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1、算法的概念是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列。
特性：①有穷性②确定性③可行性④输入⑤输出评价标准：①正确性②可读性③健壮性④高效性2、算法的复杂度: 算法计算量所需资源的大小时间复杂度：T(n)=O(f(n)),他表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的时间复杂度空间复杂度：S（n）=O（f（n）），算法所需空间的度量。
3、数据结构中的逻辑结构分为：线性和非线性结构4、线性表的两种存储方式：顺序存储和链式存储的特点及比较。
顺序存储：指用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素链式存储：用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素。
5、线性表的特点①存在唯一的一个被称作“第一个”的数据元素②存在唯一的一个被称作“最后一个”的数据元素③除第一个之外，结构中的每一个数据元素均只有一个前驱④除最后一个之外，结构中的每一个数据元素均只有一个后继6、在长度为n的顺序表中的第i个位置处插入一个元素，需要移动多少个元素？n-i+17、理解算法：线性表La和Lb，将两个表合并成一个新的线性表并存于La中。
8、带头结点的单链表和不带头结点的单链表为空的条件分别是？带头结点的循环单链表为空的条件是？带头结点的单链表为空的条件：没有下一个节点L->next=NULL不带头结点的单链表为空的条件：L=NULL循环单链表为空的条件：head->next=head带头结点的循环单链表为空的条件是9、在单链表中插入结点的算法中，指针如何修改。
P3410、理解单链表中插入新结点的算法p3411、理解双向链表中插入新结点的算法p4012、理解栈和队列的操作特点：先进后出，先进先出。
已知进栈顺序，求可能的出栈顺序。
链栈相对于顺序栈的优点是什么?链栈在入栈前不需要判断栈是否为满，只需要为入栈元素动态分配一个节点空间13、理解算法：执行进栈操作，则先要判断栈S是否为满，若不满再将记录栈顶的下标变量top加1，再将进栈元素放进栈顶位置上。
⼗⼤经典排序算法总结最近⼏天在研究算法，将⼏种排序算法整理了⼀下，便于对这些排序算法进⾏⽐较，若有错误的地⽅，还请⼤家指正0、排序算法说明0.1 排序术语稳定：如果a=b,且a原本排在b前⾯，排序之后a仍排在b的前⾯不稳定：如果a=b,且a原本排在b前⾯，排序之后排在b的后⾯时间复杂度：⼀个算法执⾏所耗费的时间空间复杂度：⼀个算法执⾏完所需内存的⼤⼩内排序：所有排序操作都在内存中完成外排序：由于数据太⼤，因此把数据放在磁盘中，⽽排序通过磁盘和内存的数据传输才能进⾏0.2算法时间复杂度、空间复杂度⽐较0.3名词解释n:数据规模k:桶的个数In-place:占⽤常数内存，不占⽤额外内存Out-place:占⽤额外内存0.4算法分类1.冒泡排序冒泡排序是⼀种简单的排序算法。
它重复地⾛访过要排序的数列，⼀次⽐较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
⾛访数列的⼯作是重复地进⾏直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
这个算法的名字由来是因为越⼩的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端1.1算法描述⽐较相邻的元素，如果前⼀个⽐后⼀个打，就交换对每⼀对相邻元素做同样的⼯作，从开始第⼀对到结尾最后⼀对，这样在最后的元素应该会是最⼤的数针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后⼀个重复步骤1-3，知道排序完成1.2动图演⽰1.3代码实现public static int[] bubbleSort(int[] array) {if (array.length == 0)return array;for (int i = 0; i < array.length; i++)for (int j = 0; j < array.length - 1 - i; j++)if (array[j + 1] < array[j]) {int temp = array[j + 1];array[j + 1] = array[j];array[j] = temp;}return array;}1.4算法分析最佳情况：T(n) = O(n) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)2.