【数学】九年级第一学期期中复习经典讲义-北京-海淀

《特殊平行四边形》【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；高底平行四边形⨯=S（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S例1.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．例2、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．变式如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.例3、（2016•南京二模）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．《特殊平行四边形》【巩固练习】一.选择题1. 如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（ ）.A.2cmB.1cmC.1.5cmD.3cm2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.如图所示，将一张矩形纸ABCD 沿着GF 折叠(F 在BC 边上，不与B ，C 重合)，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数α满足( )．A ．90°＜α＜180°B ．α＝90°C ．0°＜α＜90°D ．α随着折痕位置的变化而变化4.（2015•武进区一模）如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．32 B ．75 D 5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.如图是一张矩形纸片ABCD ，AD=10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE=6cm ，则CD=（ ）.A ．4cm B.6cm C.8cm D.10cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm ，则对角线的长为（ ）.A ．2.8cmB ．1.4cmC ．5.6cmD ．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE ＝a ，则菱形ABCD 的周长为（ ）.A ．B ．C ．D ．二.填空题9．如图，若口ABCD 与口EBCF 关于B ，C 所在直线对称，∠ABE ＝90°，则∠F ＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________.11．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝45°，则点D 的坐标为______．12.如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，已知△CDE 的周长为24 cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A ，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，则四边形AECF 的面积是 _________.16a 12a 8a 4acm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．16.（2015春•昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为．三.解答题17.（2016•吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．18.（2015春•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE ∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．《一元二次方程》【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】《一元二次方程》【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．（2016•新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方组可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=43．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）A．2% B．5% C．10% D．20%4．将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ≠1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方 式 的关系是( ) A.△=M B. △＞M C. △＜M D. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．（2016•连云港）已知关于x 的方程x 2+x +2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于的一元二次方程有一个根为0，则 . 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则的值为________． 15．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .16．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8 （2）4x 2﹣6x ﹣3=0（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3） （4）（x+8）（x+1）=﹣1217. 用因式分解法解方程 2210kx x ++=x 22(1)10a x x a -++-=a =2211223x x x x ++（1）x2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．三、解答题18．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.19. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．20．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．21．（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？22．（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？《图形的相似》【知识网络】例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5例2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．例3.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．例4. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?《图形的相似》【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB =1:9，则S △DOC :S △BOC =_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.12AEEB13.（2015•金华）如图，直线l 1、l 2、…l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F ．若BC=2，则EF 的长是 ．14．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________. 15.如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是．2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．3．若二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ；当x= 时，y有最值是；当0＜x＜1时，y随x的增大而，y的取值范围是．4．若二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0，△0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程；（2）a﹣b+c 0，4a+2b+c 0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围；当y=0时，x= ；当y＜0时，x的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）8．已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．9．抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），则h﹣k= ．10．请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，﹣5）点的二次函数的解析式．二、解答题（共4小题，满分0分）11．二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，﹣9），且当x=﹣1时，y=0，（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．