1，an ＋3成等差数列，从而an ＋3＋an －3＝an ＋1＋an －1，故由(*>式知2an ＝an ＋1＋an －1，即an ＋1－an ＝an －an －1，当n ≥9时，设d ＝an －an －1.SjkbsIFcn1当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*>式知2am ＋6＝am ＋am ＋12，故2am ＋7＝am ＋1＋am ＋13.SjkbsIFcn1从而2(am ＋7－am ＋6>＝am ＋1－am ＋(am ＋13－am ＋12>，于是am ＋1－am ＝2d －d ＝D ．SjkbsIFcn1因此，an ＋1－an ＝d 对任意n ≥2都成立．又由Sn ＋k ＋Sn －k －2Sn ＝2Sk(k ∈{3，4}>可知(Sn ＋k －Sn>－(Sn －Sn －k>＝2Sk ，故9d ＝2S3且16d ＝2S4.解得472a d =，从而232a d =，12d a =.因此，数列{an}为等差数列．由a1＝1知d ＝2.SjkbsIFcn1所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1. 21．选做题A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E 和点D ．连结BD ，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A ，所以点O2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O1，圆O2的直径．SjkbsIFcn1从而∠ABD ＝∠ACE ＝2π. 所以BD ∥CE ，于是112222r r AB AD AC AE r r ===. 所以AB ∶AC 为定值．B ．选修4—2：矩阵与变换解：A2＝1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 设α＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由A2α＝β，得3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而321,43 2.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c4，所以右焦点为(4，0>．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.SjkbsIFcn1故所求直线的斜率为12，因此其方程为1(4)2y x =-，即x －2y －4＝0.D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩解得1423x ≤<或122x -<<.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<．22．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设CM ＝t(0≤t ≤2>，则各点的坐标为A(1，0，0>，A1(1，0，2>，N(12，1，0>，M(0，1，t>．所以DN ＝(12，1，0>，DM ＝(0，1，t>，1DA ＝(1，0，2>．设平面DMN 的法向量为n1＝(x1，y1，z1>，则n1·DN ＝0，n1·DM ＝0.即x1＋2y1＝0，y1＋tz1＝0，令z1＝1，则y1＝－t ，x1＝2t.所以n1＝(2t ，－t ，1>是平面DMN 的一个法向量．SjkbsIFcn1设平面A1DN 的法向量为n2＝(x2，y2，z2>，则n2·1DA ＝0，n2·DN ＝0.即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0.SjkbsIFcn1令z2＝1，则x2＝－2，y2＝1.所以n2＝(－2，1，1>是平面A1DN 的一个法向量．从而n1·n 2＝－5t ＋1.SjkbsIFcn1(1>因为θ＝90°，所以n1·n 2＝－5t ＋1＝0，解得t ＝错误!.从而M(0，1，错误!>．所以AM＝5.SjkbsIFcn1(2>因为|n1|，|n2|， 所以cos 〈n1，n2〉＝1212⋅n n n n. 因为〈n1，n2〉＝θ或π－θ，所以＝6，解得t ＝0或t ＝12.根据图形和(1>的结论可知t ＝12，从而CM 的长为12. 23．解：(1>点P 的坐标满足条件：1≤b ＝a －3≤n －3，所以An ＝n －3.(2>设k 为正整数，记fn(k>为满足题设条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数．只要讨论fn(k>≥1的情形．由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知fn(k>＝n －3k ，且k ≤13n -.SjkbsIFcn1设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N*，r ∈{0，1，2}，则k ≤m.所以11()(3)mmn n k k B f k n k ====-∑∑3(1)(233)22m m m n m mn +--=-= 将13n r m --=代入上式，化简得(1)(2)(1)66n n n r r B ---=-.所以3,631263n n n nB n n n (-)⎧⎪⎪=⎨(-)(-)⎪⎪⎩是整数，，不是整数。

历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。

1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。

1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。

1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。

1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =，OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2．B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为，，所以A 可逆， 2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A det()221310=⨯-⨯=≠A 从而． 1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）设P (x ，y )，则，所以， 233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 因此，点P 的坐标为(3，–1)．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C 的极坐标方程为，=4cos ρθ所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为， πsin()26ρθ-=则直线l 过A （4，0），倾斜角为， π6所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =． π6连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， π2所以．π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得．2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++因为，所以，22=6x y z ++2224x y z ++≥当且仅当时，不等式取等号，此时， 122x y z ==244333x y z ===，，所以的最小值为4．学&科网222x y z ++22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．1,{},OB OC OO 因为AB =AA 1=2，所以．1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C AB C --（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以，1,2)2P -从而，11(,2)(0,2,22),BP AC ==- 故．111|||cos ,|||||BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅因此，异面直线BP 与AC 1（2）因为Q 为BC 的中点，所以， 1,0)2Q因此，． 3,0)2AQ = 11(0,2,2),(0,0,2)AC CC == 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则即 10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 30,2220.x y y z +=⎪+=⎩不妨取，1,1)=-n 设直线CC 1与平面AQC 1所成角为， θ则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n 所以直线CC 1与平面AQC 1 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．学&科网解：（1）记为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()abc τ，(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，所以．333(0)1(1)(2)2f f f ===，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以．(0)1n f =逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以． (1)1n f n =-为计算，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的1(2)n f +位置只能是最后三个位置．因此，．1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…， 242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=因此，n ≥5时，． (2)n f =222n n --。