选择排序表现简单直观的最稳定的排序算法之⼀，因为⽆论什么数据都是O(n2)的时间复杂度，⾸先在未排序序列中找到最⼩（⼤）元素，与数组中第⼀个元素交换位置，作为排序序列的起始位置，然后再从剩余未排序元素中继续寻找最⼩（⼤）的元素，与数组中的下⼀个元素交换位置，也就是放在已排序序列的末尾2.1算法描述1.初始状态：⽆序区为R[1..n],有序区为空2.第i躺排序开始时，当前有序区和⽆序区R[1..i-1]、R[i..n]3.n-1趟结束，数组有序化2.2动图演⽰2.3代码实现public static int[] selectionSort(int[] array) {if (array.length == 0)return array;for (int i = 0; i < array.length; i++) {int minIndex = i;for (int j = i; j < array.length; j++) {if (array[j] < array[minIndex]) //找到最⼩的数minIndex = j; //将最⼩数的索引保存}int temp = array[minIndex];array[minIndex] = array[i];array[i] = temp;}return array;}2.4算法分析最佳情况：T(n) = O(n2) 最差情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)3、插⼊排序是⼀种简单直观的排序算法，通过构建有序序列，对于未排序序列，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插⼊，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素腾出插⼊空间3.1算法描述1.从第⼀个元素开始，该元素可以认为已经被排序2.取出下⼀个元素（h），在已排序的元素序列中从后往前扫描3.如果当前元素⼤于h，将当前元素移到下⼀位置4.重复步骤3，直到找到已排序的元素⼩于等于h的位置5.将h插⼊到该位置6.重复步骤2-53.2动图演⽰3.3代码实现public static int[] insertionSort(int[] array) {if (array.length == 0)return array;int current;for (int i = 0; i < array.length - 1; i++) {current = array[i + 1];int preIndex = i;while (preIndex >= 0 && current < array[preIndex]) {array[preIndex + 1] = array[preIndex];preIndex--;}array[preIndex + 1] = current;}return array;}3.4算法分析最佳情况：T(n) = O(n) 最坏情况：T(n) = O(n2) 平均情况：T(n) = O(n2)4、希尔排序是简单插⼊排序经过改进之后的⼀个更⾼效的版本，也称为缩⼩增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第⼀批算法之⼀。
matlab 时间空间复杂度计算在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是评估算法性能的两个重要指标。
而在MATLAB中，对于算法的时间复杂度和空间复杂度的计算与其他编程语言类似。
本文将从理论和实际应用的角度，详细介绍MATLAB中时间复杂度和空间复杂度的计算方法，并探讨如何优化算法以提高性能。
时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的程度，通常用大O符号表示。
它描述了算法执行所需的基本操作次数，并提供了一种粗略的估计。
在MATLAB中，我们可以使用复杂度符号库来计算时间复杂度。
常见的时间复杂度包括：-常数时间复杂度O(1)：算法的执行时间不受输入规模的影响，例如直接访问数组元素。
-线性时间复杂度O(n)：算法的执行时间与输入规模n成正比，例如遍历数组或链表。
-对数时间复杂度O(log n)：算法的执行时间随输入规模n的对数增加，例如二分查找。
-平方时间复杂度O(n^2)：算法的执行时间与输入规模n的平方成正比，例如嵌套循环。
在MATLAB中，可以通过分析循环、递归和函数的调用来判断算法的时间复杂度。
具体方法如下：1.计算循环次数：分析算法中的循环结构，找出循环变量的变化规律并计算循环次数。