12．已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（﹣3，﹣2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．2（2）作直线y2=﹣x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（二次函数）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x2+1 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答．【解答】解：将抛物线y=3x2向上平移1个单位得到的抛物线是y=3x2+1．故答案是：y=3x2+1．2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故答案为y=（x+2）2﹣3．3．若二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，则m= ；当x= 时，y有最小值是0 ；当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0 ．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．【分析】首先根据二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，求出m的值，根据二次函数的性质进行填空即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴只有一个交点，∴（﹣5）2﹣4m=0，∴m=，当x=时，二次函数有最小值为0，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，y的取值范围是y≥0，故答案为；；小；0；减小；y≥0．4．若二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是m＞﹣且m≠0 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，可得△=[﹣（2m+2）]2﹣4m×（﹣1+m）＞0且m≠0．【解答】解：∵原函数是二次函数，∴m≠0．∵二次函数y=mx2﹣（2m+2）x﹣1+m的图象与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，△=[﹣（2m+2）]2﹣4m×（﹣1+m）＞0，4m2+8m+4﹣4m2+4m＞0，12m+4＞0．∴m＞﹣．综上所述，m的取值范围是：m＞﹣且m≠0．故答案是：m＞﹣且m≠0．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a ＞0，b ＜0，c ＞0，△= 0．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，与x轴交点的个数即可判断．【解答】解：由开口方向可知：a＞0，由对称轴可知：﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y的正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴△=0，故答案为：a＞0，b＜0，c＜0，△=0．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：（1）对称轴方程x=﹣1 ；（2）a﹣b+c ＜0，4a+2b+c ＞0；（用“＜”，“=”或“＞”号连接）（3）当x ＜﹣1 时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣3，x2=1 ；（5）由图象回答：当y＞0时，x的取值范围x＜﹣3或x＞1 ；当y=0时，x= ﹣3或1 ；当y＜0时，x的取值范围﹣3＜x＜1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点为对称点可得到抛物线的对称轴；（2）观察函数图象，利用x=﹣1，y＜0和x=2，y＞0求解；（3）根据二次函数的性质求解；（4）根据抛物线与x轴的交点问题求解；（5）观察图象，写出抛物线在x轴上方或与抛物线与x轴的交点或抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围或取值．【解答】解：（1）抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），所以抛物线的对称轴为直线x=﹣1；（2）∵x=﹣1，y＜0，∴a﹣b+c＜0；∵x=2，y＞0，∴4a+2b+c＞0；（3）当x＜﹣1时，y随x增大而减小；（4）方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣3，x2=1；（5）当y＞0时，x的取值范围为x＜﹣3或x＞1；当y=0时，x=﹣3或1；当y＜0时，x 的取值范围为﹣3＜x＜1．故答案为x=﹣1；＜，＞；＜﹣1；x1=﹣3，x2=1；x＜﹣3或x＞1；﹣3或1；﹣3＜x＜1．7．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．8．已知抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1=16a﹣8a+m=8a+m，y2=4a﹣4a+m=m，y3=a+2a+m=3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．9．抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），则h﹣k= ﹣2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数的顶点式可求得h和k的值，则可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣h）2﹣k的顶点坐标为（﹣3，1），∴h=﹣3，﹣k=1，解得h=﹣3，k=﹣1，∴h﹣k=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故答案为：﹣2．10．请写出与抛物线y=x2形状相同，且经过（0，﹣5）点的二次函数的解析式y=x2﹣5或y=﹣x2﹣5 ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】先从已知入手：由与抛物线y=x2形状相同则|a|相同，且经过（0，﹣5）点，即把（0，﹣5）代入得c=﹣5，写出二次函数的解析式．【解答】解：设所求的二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，∵与物线y=x2形状相同，∴|a|=1，a=±1，且经过（0，﹣5），所以c=﹣5，∴所求的二次函数的解析式为：y=x2﹣5或y=﹣x2﹣5．二、解答题（共4小题，满分0分）11．二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（2，﹣9），且当x=﹣1时，y=0，（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）将（2，﹣9）、（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，利用待定系数法即可确定二次函数的解析式；（2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．【解答】解：（1）将（2，﹣9）、（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，得，，解这个方程组，得，所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5；（2）y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，所以顶点坐标是（2，﹣9）．12．已知函数y1=ax2+bx+c，它的顶点坐标为（﹣3，﹣2），y1与y2=2x+m交于点（1，6），求y1、y2的函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据已知设出抛物线的解析式y=a（x+3）2﹣2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2=2x+m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．【解答】解：根据题意，设抛物线的解析式y=a（x+3）2﹣2，∵抛物线经过点（1，6），∴6=a（1+3）2﹣2，解得a=，∴抛物线的解析式为y1=（x+3）2﹣2．把（1，6）代入y2=2x+m得6=2×1+m，解得m=4，∴y2的函数解析式为y2=2x+4．2（2）作直线y2=﹣x+3，则当y2在y1的图象下方时，x的取值范围是x＜1或x＞2 ．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．【分析】（1）由题目所给表格可观察得出答案；（2）可先求得二次函数解析式，联立两函数解析式可求得两函数图象的交点坐标，可画出两函数图象，则可求得答案．【解答】解：（1）由表可知当x=1时，y有最大值，∴二次函数图象开口向下，其顶点坐标为（1，2）；（2）∵抛物线顶点坐标为（1，2），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，∵当x=0时，y=1，∴1=a+2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y1=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，联立两函数解析式可得，解得或，两函数图象如图所示：当y2在y1的图象下方时，结合图象x＜1或x＞2，故答案为：x＜1或x＞2．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y=﹣x+2易求D（4，6），由直线y=x+1易求点（0，1），点F（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，2）．∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点B的坐标为（1，）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y=kx+b．∵直线BC经过点B（1，）和点C（2，2），∴解得∴直线BC的解析式为：y=x+1；（2）∵抛物线y=﹣x+2中，当x=4时，y=6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y=x+1中，当x=0时，y=1．当x=4时，y=3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t=1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t=3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．。

