四种命题作业

1.1.3 四种命题间的相互关系1.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )（A）若m∉M,则n∉M（B）若n∉M,则m∈M（C）若m∉M,则n∈M（D）若n∈M,则m∉M2.下列说法中正确的是( )（A）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真（B）“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价（C）“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3.给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a+c≠b+d”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( )（A）0（B）1（C）2（D）44.命题“若c<0，则方程x2+x+c＝0有实数解”，则( )（A）该命题的逆命题为真，逆否命题也为真（B）该命题的逆命题为真，逆否命题为假（C）该命题的逆命题为假，逆否命题为真（D）该命题的逆命题为假，逆否命题也为假5.“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．6.下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若1a>1b，则a<b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________．7.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．8.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．9.证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．答案1.【解析】选D.与原命题等价的命题是其逆否命题.2.【解析】选D．因为否命题和逆命题是互为逆否命题,互为逆否命题的两命题真假性相同.3.【解析】选A.因为原命题为假，故逆否命题为假，逆命题为假，故否命题为假，所以选A.4.【解析】选C．因为c<0⇒-4c>0⇒Δ=1-4c>0,所以方程x2+x+c＝0有实数解，即原命题为真.因为原命题与其逆否命题具有相同真假性，所以逆否命题为真.而方程x2+x+c＝0有实数解⇒1-4c≥0⇒c≤14,此时推不出c<0，所以逆命题为假.5.【解析】因为原命题为假，所以其逆否命题为假命题.答案：假6.【解析】因为方程x2＋2x＋k＝0没有实根⇔Δ=4-4k<0⇔k>1,推不出k≤0,所以“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为假；“若1a >1b，则a<b”的逆命题为“若a<b,则1a>1b”.因为1a >1b⇔b aab->0⇔b a0,b a0b a b aab0ab0ab0ab0->-<><⎧⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨⎨><><⎩⎩⎩⎩，，，或或，所以逆命题显然为假;“梯形不是平行四边形”的逆否命题为真.所以是假命题的是①②.答案：①②7.【解析】(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解,所以该命题是真命题．8.【解析】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题．【另解】先判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0.解得a ≥74. 因为a ≥74， 所以a ≥1，所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真命题．9【证明】若p ＋q ＞2，则222222111p q p q p q p q 22222≥⨯＋＝［（－）＋（＋）］（＋）＞＝， 所以p 2＋q 2≠2．这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.。

1.1.3四种命题间的相互关系1．已知命题p：若x<－3，则x2－2x－8>0，下列说法正确的是()A．命题p的逆命题是：若x2－2x－8≤0，则x<－3B．命题p的否命题是：若x≥－3，则x2－2x－8>0C．命题p的否命题是：若x<－3，则x2－2x－8≤0D．命题p的逆否命题是真命题答案 D解析若x<－3，则x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)>0，∴命题p是真命题，则其逆否命题是真命题．2．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”同真同假的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除答案 D解析其同真同假命题为原命题的逆否命题，故选D.3．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．4．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1 C．2 D．4答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．5．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”为真命题B．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为假命题C．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”D．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”答案 C解析对于A，命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”，A为假命题，所以A不正确；对于B，命题“若x2＝1，则x＝1”的逆命题为：“若x＝1，则x2＝1”，是真命题，所以B不正确；对于C，命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”满足逆否命题的形式，所以C正确；对于D，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以D 不正确．6．命题“若a>b，则ac2>bc2”的否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案若a≤b，则ac2≤bc2真7．命题“已知a，b为实数，若a>b，则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．答案 2解析互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为实数，若a>b，则a>b”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题．8．已知下列三个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若m>2，则不等式x2－2x＋m>0的解集为R”．