通常情况下，循环结构的复杂度与循环次数成正比。
2.分析递归调用：递归算法的时间复杂度可以通过递归树来计算。
根据递推关系式和递归调用的次数，可以得到递归算法的复杂度。
3.考虑函数调用开销：函数调用也会耗费一定的时间，特别是输入和输出参数的传递。
因此，在计算算法复杂度时，需要考虑函数调用的开销。
空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需的额外内存空间的大小，通常也用大O符号表示。
它描述了算法所需的内存空间随输入规模增长而增加的程度。
常见的空间复杂度包括：-常数空间复杂度O(1)：算法所需的额外内存空间是固定的，与输入规模无关，例如只使用有限个额外变量。
-线性空间复杂度O(n)：算法所需的额外内存空间与输入规模n成正比，例如需要创建一个与输入规模相同大小的数组来存储数据。
概率多项式时间在密码学中，经常需要评估算法的时间复杂度，掌握相关知识。
上一篇文章中提到的概率多项式时间图灵机，这里也要解释一下。
1.算法效率的评估方法：算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：时间复杂度：评估执行程序所需的时间。
空间复杂度：评估执行程序所需的内存空间。
时间复杂度是指随着问题规模的扩大，解决一个问题所需时间的增长率。
一般来说，时间复杂度比空间复杂度更难解决，算法研究的主要焦点是时间复杂度。
除非特别说明，复杂度是指时间复杂度。
2.时间复杂度概率多项式时间 4多项式时间指的是一个算法的复杂度，在时间复杂度的计算中常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)。
只要算法的复杂度不会是最后两个指数或者阶乘型，前面的O(1)到O(n^m)（m为常数）任意组合都算是多项式级的复杂度，它们的规模n都出现在底数位置；而O(2ⁿ)，O(n!)型复杂度，就是非多项式级的，问题规模较大时，计算机也很难算出结果。
所以我们一般会选择多项式级复杂度的算法。
4.确定性与概率性如果同一个问题你解决两次，得到的答案是一样的，那就叫确定性，如果答案可能不一样，那就叫概率。
比如两次输入1，如果两次输出都是2，那么就是确定性的；如果两个输出是2，3，或者其他答案，那就是概率性的。
5.P问题与NP问题（这里的P是指Polynomial，即多项式）P问题：只要问题存在确定性多项式级复杂度的解决算法，就称之为P问题。
（比较好算）NP问题：不存在确定性多项式级复杂度的解决算法，但是存在多项式时间的算法来验证某个答案是否正确，就称之为NP 问题。
（不好算，但是对给出的答案可以很快的验证对不对）还有NPC问题，有兴趣自己查一下。
很明显，P问题是包含于NP问题的，但P是否等于NP，即P=NP，是一个尚无法证明的问题。
空间复杂度怎么算1.算法效率算法分析有两种:第一种是时间效率，第二种是空间效率。
时间效率叫时间复杂度，空间效率叫空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行速度，空间复杂度主要衡量一个算法需要的额外空间。
在计算机发展的早期，计算机的存储容量非常小。
所以我非常关心空间的复杂性。
然而，随着计算机行业的快速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的水平。
所以现在我们不需要特别关注一个算法的空间复杂度。
2.时间复杂度2.1时间复杂度的概念时间复杂度的定义:在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数(数学中表达式未知的函数)，定量描述算法的运行时间。
理论上，一个算法执行的时间是无法计算的。
只有把你的程序放到机器上运行，你才能知道。
但是我们需要在电脑上测试每一个算法吗？可以在电脑上测试，但是很麻烦，于是就有了时间复杂度分析法。
算法花费的时间与其语句的执行次数成正比，算法中基本运算的执行次数就是算法的时间复杂度。
3.空间复杂度空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
4.大O渐进表示法•大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：• 1.用常数1替换运行时的所有加法常数。
• 2.在操作次数的修正函数中，只保留最高阶项。