期中复习1.一元二次方程（1）概念和一般形式一元二次方程的解法：直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法（十字相乘法） （2）一元二次方程的根的判别式 .（3）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ， 则12x x += ，12x x = 注意：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

2.二次函数（1）定义（2）作图（五点作图法）；图像与abc 的符号的关系（3）三种表达式以及求解析式（4）二次函数的性质：顶点，与X 轴的焦点，对称轴，最值问题（5）函数的平移问题（6）二次函数与实际问题3.旋转（1）概念：三要素 （2）基本性质 （3）作图4.圆（1）概念（2）垂径定理（2推3）（3）圆心角以及圆周角（4）切线的性质及判定例1、解方程：（1）0)3(2)3(2=-+-x x x （2） 2420x x ++=（3） 2230x x --= （4） 2310x x --=例二：如图，已知抛物线y =ax 2﹣x +c 与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线y =x ﹣2交于B 、C 两点，其中点C 是直线y =x ﹣2与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形；例三：如图①，在Rt △ABC 中，∠C =90°．将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A ’B ’C ，旋转角为α，且0°<α<180°．在旋转过程中，点B ’可以恰好落在AB 的中点处，如图②．D C B A （1）求∠A 的度数；（2）当点C 到AA ’的距离等于AC 的一半时，求α的度数．例4.如图①，在平面直角坐标系中，直径为32的⊙A 经过坐标系原点O （0，0），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求点B 的坐标；（2）如图②，过点B 作⊙A 的切线交直线OA 于点P ，求点P 的坐标；（3）过点P 作⊙A 的另一条切线PE ，请直接写出切点E 的坐标．图①图② 例5.将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0120)α<<得到线段AD ，连接CD ．（1）连接BD ，①如图1，若α=80°，则∠BDC 的度数为 ；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变．若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE ． 若∠CED =90°，求α的值．DCE例6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．（1）若5b =，则点A 坐标是________________；（2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形.①直接写出实数a 的取值范围：__________________；②在12PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．图1 图2。

2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.方程x2−6x−1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()A. 1，−6，−1B. 1，6，1C. 0，−6，1D. 0，6，−12.中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是()A. B. C. D.3.将抛物线y=12x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是()A. y=12x2−1 B. y=12x2+1 C. y=12(x−1)2 D. y=12(x+1)24.用配方法解方程x2+2x−3=0，下列配方结果正确的是()A. (x−1)2=2B. (x−1)2=4C. (x+1)2=2D. (x+1)2=45.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为()A. 90°B. 100°C. 130°D. 140°6.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D7.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中ab<0，c>0，下列说法正确的是()A. 该抛物线经过原点B. 该抛物线的对称轴在y轴左侧C. 该抛物线的顶点可能在第一象限D. 该抛物线与x轴必有公共点8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10.动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是()A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若点A(5,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标为______．10.若点(0,a)，(3,b)都在二次函数y=(x−1)2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b(填“>”，“<”或“=”)．11.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB′C′D′，使得点B′落在边AD上，此时DB′的长为______．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为______．13.如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF.若AB=9，则EF的长为______．14.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为______．15.数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB⏜于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB=4cm，CD=1cm，则轮子的半径为______cm．16.已知M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2(a≠0)上任意两点，其中0≤x1<x2.若对于x2−x1=1，都有|y2−y1|≥1，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解方程：x2−8x=9．18.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，以CD为边作等边△CDE，连接BD，AE.求证：BD=AE．19.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+px+q的图象经过点A(0,−2)，B(2,0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b>x2+px+q的解集．20.如图，A，B是⊙O上的两点，C是AB⏜的中点．求证：∠A=∠B．21.已知：A，B是直线l上的两点．求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且∠ACB=150°．作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l下方交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③在劣弧AB⏜上任取一点C(不与A，B重合)，连接AC，BC.△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：在优弧AB⏜上任取一点M(不与A，B重合)，连接AM，BM，OA，OB．∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB=60°．∵A，B，M在⊙O上，∠AOB(______)(填推理的依据)．