其中真命题为________．(填序号)答案③解析对于①，“若xy＝0，则x＝0且y＝0”为假命题，故原命题为假命题，由于原命题和逆否命题等价，故①是假命题；对于②，“正方形是菱形”的逆命题为“菱形为正方形”，为假命题，由于逆命题和否命题为等价命题，故②是假命题；对于③，若m>2，则不等式x2－2x＋m>0，即Δ＝4－4m＜0，所以不等式的解集为R，故③是真命题．9．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的否命题．并判断该命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．解否命题：若x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，∵原命题的逆命题为真命题，∴其否命题为真命题，又原命题为真命题，∴其逆否命题是真命题．10．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可． 方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．11．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．12．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真答案 D解析 互为逆否关系的命题具有相同的真假性．13．已知命题p ：若a >b >0，则1122log log 1a b <+，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．答案 2解析 ∵a >b >0，∴111222log log log 1a b b <<+，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若1122log log 1a b <+，则a >b >0”，∵当a ＝2，b ＝2时，1122log log 1a b <+成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.14．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.15．十七世纪，法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是( )①对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 都没有正整数解；②当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解；③当正整数n ≤2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解；④若关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解，则正整数n ≤2.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④答案 D解析 由题意知，将费马大定理写成“若p ，则q ”的形式为“若当整数n >2时，则关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”，为真命题；则命题：当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解，应为假命题，故②错误；其逆否命题为：若关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解，则正整数n ≤2，应为真命题，故④正确；其否命题为：若当正整数n ≤2时，则关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解，当n ＝2时，若x ，y ，z 分别为3,4,5，显然成立，命题为真，故③正确；由③正确可得到，①显然错误．16．求证：若a 2＋2ab ＋b 2＋2a ＋2b －3≠0，则a ＋b ≠1.证明 构造命题p ：若a 2＋2ab ＋b 2＋2a ＋2b －3≠0，则a ＋b ≠1.其逆否命题为：若a ＋b ＝1，则a 2＋2ab ＋b 2＋2a ＋2b －3＝0，下面证明逆否命题为真命题．因为a ＋b ＝1，所以a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3＝(a＋b)2＋2(a＋b)－3＝12＋2－3＝0. 即逆否命题成立，所以原命题为真命题．。

课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行题号12345 6 答案7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β， n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．11．解 若命题p 为真命题，可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确． 综上所述知，③，④正确．]1.1. 2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号12345 6 答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．313．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3 四种命题间的相互关系 答案知识梳理1．若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p 2．(2)①相同 ②没有关系 作业设计1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D [a ＝b ＝0的否定为a ，b 至少有一个不为0.] 5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．] 6．D7．已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ∉∁U A 真解析 “已知a ∈U (U 为全集)”是大前提，条件是“a ∉∁U A ”，结论是“a ∈A ”，所以原命题的逆命题为“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ∉∁U A ”．它为真命题．8．假 9.①②10．解 逆命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，则m >2，假命题．否命题：若m ≤2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，则m ≤2，真命题．11．证明 假设a ＋b <0，即a <－b ， ∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )<f (－b )． 又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )， ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真． ∴a ＋b ≥0.12．B [①用“分部分式”判断，具体： a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b ，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]13．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。