•3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：•最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数•最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界) 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到最坏情况：N次找到•平均情况：N/2次找到在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)5.常见时间复杂度计算一下这个算法的时间复杂度// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？voidFunc1(intN){intcount=0;//两层循环嵌套外循环执行n 次，内循环执行n次，整体计算就是N*N的执行次数for(inti=0;i<N;++i){for(intj=0;j<N;++j){++count;}}//2 * N的执行次数for(intk=0;k<2*N;++k){++count;}//常数项10intM=10;while(M--){++count;}printf("%d\n",count);}精确的时间复杂度是N ^ 2 + 2 * N + 10 大O的渐进表示法时间复杂度是O(N ^ 2) 分析： 1、两层循环嵌套外循环执行n次，内循环执行n次，整体计算就是N*N 的执行次数 2、2 * N的执行次数 3、常数项10 根据前面的大o渐进表示法规则，所以最后只保留那项对执行次数影响最大的那一项，时间复杂度就是O(N ^ 2)。
迪杰斯特拉算法复杂度迪杰斯特拉算法是一种用于在有向图中找出单源最短路径的算法。
它的主要思想是以起始点为中心，每次寻找到起始点距离最近的一个点，将其加到已找到最短路径的集合中，然后更新距离，这样便可以不断推出起始点的最短路径，直至终点。
1、迪杰斯特拉算法概述：迪杰斯特拉算法是一种最优化算法，它的主要应用场景是求出一条从源点到各点的最短路径。
迪杰斯特拉算法不仅可以解决最短路径问题，还能解决优化问题、背包问题、旅行推销员问题、分配资源最佳决策问题等8类问题。
2、迪杰斯特拉算法步骤：（1）从起点出发，依次将未经评估的任一点作为当前点，求出从起点到该点的距离（即Astar算法的f值），记录起点到该点的路径；（2）从当前点出发，求出从这个点开始到其余任一未经评估的点的距离，更新起点到该点的f值，及路径表；（3）重复上述步骤，直到取得终点；（4）根据路径表起点至终点的最短路径。
3、迪杰斯特拉算法复杂度迪杰斯特拉算法的时间复杂度和解空间复杂度都为O(n^2)，其中n是节点数，即图中节点的个数。
（1）时间复杂度：迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(n*n)，其中n表示节点个数，当图中节点越多时，迪杰斯特拉算法花费的时间就越多。
（2）空间复杂度：迪杰斯特拉算法的空间复杂度也是O(n*n)，其中n表示节点个数，当图中节点越多时，迪杰斯特拉算法的空间复杂度也就越大。
4、迪杰斯特拉算法的优缺点（1）优点：迪杰斯特拉算法主要优点在于它简单明了、实现起来非常容易，运行效率也比较高。
（2）缺点：迪杰斯特拉算法的缺点在于在某些场景中，它的时间复杂度并不能满足要求，且对弧的代价分析比较粗糙，可操作性还有待提高。
如何优化算法以减少时间和空间复杂度在计算机科学中，算法的时间和空间复杂度是评估算法性能的重要指标。
时间复杂度衡量了算法在执行过程中所需的时间资源，而空间复杂度则衡量了算法在执行过程中所需的内存资源。
优化算法以减少时间和空间复杂度，可以提高算法的效率和性能。
本文将探讨一些优化算法的方法和技巧。
一、选择合适的数据结构选择合适的数据结构是优化算法的关键。
不同的数据结构适用于不同的问题和场景。
例如，对于需要频繁插入和删除操作的问题，链表可能比数组更加高效。
而对于需要随机访问的问题，数组可能是更好的选择。
因此，在设计算法时，要根据具体情况选择合适的数据结构，以减少时间和空间复杂度。
二、减少循环次数循环是算法中常见的结构，也是影响算法性能的重要因素之一。
循环次数越多，算法的时间复杂度就越高。
因此，减少循环次数可以有效地降低算法的时间复杂度。
在编写代码时，可以通过优化循环条件、提前终止循环等方式来减少循环次数，从而提高算法的效率。
三、使用适当的算法思想算法思想是解决问题的方法和策略，不同的算法思想适用于不同类型的问题。
例如，贪心算法适用于一些优化问题，动态规划适用于一些具有最优子结构性质的问题，分治算法适用于一些可以分解为子问题的问题等等。
选择合适的算法思想可以简化问题的解决过程，减少算法的时间和空间复杂度。
四、利用空间换时间有时，可以通过使用额外的内存空间来减少算法的时间复杂度。
例如，使用哈希表可以提高查找的效率，但同时也增加了空间复杂度。
在实际应用中，可以根据具体情况，权衡时间和空间复杂度的关系，选择合适的策略。