∴∠AMB=12∴∠AMB=30°．∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB=180°(______)(填推理的依据)．∴∠ACB=150°．22.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．23.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．24.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x−m)(x−n)=p(m≤n)的形式．现列表探究x2−4x−3=0的变形：变形m n p(x+1)(x−5)=−2−15−2x(x−4)=3043(x−1)(x−t)=61t6(x−2)2=7227回答下列问题：(1)表格中t的值为______；(2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；(3)记x2+bx+c=0的两个变形为(x−m1)(x−n1)=p1和(x−m2)(x−n2)=p2(p1≠p2)，则n1−n2的值为______．m1−m225.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，∠C=75°，∠D=45°．(1)求∠AEC的度数；(2)若AC=12，求CD的长．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(1,−1)，与y轴交于点B．(1)直接写出点B的坐标；(2)点P(m,n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．27.如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，A，B分别在OP，OM上，且AB//ON.以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得∠BAD=180°−α．(1)①依题意补全图；②求证：OC=OD+AD；(2)连接CD，若CD=OD，求α的度数，并直接写出AD的值．OD28.在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点P′，x轴正半轴上存在点Q′，使PP′//QQ′，且∠1=∠2=α(如图1)，则称点P与点Q为α−关联点．(1)在点Q1(3,1)，Q2(5,2)中，与(1,3)为45°−关联点的是______；(2)如图2，M(6,4)，N(8,4)，P(m,8)(m>1).若线段MN上存在点Q，使点P与点Q为45°−关联点，结合图象，求m的取值范围；(3)已知点A(1,8)，B(n,6)(n>1).若线段AB上至少存在一对30°−关联点，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：方程x2−6x−1=0，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−6，−1．故选：A．根据一元二次方程的一般形式找出a，b，c的值即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+ bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】B【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：B．一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：将抛物线y=12x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y=12x2−1，故选：A．根据“上加下减”的规律进行解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x−3=0∴x2+2x=3∴x2+2x+1=1+3∴(x+1)2=4故选：D．5.【答案】D【解析】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°．又∠ABC=50°，∴∠A=40°，∵四边形ABDC为圆O的内接四边形，∴∠A+∠BDC=180°，∴∠BDC=140°，故选：D．根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解．此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：线段NN1，线段PP1的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心．故选：B．根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．7.【答案】C【解析】解：抛物线y=ax2+bx+c，∵c>0，∴抛物线不会经过原点，故A错误；∵ab<0，∴a、b异号，∴抛物线在y轴的右侧，故B错误；∴顶点可能在第一象限，也可能在第四象限，故C正确；当a<0，b>0时，∵c<0，∴顶点在第四象限，此时抛物线与x轴没有交点，故D错误；故选：C．根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．8.【答案】D【解析】解：由题意得，AM=t，CN=2t，∴MC=AC−AM=5−t，即y=5−t，MC⋅CN=5t−t2，∴S=12因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，故选：D．求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．9.【答案】(−5,−5)【解析】解：若点A(5,5)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(−5,−5)．故答案为：(−5,−5)．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．10.【答案】<【解析】解：∵y=(x−1)2，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∴点(3,b)离直线x=1远，点点(0,a)离直线x=1较近，∴a<b，故答案是：<．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后比较两个点离直线x=1的远近得到a、b的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，由旋转的性质可知，AB=AB′=3，∴DB′=AD−AB′=4−3=1，故答案为：1．根据DB′=AD−AB′，可得结论．本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．12.【答案】1和3【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为1和3．故答案为：1和3．根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．13.【答案】3√3【解析】解：连接CE、ED、DF、FC，∵C，D为AB的三等分点，AB=9，∴AC=CD=DB=3，∴四边形ECFD是菱形，∴CD、EF互相垂直平分，设CD、EF的交点为O，∴CO=32，∵∠COF==90°，∴OF=√CF2−CO2=√9−94=3√32，∴EF=2OF=3√3．故答案为：3√3．连接CE、ED、DF、FC，根据菱形的判定与性质可得CO=32，然后根据勾股定理及菱形的性质可得答案．此题考查的是线段的垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．14.【答案】x(x−12)=864【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为(x−12)步．依题意，得：x(x−12)=864．由长和宽之间的关系可得出宽为(x−12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】52【解析】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB=2cm，根据勾股定理得：OC2+BC2=OB2，即：(OB−1)2+22=OB2，解得：OB=2.5；cm．故轮子的半径为52．故答案为：52由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16.【答案】a≥1或a≤−1【解析】解：由题意得，y1=ax12、y2=ax22，∴|y2−y1|=|ax12−ax22|=|a(x1+x2)|，∵|y2−y1|≥1，x2−x1=1，∴|a|≥1恒成立，2x1+1∴|a|≥12x1+1最大值，∵0≤x1，∴2x1+1≥1，≤1，∴12x1+1∴|a|≥1，∴a≥1或a≤−1，故答案为：a≥1或a≤−1．由点M、N是抛物线上的点得到y1=ax12、y2=ax22，然后代入|y2−y1|≥1中，结合x2−x1=1和0≤x1<x2求出a的取值范围．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过二次函数图象上点的坐标特征代入|y2−y1|≥1求得关于a与x的不等式．17.【答案】解：∵x 2−8x =9，∴x 2−8x +16=25，∴(x −4)2=5，则x −4=±5，∴x 1=9，x 2=−1．【解析】利用配方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】证明：∵△ABC ，△CDE 均为等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠ACE =60°．在△BCD 与△ACE 中，{AC =BC ∠ACB =∠ACE =60°CD =CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD =AE ．【解析】根据等边三角形的性质和SAS 证明△BCD 与△ACE 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵二次函数y =x 2+px +q 的图象经过点A(0,−2)，B(2,0)，∴{q =−24+2p +q =0， 解得{p =−1q =−2， ∴二次函数的解析式为y =x 2−x −2．(2)由图象可知，不等式kx +b >x 2+px +q 的解集为0<x <2．【解析】(1)把A、B的坐标代入y=x2+px+q，根据待定系数法求得即可；(2)根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．20.【答案】证明：连接OC．∵C是AB⏜的中点，∴AC⏜=BC⏜，∴∠AOC=∠BOC，在△AOC和△BOC中，{OA=OB∠AOC=∠BOC OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS)，∴∠A=∠B．【解析】连接OC.证明△AOC≌△BOC(SAS)，可得结论．本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆内接四边形对角互补【解析】解：(1)如下图即为所求，(2)证明：在优弧AB⏜上任取一点M(不与A，B重合)，连接AM，BM，OA，OB，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵A，B，M在⊙O上，∠AOB(在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠AMB=12∴∠AMB=30°，∵四边形ACBM内接于⊙O，∴∠AMB+∠ACB=180°(圆内接四边形对角互补)，∴∠ACB=150°．故答案为：在同圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．(1)根据题意补全图形；(2)根据画图过程得出△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得出∠AMB=30°，再根据圆内接四边形的性质即可得解．此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．22.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．23.【答案】解：(1)如图所示．(2)解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为(4,3)，点A的坐标为(0,2)．设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+3，由抛物线过点A，有16a+3=2．解得a=−1，16(x−4)2+3；∴该抛物线的表达式为y=−116(x−4)2+3=0．(3)解：令y=0，得−116解得x1=4+4√3，x2=4−4√3(C在x轴正半轴，故舍去)．∴点C的坐标为(4+4√3,0)．∴OC=4+4√3．由√3>32，可得OC >4+4×32=10．∴小明此次试投的成绩达到优秀．【解析】(1)根据题意画出图象即可；(2)设该抛物线的表达式为y =a(x −4)2+3，由抛物线过点A 得到16a +3=2.求得a =−116，于是得到结论；(3)根据题意解方程即可得到结论．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．24.【答案】3 4 −1【解析】解：(1)x 2−4x −3+6=6，x 2−4x +3=6，(x −1)(x −3)=6，所以t =3；故答案为3；(2)−1+5=4，0+4=4，1+3=4，2+2=4，所以m +n 为一次项系数的相反数，即m +n =4；故答案为4；(3)由(2)的结论得到m 1+n 1=−b ，m 2+n 2=−b ，所以m 1+n 1=m 2+n 2，即n 1−n 2=−(m 1−m 2)，∴n 1−n2m 1−m 2=−1． 故答案为−1．(1)先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t 的值；(2)利用表中数据得到m 与n 的和为一次项系数的相反数；(3)由(2)的结论得到m1+n1=−b，m2+n2=−b，则m1+n1=m2+n2，从而得到n1−n2的值．m1−m2本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．25.【答案】(1)解：∵A，D在⊙O上，∠D=45°，∴∠A=∠D=45°，∵∠C=75°，∴在△ACE中，∠AEC=180°−∠A−∠C=60°；(2)解：连接OC，过O作OH⊥CD于H，∵OA=OC，∠A=45°，∴∠ACO=∠A=45°，∴∠AOC=180°−45°−45°=90°，Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，AC=12，∴AO=OC=6√2，∵∠ACD=75°，∴∠OCD=∠ACD−∠ACO=30°，∴OH=1OC=3√2，2∴CH=√OC2−OH2=3√6，∵OH⊥CD于H，∴CD=2CH=6√6．【解析】(1)根据圆周角定理得到∠A=∠D=45°，再根据三角形内角和定理即可得解；(2)连接OC，过O作OH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质推出∠AOC=90°，根据勾股定理求出OC=6√2，根据含30°的直角三角形的性质得出OH=3√2，进而得到CH=3√6，再根据垂径定理即可得解．此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟记圆周角定理、垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键．26.【答案】解：(1)把x=0代入y=ax2+bx+2得，y=2，∴B(0,2)；(2)①依题意，当N=2时，该抛物线的顶点为(0,2)，设抛物线的解析式为y=ax2+2，由抛物线过A(1,−1)，得a+2=−1，解得a=−3，∴抛物线的表达式为y=−3x2+2；②∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(1,−1)，∴−1=a+b+2，∴b=−3−a，当a=−9时，b=−3−a=6，则y=−9x2+6x+2，此时，函数有最大值4ac−b 24a =4×(−9)×2−364×(−9)=3，当a=−3时，b=−3−a=0，则y=−2x2+2，此时，函数有最大值4ac−b 24a =4×(−2)×24×(−2)=2，∴2≤N<3．【解析】(1)根据y轴上点的坐标特征求得即可；(2)①由题意得抛物线的顶点为(0,2)，把A(1,−1)代入即可求出a的值，继而求出抛物线的表达式；②把点A(1,−1)代入y=ax2+bx+2得出a与b的关系，再把a=−9和a=−3代入求出对应b的值，从而求出抛物线解析式，利用解析式求出最大值，即可得到N的取值范围．本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象与性质及最值的求法是解决问题的关键．27.【答案】(1)解：①补全图形，如图．②证明：∵OP平分∠MON，∠MON=α，∴∠AOC=∠AON=12∠MON=12α，∵AB//ON，∴∠BAO=∠AON，∴∠BAO=∠AOC，∴AB=BO，∵由旋转，AO=AC，∴∠AOC=∠ACO=12α，∴∠ACO=∠AON，∠OAC=180°−α，∵∠BAD=180°−α，∴∠OAC=∠BAD，∴∠BAC=∠DAO，∴△ABC≌△ADO(ASA)，∴AB=AD，CB=OD，∴BO=AD，∵OC=CB+BO，∴OC=OD+AD．(2)如图所示，∵AB//ON，∴∠BAD+∠ADO=180°，∵∠BAD=180°−α，∴∠ADO=α，∵AC=AO，CD=OD，AD=AD，∴△ADC≌△ADO(SSS)，∴∠DCA=∠DOA=1α，2∠CDA=∠ODA=α，在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC=180°，∴4α=180°，∴α=45°，此时，AD的值为√2−1．OD【解析】(1)①根据要求作出图形．②证明△ABC≌△ADO(ASA)，可得结论．α，再利用三角形内角和定理，(2)证明△ADC≌△ADO(SSS)，推出∠DCA=∠DOA=12构建方程求解即可．本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】Q1【解析】解：(1)过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，∵P(1,3)，α=45°，∴∠1=∠2=45°，∴∠PP′Q′=90°，∠P′Q′O=45°，∴△APP′和△P′Q′O都是等腰直角三角形，∴AP′=AP=1，∴OQ′=OP′=AO−AP′=3−1=2，∵PP′//QQ′，∴∠P′Q′Q=90°，∴∠QQ′B=45°，∴△Q′BQ是等腰直角三角形，∴当Q′B=BQ=1时，点Q的坐标为(3,1)，∴与(1,3)为45°−关联点的是Q1(3,1)．故答案为Q1；(2)如图所示，对点P(m,8)(m>1)而言，依定义，要使∠1=∠2=α=45°，则有：P′为(0,8−m)，Q′为(8−m,0)，于是函数y=x−(8−m)(x>8−m)上的点Q即为点P的45°−关联点．若当点Q在线段MN上时，y Q=4，则有x Q=12−m．由6≤x Q≤8，得6≤12−m≤8，解得4≤m≤6．(3)n>2√3．∵点Q和点P在线段AB上，当点P离B越近时，点Q的横坐标越小，∴当点P，Q，B三点重合时，点P′，点Q′和点O重合，过点P作PM⊥y轴于点M，∵α=30°，∴∠BOM=30°，∵B(n,6)，∴OM=6，=2√3，∴n=BM=OM⋅tan30°=6×√33∴当线段AB上至少存在一对30°−关联点时，n>2√3．∴n的取值范围是n>2√3．