1.1.2四种命题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“若,则且的逆否命题是A．若,则且B．若,则或C．若且，则D．若或，则2．设,，若，则（）A．B．C．D．3．下列命题：①三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；②如果，那么；③若关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等；⑤对于反比例函数，当﹥-1时，y随着x的增大而增大其中假命题有A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个4．有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则B≠A”的逆否命题.其中的真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④5．原命题为:“若α+β≠,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是( )A．与逆命题同为假命题B．与否命题同为假命题C．与否命题同为真命题D．与逆否命题同为假命题6．若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的( )A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对7．命题“若x=3,则x2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题8．设函数f(x)＝，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c 是△ABC 的三条边长，给出下列命题：①对于∀x∈(－∞，1)，都有f(x)>0；②存在x>0，使，，不能构成一个三角形的三边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在x∈(1,2)，使f(x)＝0.则其中所有正确结论的序号是__________．9．能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____.10．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：______________. 11．给出下列命题:①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根”的否命题;②命题“在△ ABC中,若AB=BC=CA,则△ ABC为等边三角形”的逆命题;③命题“若a>b>0,则a>b>0”的逆否命题;④命题“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为______.12．已知命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为_____.13．命题“若x2-2x-3>0,则x<-1或x>3”的逆否命题是_________.14．给定下列命题:①“若α=,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是______.参考答案1．D【解析】【分析】根据命题的逆否命题的定义即可求解.【详解】因为原命题为“若,则且，所以逆否命题为若或，则，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.2．B【解析】分析：举反例判断A、C、D，根据指数函数的单调性判断B．详解：a，b∈R，若a＞b，当a=1，b=﹣1时，故A不成立，因为y=2x为增函数，所以2a＞2b，故B成立，当a=﹣1，b=﹣2时，C没有意义，故C不成立，当a=，b=时，D不成立，故选：B．点睛：本题考查了不等式的性质以及指数函数的单调性，属于基础题3．D【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.【详解】①三角形的内心到三角形三边的距离相等，故错误；②如果，那么，故正确；③若关于的方程的解是负数，则m的取值范围为且，故错误；④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；⑤对于反比例函数，当或时，y随x的增大而增大，故错误；所以假命题的个数是4，故选D.【点睛】该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有命题与定理，反比例函数的性质，分式方程的解，锐角三角函数的增减性，圆周角定理，三角形的内切圆与内心，正确理解基础知识是解题的关键.4．C【解析】【分析】①求出逆命题，根据奇函数性质判断即可；②求出否命题，根据立体几何知识判断；③由一元一次方程知识判断原命题真假即可；④根据集合间的关系，判断原命题真假即可.【详解】①逆命题为：若函数为奇函数，则D关于原点对称，根据奇函数的性质可知是真命题；②否命题为：若两角对应边不平行，则两个角不相等，因为角是可以在任意位置画的，相等的两角不一定对应边平行，所以是假命题；③当时，方程为一元一次方程，必有实根，所以是真命题，其逆否命题也是真命题；④若并集等于集合B，则集合A为集合B的的子集，可以相等，所以是假命题，故逆否命题也是假命题.故选C.【点睛】本题考查命题间的变化以及命题真假的判断，注意逆命题与否命题、原命题与逆否命题同真同假.5．D【解析】【分析】先判断原命题的真假，根据命题间的真假关系可得其逆否命题的真假，即可得出结论.【详解】当，时，，但是，所以原命题为假命题，所以与逆否命题同为假命题.故选D.【点睛】本题考查命题真假的判断与命题间的真假关系，运用举反例的方式判断命题为假命题会使解题非常方便.6．B【解析】【分析】根据命题间的关系可直接得出结论.【详解】根据题意，将命题q取逆命题后再否定，即可得到命题r，所以其关系为逆否命题.故选B.【点睛】本题考查四种命题之间的关系，熟练掌握定义，根据定义推导即可.7．C【解析】【分析】判断原命题及逆命题的真假，然后根据四种命题间的真假关系判断其他命题的真假即可.【详解】将代入方程，方程成立，所以原命题为真命题，逆否命题与原命题同真同假，所以逆否命题为真命题；逆命题为若，则，解方程得：或，所以逆命题为假命题，所以否命题也为假命题；故选C.【点睛】本题考查四种命题真假的判断，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，所以只需要判断原命题与逆命题的真假即可.8．①②③.【解析】【分析】①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明;②由于涉及不可能问题，因此可以举反例进行判断;③利用函数零点的存在性定理进行判断.