利用空间换时间的方法可以在一定程度上优化算法的性能。
五、剪枝和缓存剪枝和缓存是一种常见的优化算法的方法。
剪枝是指在搜索过程中，根据某些条件进行剪枝，减少不必要的计算。
例如，在搜索算法中，可以通过判断当前状态是否满足某些条件，来减少搜索的分支。
缓存是指将已经计算过的结果保存起来，避免重复计算。
通过剪枝和缓存的方法，可以减少算法的时间复杂度，提高算法的效率。
作业：1-1,7,8 2-1，2,4,7,9,11,13，19 3-2,3，7,8,13,144-3,9,13 5-1,2,6,8 5-1,2,6,7，8，12,14,17习题1 绪论1-1 名词解释：数据结构。
数据结构：相互之间存在一定关系的数据元素的集合1-2 数据结构的基本逻辑结构包括哪四种?⑴集合：数据元素之间就是“属于同一个集合”⑵线性结构：数据元素之间存在着一对一的线性关系⑶树结构：数据元素之间存在着一对多的层次关系⑷图结构：数据元素之间存在着多对多的任意关系1-3 数据结构一般研究的内容不包括( )。
(A) 集合的基本运算(B) 数据元素之间的逻辑关系(C) 在计算机中实现对数据元素的操作(D) 数据元素及其关系在计算机中的表示选D数据的逻辑结构、数据的存储结构、数据的运算1-4 算法包括哪五种特性?2. 算法的五大特性：√⑴输入：一个算法有零个或多个输入。
⑵输出：一个算法有一个或多个输出。
⑶有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
⑷确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。
⑸可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
1-5 简述算法及其时间复杂度。
1.算法（Algorithm）:是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。
算法复杂度(Algorithm Complexity)：算法占用机器资源的多少，主要有算法运行所需的机器时间和所占用的存储空间。
时间复杂度(Time Complexity)：算法运行所需要的执行时间，T(n)= O(f(n))。
空间复杂度(Space Complexity)：算法运行所需要的存储空间度量，S(n)= O(f(n))。
1-6 设数组A中只存放正数和负数。
试设计算法，将A中的负数调整到前半区间，正数调整到后半区间。
分析算法的时间复杂度。
A[n+1]For(int i=n-1,j=0;i>j;i--){If(a[i]>0) continue;Else {A[n]=A[i];A[i]=A[j];A[j]=A[n];J++;}}时间复杂度为O(n)1-7 将上三角矩阵A=(aij)n n 的非0元素逐行存于B[(n*(n+1)/2]中，使得B[k]=aij 且k=f1(i)+f2(j)+c (f1, f2不含常数项)，试推导函数f1, f2和常数c。
1.一个算法通常由两种基本要素组成：一是对数据对象的运算和操作，二是算法的控制结构。
1. 算法的复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。
2. 实现算法所需的存储单元多少和算法的工作量大小分别称为算法的空间复杂度和时间复杂度。
3.所谓数据处理是指对数据集合中的各元素以各种方式进行运算，包括插入、删除、查找、更改等运算，也包括对数据元素进行分析。
4.数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
5.数据结构分为逻辑结构与存储结构，线性链表属于存储结构。
6.数据结构包括数据的逻辑结构和数据的存储结构。
7. 数据结构包括数据的逻辑结构、数据的存储结构以及对数据的操作运算。
8.数据元素之间的任何关系都可以用前趋和后继关系来描述。
9.数据的逻辑结构有线性结构和非线性结构两大类。
10.常用的存储结构有顺序、链接、索引等存储结构。
11. 顺序存储方法是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元中。
12. 栈的基本运算有三种：入栈、退栈与读栈顶元素。
13. 队列主要有两种基本运算：入队运算与退队运算。
14. 在实际应用中，带链的栈可以用来收集计算机存储空间中所有空闲的存储结点，这种带链的栈称为可利用栈。
15.栈和队列通常采用的存储结构是链式存储和顺序存储。
16.当线性表采用顺序存储结构实现存储时，其主要特点是逻辑结构中相邻的结点在存储结构中仍相邻。
17. 循环队列主要有两种基本运算：入队运算与退队运算。