(1)过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，由P点的坐标得出△APP′和△P′Q′O都是等腰直角三角形，得出△Q′BQ是等腰直角三角形，则可得出答案；(2)由点P与点Q为45°−关联可知点P′为(0,8−m)，Q′为(8−m,0)，求出关联点所在直线表达式，将y=4代入求出横坐标，根据点Q在线段MN上可表示出横坐标的取值范围，即可得出答案；(3)由题意画出图形，由直角三角形的性质可得出答案．本题考查一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，点P与点Q为α−关联点的新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2016-2017学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）22．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是（写出一个即可）．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a﹣b|=．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．2016-2017学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）参考答案与试题解析一、选择题1．分解因式：16﹣x2=（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）2【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．2．下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b=2（a﹣b）B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等．【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；故选C．【点评】本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理解．3．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌【考点】因式分解的应用．【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题6．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式am+bm+cm=m（a+b+c）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．【解答】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．7．分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=（x+4）（x﹣4）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x=x2﹣16=（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键．8．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是﹣1（写出一个即可）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】令k=﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解答】解：令k=﹣1，整式为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故答案为：﹣1．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=3（a+b）（a﹣b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a﹣b|=1．【考点】因式分解的应用；零指数幂．【分析】由于a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，则有（a+b）（a﹣b）=，分解因式可得a=b，依此可得2015|a﹣b|=20150，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．【解答】解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2﹣b2=﹣，（a+b）（a﹣b）=，[ab（a+b）+1]（a﹣b）=0，∴a﹣b=0，即a=b，∴2015|a﹣b|=20150=1．故答案为：1．【点评】考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．三、解答题11．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）3x2﹣27=3（x2﹣9）=3（x﹣3）（x+3）；（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2=[2+3（x﹣y）]2=（2+3x﹣3y）2；（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy=8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy=x2﹣16y2=（x+4y）（x﹣4y）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解是解题的关键．12．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．【考点】因式分解的应用．【分析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到2b（a﹣c）=0，由此求得a=c，易判断△ABC的形状．【解答】解：∵a+2ab=c+2bc，∴2b（a﹣c）=0，∵b≠0，∴a﹣c=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．【点评】该题主要考查了因式分解及其应用问题；解题的关键是牢固掌握掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．13．有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．【考点】多项式乘多项式．【分析】先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积．【解答】解：如图：或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．14．设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2的值．【考点】因式分解的应用．【分析】首先把代数式a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．【解答】解：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2=（a+b）2﹣2c（a+b）+c2=（a+b﹣c）2当a=m+1，b=m+2，c=m+3时，原式=[m+1+m+2﹣（m+3）]2=m2．【点评】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．15．设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【考点】因式分解的应用．【分析】先利用因式分解得到原式=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，再把当y=kx 代入得到原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）x4，所以当4﹣k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．【解答】解：能；（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）=（4x2﹣y2）2，当y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．【点评】本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．。