【详解】①因为a，b，c 是△ABC 的三条边长，所以a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以,，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝＝，故①正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c 可以构成三角形，但＝4，＝9，＝16 却不能构成三角形，所以②正确；③已知c>a>0，c>b>0，若△ABC 为钝角三角形，则＋－<0，因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝＋－<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在x∈(1,2)，使f(x)＝0，故③正确.故答案为：①②③.【点睛】本题综合性较强，考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质，以及余弦定理的应用，难度较大.9．（此题答案不唯一）【解析】【分析】举例说明“若，则”是假命题即可．【详解】当时，满足，不满足；∴若，则”是假命题．故答案为：1，0，-1．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，注意本题答案不唯一．10．在中，若，不都是锐角，则【解析】【分析】根据已知命题的否命题的定义求解．【详解】由否命题的概念可得，已知命题的否命题为“在中，若，不都是锐角，则”．故答案为：在中，若，不都是锐角，则．【点睛】解题的关键是根据已知命题的否命题的定义求解，求解时注意“都是”的否定为“不都是”，属于基础题．11．①②③【解析】【分析】分别求出相应的命题，通过相关知识点即可判断真假，逆否命题直接判断原命题真假即可.【详解】①否命题为：若，则方程有实根.根据判别式的性质可知为真命题；②逆命题为：若为等边三角形，则，易知为真命题；③，给不等号每一项都乘，可得：，所以为真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为：若的解集为R，则，由条件可知：，所以必为假命题.【点睛】本题考查命题间的变换，找出条件和结论根据定义变换即可，根据相应知识点判断真假. 12．1【解析】【分析】先求出其否命题，再分别判断原命题与否命题的真假，逆命题与否命题同真同假，原命题与逆否命题同真同假，即可得出结果.【详解】否命题为若，则，原命题条件中易知，不等式两边同时除以，可得，所以是真命题，所以逆否命题也是真命题，否命题中，若则时不等式也成立，所以为假命题，所以逆命题也是假命题.【点睛】本题考查四种命题间的真假关系以及判断命题的真假，熟练掌握命题的变换方式并利用不等式知识判断真假即可.13．若,则【解析】【分析】找出命题的条件与结论，根据逆否命题的定义将其全部否定，再颠倒位置即可.【详解】命题条件为：，结论为：或，所以将其否定后颠倒位置可得：若，则，即为逆否命题.【点睛】本题考查逆否命题的书写，需熟练掌握命题条件与结论的拆分与逆否命题的定义.14．①②④【解析】【分析】逆否命题的真假看原命题即可，逆命题和否命题需将原命题变换后证明真假，结合相应的知识点即可得出结论.【详解】①原命题与逆否命题同真同假，所以看原命题真假即可，由特殊角三角函数值可知此命题为真命题；②由三角函数性质可知该函数为余弦函数，属于周期函数，此命题为真命题；③原命题的逆命题为：若，则，绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数，所以逆命题为假命题；④原命题的否命题为：若，则x、y全都不为零，如果两个未知数其中一个是0，则乘积必为0，所以只能全都不为0，所以否命题为真命题.【点睛】本题考查命题几种形式间的变换与命题真假的判断，注意理解真假命题的判断方式与四种形式命题间的真假关系.。

1.给出命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列命题中：(1)命题“在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C >∠B ”的逆命题； (2)命题“若ab ＝0，则a ≠0且b ＝0”的否命题； (3)若题“若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0”的逆否命题； (4)命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题； 其中是真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．原命题：“设a 、b 、c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 4．已知命题：“∀a ，b ∈R ，如果ab ＞0，则a ＞0”，则它的否命题是( ) A ．∀a ，b ∈R ，如果ab ＜0，则a ＜0 B ．∀a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a ，b ∈R ，如果ab ＜0，则a ＜0 D ．∃a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤06．命题“若m ＞0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．5．命题“若m >0, 则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题是_________________． 6．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a ＋b 、a －b ，ab 、ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号填上)7．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m . 在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数； 则其中真命题是________．8．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R ，对命题：“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论．9．设有两个命题p ，q ，其中p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2>0的解集是R ；q ：f (x )＝log (2a 2＋a ＋1)x 是减函数，且p ∨q 为真命题， 求实数a 的取值范围．参考答案1．B 2.D 3.C 4.B6．解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断． 答案：25．若方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m >0 6.③④ 7.①②③8．解析：先证原命题：“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”为真．a ＋b ≥0⇒a ≥－b ，b ≥－a ⇒f ()a ≥f ()－b ，f ()b ≥f ()－a ⇒f ()a ＋f ()b ≥f ()－b ＋f ()－a .故其逆否命题：“若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0”也为真．再证否命题“若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”为真．a ＋b <0⇒a <－b ，b <－a ⇒f ()a <f ()－b ，f ()b <f ()－a ⇒f ()a ＋f ()b <f ()－b ＋f ()－a .故其逆命题：“若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”也为真．9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1，或－12<a <0，或a >13感谢您的阅读，祝您生活愉快。