每进行一次入队运算，队尾指针就进1 。
18.当循环队列非空且队尾指针等于对头指针时，说明循环队列已满，不能进行入队运算。
这种情况称为上溢。
19.当循环队列为空时，不能进行退队运算，这种情况称为下溢。
20. 在一个容量为25的循环队列中，若头指针front=16，尾指针rear=9，则该循环队列中共有18 个元素。
注：当rear当rear>front时，元素个数＝rear－front。
21. 在一个容量为15的循环队列中，若头指针front=6，尾指针rear=9，则该循环队列中共有3 个元素。
1. 在计算机中，算法是指什么？答案：解题方案的准确而完整的描述。
2. 在下列选项中，哪个不是一个算法一般应该具有的基本特征？说明：算法的四个基本特征是：可行性、确定性、有穷性和拥有足够的情报。
答案：无穷性。
3. 算法一般都可以用哪几种控制结构组合而成？答案：顺序、选择、循环。
4. 算法的时间复杂度是指？答案：算法执行过程中所需要的基本运算次数。
5. 算法的空间复杂度是指？答案：执行过程中所需要的存储空间。
6. 算法分析的目的是？答案：分析算法的效率以求改进。
7. 下列叙述正确的是（C）A．算法的执行效率与数据的存储结构无关B．算法的空间复杂度是指算法程序中指令（或语句）的条数C．算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止D．算法的时间复杂度是指执行算法程序所需要的时间8. 数据结构作为计算机的一门学科，主要研究什么？答案：主要研究数据的逻辑结构、对各种数据结构进行的运算，以及数据的存储结构。
9. 数据结构中与所使用的计算机无关的是数据的（C）A．存储结构B．物理结构C．逻辑结构D．物理和存储结构10. 下列叙述中，错误的是（B）A．数据的存储结构与数据处理的效率密切相关B．数据的存储结构与数据处理的效率无关C．数据的存储结构在计算机中所占的空间不一定是连续的D．一种数据的逻辑结构可以有多种存储结构11. 数据的存储结构是指什么？答案：数据的逻辑结构在计算机中的表示。
12. 数据的逻辑结构是指？答案：反映数据元素之间逻辑关系的数据结构。
13. 根据数据结构中各数据元素之间前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分为？答案：线性结构和非线性结构。
14. 下列数据结构具有记忆功能的是（C）A．队列B．循环队列C．栈D．顺序表15. 下列数据结构中，按先进后出原则组织数据的是（B）A．线性链表B．栈C．循环链表D．顺序表16. 递归算法一般需要利用什么实现？答案：队列17. 下列关于栈的叙述中正确的是（D）A．在栈中只能插入数据B．在栈中只能删除数据C．栈是先进先出的线性表D．栈是先进后出的线性表18. 由两个栈共享一个存储空间的好处是？答案：节省存储空间，降低上溢发生的机率。
动态规划复杂度分析动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的解决优化问题的方法，通过将问题分解为若干子问题，并将子问题的答案保存起来，避免重复计算，从而提高算法效率。
在实际应用中，我们需要对动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度进行准确的分析，以便评估算法的性能和可行性。
一、动态规划的时间复杂度分析动态规划算法的时间复杂度取决于以下两个因素：1. 子问题数量：动态规划算法将原问题分解为若干子问题，并通过求解子问题的答案来解决原问题。
因此，子问题的数量直接关系到算法的时间复杂度。
如果每个子问题的求解时间相同且规模相等，那么子问题数量的增加会导致时间复杂度的线性增长。
2. 单个子问题的求解时间：每个子问题的求解时间是动态规划算法时间复杂度的另一个重要因素。
在实际应用中，子问题的求解时间可能不同，这取决于子问题之间的关系和具体的求解方法。
一般来说，如果每个子问题的求解时间相同，则总体的时间复杂度为子问题数量乘以单个子问题的求解时间。
基于以上分析，可以得出结论：动态规划算法的时间复杂度与子问题数量和单个子问题的求解时间相关，可以用O(N*M)表示，其中N 为子问题的数量，M为单个子问题的求解时间。
二、动态规划的空间复杂度分析动态规划算法的空间复杂度取决于以下两个因素：1. 子问题数量：与时间复杂度类似，子问题的数量也会影响算法的空间复杂度。
每个子问题需要保存其对应的答案，因此子问题的数量直接关系到算法的空间需求。
2. 单个子问题的空间需求：每个子问题需要保存其对应的答案，因此单个子问题的空间需求是算法空间复杂度的重要因素。
不同的子问题可能需要不同的空间来保存求解结果。