海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)一、选择题1．方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根2.在Rt△ABC中，∠C=90o，，那么的值为A. B. C. D.3.假设右图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 圆锥4.小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是A. B. C. D.5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为A. 1B. 2C. 4D. 86．点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜07．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．假设AC=2，那么OF的长为A． B． C．1 D．28．如图1，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD交于点O．点E 为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的图1 图2A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9．假设扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么这个扇形的面积为__________ cm2．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m.11．如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，那么关于x的方程的解为__________．12．对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，〔为正整数〕．例如：，．〔1〕求： ____________， ______________；〔2〕假设，那么正整数m的最小值是_____________．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13.计算： .14.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E. 求证：△ACD∽△BCE．15. 是一元二次方程的实数根，求代数式的值．16.抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．17.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC.〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18.如图，△ABC中，∠ACB=90°，， BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．〔1〕求线段CD的长；〔2〕求的值．四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设，且，求整数m的值．20. 某工厂消费的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕：质量档次 1 2 ... x (10)日产量〔件〕95 90 … (50)单件利润〔万元〕 6 8 … (24)为了便于调控，此工厂每天只消费一个档次的产品．当消费质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择消费哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB= ，AD=2，求线段PC的长．22．阅读下面材料：小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中程度与竖直方向上任意两个相邻点间的间隔都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请答复：〔1〕如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算可以使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=_______________； =_______________；参考小明考虑问题的方法，解决问题：如图3，计算： =_______________．五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分〕23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点， . 〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数的图象经过点B，求代数式的值；〔3〕假设反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线的下方，结合函数图象，求的取值范围.24．如图1，在△ABC 中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC = DE，∠CDE=∠ADB=α．〔1〕如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．① 假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕．25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：假设的最大值为m，的最大值为n，那么为图形W的测度面积．例如，假设图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，获得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，获得最大值，且最大值n=2．那么图形W的测度面积．〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；〔2〕假设图形W是一个边长为1的正方形ABCD，那么此图形测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．海淀区2021初三年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 假设考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。

九年级数学中考总复习（一）数与式北京实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考总复习（一）——数与式二. 教学目标：1. 掌握数与式的知识框架，复习并记忆各知识点．2. 强化基本运算，培养数感，形成理性的思维．3. 培养计算策略的选择和能力的提高．加强建立数学模型解题的能力．4. 开放探究类问题和有实际背景的应用问题，加强信息分析和判断，培养解题思路的多样化．三. 重点、难点：（一）重点：知识点的复习和基本运算能力的提高． （二）难点：深入理解知识点，培养解题思路的多样化．四. 教学过程： （一）知识点： 1. 知识框图数与式：、开方及混合运算加、减、乘、除、乘方平方根平方根、立方根、算术无理数负整数指数幂有效数字、零指数、科学记数法、近似数、绝对值、数轴、相反数、倒数、有理数实数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧::⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧运算化简性质定义二次根式——无理式运算基本性质概念分式因式分解乘法公式多项式乘法定义及相关内容多项式运算定义及相关内容单项式整式有理式代数式)( 2. 知识概述（1）数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴．（2）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零． （3）倒数：两个数的积为1，则两数互为倒数．（4）绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a |a |（5）科学记数法：将一个数记作n 10a ⨯（10|a |1<≤，n 是整数）的形式．（6）有效数字：一个数从左边第一个不是0的数字起，到右边精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．（7）去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项都不变符号．括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．（8）有理数加、减、乘、除、乘方、开方运算法则及混合运算（实数）及运算律． （9）无理数：无限不循环小数为无理数．（10）平方根、算术平方根：如果a x 2=则x 是a 的平方根，记作a ±，a 的非负平方根也称作它的算术平方根，记作a ．（11）立方根：如果a x 3=，则x 是a 的立方根．（12）单项式：表示数与字母乘积的代数式为单项式（系数、次数）（13）多项式：几个单项式的代数和是多项式（项、项数、次数、常数项） （14）幂的基本运算：同底数幂乘（除）法、幂的乘方、积的乘方． （15）整式运算：合并同类项、单项式以及多项式的运算． （16）乘法公式：平方差公式，完全平方公式．（17）因式分解：把一个多项式写成几个整式积的形式． （18）分式的基本性质：M B M A B A ⨯⨯=，M B MA B A ÷÷=（M 为不等于零的整式） 分式的基本运算： bd bcad d c b a ±=±（异分母分式相加减，先通分） n n n ba )b a (bc adc d b a d c b a bdac d c b a ==⋅=÷=⋅ （20）零指数：1a 0=（0a ≠）（21）负整数指数：p p a1a =-（0a ≠，p 为正整数）（22）二次根式：式子a （0a ≥）叫二次根式．（23）二次根式的性质：)0a (a )a (2≥=)0b ,0a (ba b a )0b ,0a (b a ab |a |a 2>≥=≥≥⋅==（24）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含开得尽方的因数或因式的二次根式，叫最简二次根式．（25）二次根式的运算：加（减）、乘、除．（二）典型例题：例1. 计算：20)3()14.3(31313--π-+⨯÷分析：注意在不同级的运算中，应先乘方（开方），再算乘除，最后做加减．同级运算中，应按先后排列顺序进行运算；若是有括号，一般要先进行去括号计算．掌握)0a (1a 0≠=．解：原式913133-+⨯⨯=5913-=-+=例2. 