第一章 常用逻辑用语1.1.2四种命题一、选择题1.对于原命题，“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（ ）A.逆命题为“周期函数不是单调函数”B.否命题为“单调函数是周期函数”C.逆否命题为“周期函数是单调函数”D. 以上三者都不正确2. 设,a b 是向量，命题“若a b =- ，则a b = ”的逆命题是（ ）A.若a b ≠- ，则a b ≠B.若a b =- ，则a b ≠C.若a b ≠ ，则a b ≠-D.若a b = ，则a b =-3.已知a,b,c ∈R ，命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是（ ）A. 若a+b+c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3B. 若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2<3 C. 若a+b+c ≠3，则a 2+b 2+c 2≥3 D. 若a 2+b 2+c 2≥3，则a+b+c=3 4.命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（ ）A.若函数f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5. 命题“若p 则q ”的逆命题是（ ）A.若q 则pB.若p ⌝则q ⌝C.若q ⌝则p ⌝D.若q 则q ⌝6. 命题“若A ∪B=A ，则A ∩B=B ”的否命题为（ ）A.若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠BB. 若A ∩B=B ，则A ∪B=AC.若A ∩B ≠A ，则A ∩B ≠BD. 若A ∪B=B ，则A ∩B=A二、填空题7. 命题“若x,y 是奇数，则x+y 是偶数”的逆否命题是________________.8. 命题“若m 是4的倍数，则m 是6的倍数”的逆否命题是________________.9.命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_______________．三、解答题10.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）若x2=y2，则x=y；（2）等腰三角形两底角相等.11.设命题：“若m>0，则关于x的方程mx2+x+1=0有实数根”.试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断真假.。

1.1.3四种命题间的相互关系一、选择题1．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1C．2 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．7．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真、真、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．8．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假答案 C解析 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q ≤1时，Δ＝4－4q ≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.二、填空题9．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”的否命题的真假性为________．(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假答案 真解析 其否命题为：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，它为真命题．10．已知命题p ：若a ＞b ＞0，则12log a ＜12log b ＋1，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a ＞b ＞0，∴12log a ＜12log b ，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若12log a ＜12log b ＋1，则a ＞b ＞0”，∵当a ＝2，b ＝2时，12log a ＜12log b ＋1成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(只填序号)考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案②解析①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1B ．2C ．3D ．4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题，故M 中至少有一个元素不属于P ，∴②④正确．M 中可能有属于P 的元素，也可能都不是P 的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”．。

1.1.3 四种命题间的相互关系同步测控1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A ．若a ∉A ，则b ∉BB ．若a ∈A ，则b ∉BC ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∈A2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34B ．若3a 4a ≠34，则a >0C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0D ．若3a 4a ＝34，则a >0 3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．课时训练一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 22．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的() A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．参考答案同步测控1．【答案】B2．【答案】D【解析】逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．【答案】若A ∪B ≠B ，则A B4．【答案】解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．课时训练一、选择题1．【答案】C【解析】由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．【答案】 D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．【答案】 D【解析】因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．【答案】 B【解析】命题p ：若x ，则y ，其逆命题q ：若y ，则x ，那么命题q 的否命题r ：若﹁y ，则﹁x ，所以p 是r 的逆否命题．所以选B.5．【答案】 B【解析】一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B 中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．【答案】C【解析】①②正确．二、填空题7．【答案】若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．【答案】②③9．【答案】②【解析】①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．三、解答题10．【答案】解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．【答案】解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．【答案】解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．。

课时提升作业(三)四种命题间的相互关系一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2018·杭州高三模拟)命题“若m=10，则m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A.原命题、否命题B.原命题、逆命题C.原命题、逆否命题D.逆命题、否命题【解析】选C.因为原命题为真，所以逆否命题为真.2.(2018·太原高三模拟)下列结论错误的是( )A.命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B.对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C.命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真D.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真【解析】选D.命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b则am2<bm2”，显然m=0时，该命题为假.3.下列命题中正确的是( )①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题；④“若x-3是无理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0，则x=y=0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ=1+4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确，故逆否命题正确.二、填空题(每小题4分，共8分)4.命题“若x≠1，则x2-1≠0”的真假性为________.【解题指南】可转化为判断命题的逆否命题的真假.【解析】由于原命题的逆否命题是：“若x2-1=0，则x=1”，为假命题，因此原命题是假命题. 答案：假命题5.命题“若m>n，n>k，则m>k”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________. 【解析】原命题是真命题；它的逆命题为“若m>k，则m>n，n>k”，是假命题；否命题为“若m≤n，或n≤k，则m≤k”，是假命题；逆否命题为“若m≤k，则m≤n，或n≤k”，是真命题.答案：2【补偿训练】命题“若x=1，则x2-3x+2=0”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是________.【解析】原命题“若x=1，则x2-3x+2=0”是真命题，它的逆否命题是真命题，它的逆命题“若x2-3x+2=0，则x=1”是假命题，它的否命题也是假命题.答案：2三、解答题6.(10分)已知a，b∈R且a2-4b>0.写出命题“若a+b+1<0，则方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【解析】逆命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，则a+b+1<0.否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若a+b+1≥0，则方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2. 逆否命题：已知a，b∈R，且a2-4b>0，若方程x2+ax+b=0的两个实根不满足x1<1<x2，则a+b+1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)=x2+ax+b.因为f(1)=a+b+1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，所以x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题.(2)因为方程x2+ax+b=0的两个实根满足x1<1<x2，所以(x1-1)(x2-1)<0，x1+x2=-a，x1·x2=b，所以a+b+1<0，故逆命题为真命题.由四种命题的关系可知，原命题、逆否命题、否命题和逆命题都是真命题.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2018·烟台高三模拟)与命题“若x=3，则x2-2x-3=0”等价的命题是( )A.若x≠3，则x2-2x-3≠0B.若x=3，则x2-2x-3≠0C.若x2-2x-3≠0，则x≠3D.若x2-2x-3≠0，则x=3【解题指南】只需找其逆否命题即可.【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.2.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题，我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题：①函数y=x2(x∈R)是偶函数；②若两条直线相交，则它们的倾斜角一定不相等；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若a·c=b·c，则a=b；⑤若m+n≤2，则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是( )A.①⑤B.②③C.③④D.②④【解析】选A.