2003年6月1日9时，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，首批4台机组率先发电，预计年内可发电00千瓦时，这个数用科学记数法表示为__________千瓦时．近似数0.30万精确到_________位，有___________个有效数字．分析：科学记数法就是把一个数写成：n 10a ⨯（n ,10a 1<≤为整数）的形式．由精确度和有效数字的概念，先把0.30万写成3000，再确定精确到哪一位，在0.30万中，数字3后面的0在百位上，所以0.30万精确到百位，注意30.0万和3000有效数字是不同的，0.30万有两个有效数字3，0，而3000有四个有效数字3，0，0，0．答案：9105.5⨯ 百 两例3. 如果b a -两个实数的点在数轴上的位置如图1所示，那么化简2)b a (|b a |++-的结果等于（ ）b a 0图1A. b 2-B. b 2C. a 2-D. a 2分析：考查算术平方根，绝对值的性质和数形结合的思想，要提高综合运用知识的能力．由实数a 、b 在数轴上的位置，确定b a +、b a -的正负情况，再根据绝对值、算术平方根的性质去掉绝对值、根式符号，达到化简的目的．答案：A例4. 请先观察下列算式，再填空：181322⨯=-283522⨯=- （1）⨯=-85722_______ （2）-29（ ）248⨯=（3）（ ）58922⨯=-（4）⨯=-8)(1322_______ 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：________________________________分析：通过观察归纳探究规律，观察各算式的特点，找出规律，正确填出（1）~（4）的空白是得出规律的关键，最后写出一般性的结论．答案：（1）3 （2）7 （3）11 （4）11 6 两个连续奇数的平方差能被8整除（或是8的倍数）例5. 若0)5n (|1m |2=-+-，则m=_______，n=_______，此时将22ny mx -分解因式，则=-22ny mx _______．分析：考查非负数的性质和分解因式．先由已知条件及非负数的性质确定m 、n 的值，再代入m 、n 的值后进行分解因式．解：0)5n (|1m |2=-+-05n ,0|1m |=-=-∴，25n ,1m ==∴，因此)y 5x )(y 5x (y 25x ny mx 2222-+=-=-例6. 下列各运算式中，结果正确的是（ ）.A. 1243a a a =⋅B. 5210a a a =÷C. 532a a a =+D. a 3a a 4=-分析：考查同底数幂的运算性质及整式的有关运算法则．根据同底数幂乘法运算)a a a (n m n m +=⋅和同底数幂的除法法则)a a a (n m n m -=÷可排除A 、B 、C ，而D 是合并同类项，根据合并同类项法则（字母及字母指数不变，系数相加）．所以选D ．答案：D例7. 若分式1x )2x )(1x (+++的值为零，则x 等于（ ）A. 0B. 1-C. 2-D. 2分析：考查分式的计算及分式的意义．分式的值为零即指分子为零，前提条件是分式有意义（分母不为零）．答案：C例8. 计算：12315520⋅-+ 分析：考查二次根式的化简及计算能力．本题前面的部分先化成最简二次根式后再化简，后一部分可利用二次根式的积的运算法则相乘后再化成最简二次根式．解：原式1231231553=-=⨯-=（三）小结：数与式单元的复习要注意对知识点的灵活掌握，只有这样才能在解答过程中有速度，有质量．这一部分对同学们运算能力的提高和数学思想的培养有很大帮助，同学们要注意体会．【模拟试题】（答题时间：40分钟）（一）选择题（每小题4分，共40分） 1. 3)2(-与32-（ ）A. 相等B. 互为相反数C. 互为倒数D. 和为162. 若3x 2x 1|x |2-+-的值为零，则x 的值是（ ）A. 1±B. 1C. 1-D. 不存在 3. 下列运算正确的是（ ）A. 222a 2)a 2(a 4=-B. 633a a )a (=⋅-C. 632x 8)x 2(-=-D. x x )x (2-=+-4. 已知某种型号的纸100张厚度约为1cm ，那么这种型号的纸13亿张厚度约为（ ）A. km 103.17⨯B. km 103.13⨯C. km 103.12⨯D. km 103.1⨯5. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A. )1x (x x x 23-=-B. 222)y x (y xy 2x -=+-C. )y x (xy xy y x 22-=-D. )y x )(y x (y x 22+-=-6. 设b 3,a 2==，用含a,b 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ） A. ab 3.0 B. ab 3 C. 2ab 1.0D. b a 1.027. 下列各式正确的是（ ）A. 523x )x (=B. 22b a )a b )(b a (-=-+C. 2y x 3y x 522=-D. 65x x x =⋅8. 探索规律：根据图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）9. 锦州市宝石广场占地面积约为212555米，它的面积与一个班级教室面积的倍数关系，下列最接近的是（ ）A. 40倍B. 80倍C. 100倍D. 150倍10. 法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．如图两个图框是用法国“小九九”计算87⨯和98⨯的两个示例．若用法国“小九九”计算97⨯，左右手依次伸出手指的个数是（ ）A. 2，3B. 3，3C. 2，4D. 3，4（二）填空题（每小题4分，共40分）11. 当0m <时，化简mm 2的结果是_________．12. 若x 的相反数是3，5|y |=，则y x +的值为_______．13. 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律：___________14. 分解因式：=-+-1b a ab ___________．15. 计算a1a11a a 42-++-的结果是__________． 16. 把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按如图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为________色．17. 某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂量范围是________mg ~_______mg ．用法用量 口服，每天30~60mg ，分2~3次服用。

2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期中数学综合复习卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 将一元二次方程化成一般形式后，它的一次项系数是( ) A. B. 2 C. D.2. 下列品牌的标识中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( ) A. B. C . D.4. 在一次野炊活动中，小明所在的班级有x 人，分成y 组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则缺5人，求全班人数的正确的方程组是( )A. {7y =x −38y =x +5B. {7y =x +38y =x −5C. {7x =y +38x =y −5D. {7x =y −38x =y +5 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．若∠BAD =24°，则∠C 的度数为( )A. 24°B. 56°C. 66°D. 76°6. 如图，在△ABC 中，∠CAB =67°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB ，则旋转角的度数为( )A. 46°B. 50°C. 65°D. 67°7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点A(ac,b+c)落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.若函数y=2x+b2−9是正比例函数，则b的值为( )A. b=3B. b=9C. b=0D. b=±3二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知点A(x−2,3)与B(x,y)关于原点对称，则xy的值是______．10.若函数y=a(x−ℎ)2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=−2x2−2x+3相同，则此函数关系式为______ ．11.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，则线段CE、BD的长度差是_____．12.已知抛物线y=x2+2(m+2)x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围______ ．13.请规范书写出勾股定理内容：直角三角形______．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两;2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为.15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的中垂线交AC于点E，则∠EBC=______．16.二次函数y=−2(x−3)(x+1)的图象与y轴的交点坐标是______ ．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。