①中命题是真命题，其逆命题为“若一个函数是偶函数，则这个函数是y=x2，是假命题，故它是“正向真命题”；②中命题是真命题，其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等，则它们一定相交”，也是真命题，所以②中命题不是“正向真命题”；③、④中命题都是假命题，所以它们都不是“正向真命题”；⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1，则m+n>2”是真命题，而它的否命题是“若m+n>2，则n>1且m>1”，显然不是真命题，所以这个命题是“正向真命题”.综上，是“正向真命题”的序号是①⑤.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2018·石家庄高三模拟)设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题为____________命题，逆命题为__________命题.(填“真”或“假”).【解析】逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题，所以原命题是真命题，逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，例如a=3，b=-3满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题.答案：真假【补偿训练】设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的有________.①x为直线，y，z是平面；②x，y，z均为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z均为直线.【解析】①x为直线，y，z是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，是真命题；②x，y，z均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能相交，为假命题；③x，y为直线，z为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；④x，y为平面，z为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题.答案：①③④4.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四边条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有________.【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断.答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤三、解答题5.(10分)(2018·北京高三模拟)a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由.【解题指南】分别考虑命题A和命题B的逆否命题，把命题A和命题B作为真命题分析，得出结论.【解析】能确定.理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑.①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a次之，c最小.【拓展延伸】感悟等价命题与反证法本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题，它们有相同的等价性”来解题的，即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性，与反证法不同，反证法是通过否定命题的结论，引出矛盾，来肯定命题的.。

§1.7.2 四种命题一、 基础练习：1．对于命题“若R a ∈，且a -2是有理数，则a 为无理数”用反证法证明时，假设a 是有理数后，有下面导出矛盾的方法.（1） a 是有理数，2是无理数，∴ a -2是无理数，与a -2是有理数矛盾（与已知条件矛盾）；（2） a -2是有理数，2是无理数， ∴a 是无理数，与假设a 是有理数矛盾（与假设矛盾）；（3） a 是有理数，a -2是有理数，2)2(=--∴a a 是有理数与2是无理数矛盾（与公理矛盾）.其中正确的推理有（ ）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2．用反证法证明命题“如果33,b a b a >>那么”时，假设的内容应是（ ） A.33b a = B.33b a < C. 33b a =，且33b a < D. 33b a =，或33b a <3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D. 至少有两个解4．用反证法证明“ABC ∆中，若B ∠∠为直角，则C 一定是锐角”，其反设正确的是（ ）A. ∠B 是直角B. ∠B 是直角或钝角C. ∠B 是钝角D. ∠B 不是钝角5．命题“1,0|1||1|,===-+-b a b a b a 则是实数，若”,用反证法证明时的反设为________________________二、 能力培养：6．有下列叙述，其中正确的有( ) （1）;b a b a <>的反面是（2）；或的反面是y x y x y x <>=（3）三角形的外心在三角形外的反面是三角形的外心在三角形内；（4）三角形最多有一个钝角的反面是三角形没有钝角A.0个 B1个 C.2个 D.3个7. 用反证法证明“若ab N b a ,,∈可以被7整除，则b a ,中至少有一个能被7整除”, 其反设正确的是（ ）A. b a ,都能被7整除B. b a ,都不能被7整除C.a 不能被7整除D.b a ,有一个不能被7整除8.“若62,32,22,222πππ+-=+-=+-=m k c k n b n m a b a 为实数，且，则c b a ,,中至少有一个大于0”, 用反证法证明时，下列假设正确的是（ ）A. c b a ,,中至多有一个大于0B. c b a ,,中至多有一个不大于0C. c b a ,,中至多有两个不大于0D. c b a ,,中三个都不大于09．用反证法证明“若ab 不是偶数，则b a ,都不是偶数”时，应假设_______________________________________10．用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 为奇数，则=+=∈+=33)12(),(12k n z k k n __________与已知3n 是偶数矛盾，所以n 是偶数.三、 综合拓展：11．已知函数)(x f 对其定义域的任意两个实数,,b a 当b a <时，都有)()(b f a f <，证明：0)(=x f 至多有一实根.12．已知下列三个方程：022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围四种命题答案1.C2.D3.C4.B5.1,1,≠≠≠b a b a 假设 b a ,中至少有一个是偶数 10.1612823+++k k k 是奇数 0)(=x f 至少有两个实根,,21x x 设0)(,0)(2121==<x f x f x x 则与 )()(21x f x f <0)(=x f 至多有一个实根.12.假设三个方程都无实根，则。