根据以上讨论，可以得出结论：动态规划算法的空间复杂度与子问题数量和单个子问题的空间需求相关，可以用O(N*M)表示，其中N为子问题的数量，M为单个子问题的空间需求。
三、动态规划算法的优化和改进在实际应用中，为了降低动态规划算法的时间复杂度和空间复杂度，可以采取以下优化和改进措施：1. 优化状态转移方程：动态规划算法的核心是状态转移方程，通过优化方程的表达和求解方式，可以减少算法的时间复杂度。
空间复杂度的概念
空间复杂性是指计算所需的存储单元数量，隶属于计算复杂性（ 计算复杂性由空间复杂性和时间复杂性两部分组成），一个算法的空间复杂度定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数，渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度，算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度，算法的复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源量称为时间复杂性，需要空间资源的量成为空间复杂性。
1、算法：是对一个问题求解步骤的一种描述，具有以下5个主要特性:有穷性，确定性，可行性，输入（有零个或者多个输入），输出（有一个或者多个输出）。
算法的有穷性是指算法必须在有限的时间内做完，即算法必须在有限个步骤之后执行终止。
2、在算法正确的前提下，评价一个算法的两个标准是即——算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。
其中时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
空间复杂度是算法所需空间的度量。
3、算法分析的目的是分析算法的效率以求改进。
4、数据项是数据的最小单位。
数据的最小访问单位是字段。
5、一般说来，数据结构包括数据的逻辑结构、数据的存储结构、数据的操作3个方面。
6、数据的存储结构是指数据的逻辑结构在计算机中的表示。
一种逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率。
7、在数据的存储结构中，不仅需要存储各数据元素的信息，还要存放各元素之间前后件的信息。
8、在数据库管理系统提供的数据定义语言、数据操纵语言和数据控制语言中，数据定义语言负责数据的模式定义与数据的物理存取构建。
9、线性数据结构：队列，线性表，栈等等。
常用的结构数据模型有关系型、网状型和树型。
10、线性表中的元素之间具有一对一的关系，除第一个元素和最后一个元素外，其余每个元素都有一个且只有一个直接前驱和直接后驱。
顺序存储是线性表的一种最常用的存储方式。
11、栈的基本运算有三种：入栈、退栈和读栈。
12、栈是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。
允许插入和删除的一端叫做“栈顶”，不允许插入和删除的一端叫做“栈底”栈的修改只能在栈顶进行，按照后进先出的原则，具有记忆作用，对栈的插入与删除操作中，不需要改变栈底指针。
13、队列是限定了插入和删除操作的线性表。
它只允许在表的一端进行插入操作（队尾），而在另外一端进行删除操作（队头），队列的修改可以在两端进行，按照先进先出的原则。
14、数据结构分为逻辑结构和存储结构，循环队列属于存储结构。
遗传算法的算法复杂度分析遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，广泛应用于解决各种复杂问题。
它通过模拟生物进化的过程，利用选择、交叉和变异等操作对解空间进行搜索和优化。
然而，遗传算法的算法复杂度一直是人们关注的焦点之一。
本文将对遗传算法的算法复杂度进行分析。
1. 遗传算法的基本原理遗传算法的基本原理是模拟自然界中的进化过程。
它通过对候选解进行编码，然后利用选择、交叉和变异等操作对编码进行操作，最终得到一个较优的解。
具体而言，遗传算法包括以下几个步骤：1.1 初始化种群：随机生成一组初始解作为种群。
1.2 适应度评估：对每个个体进行适应度评估，根据问题的特定要求确定适应度函数。
1.3 选择：根据适应度函数的值，选择一部分个体作为下一代的父代。
1.4 交叉：对父代个体进行交叉操作，生成新的个体。
1.5 变异：对新个体进行变异操作，引入新的基因。
1.6 重复执行步骤2-5，直到满足终止条件。
2. 遗传算法的时间复杂度遗传算法的时间复杂度主要取决于以下几个因素：2.1 种群规模：种群规模越大，算法的时间复杂度越高。
2.2 迭代次数：迭代次数越多，算法的时间复杂度越高。
2.3 适应度评估：适应度评估的计算量与问题的复杂度相关。
2.4 选择、交叉和变异操作：这些操作的复杂度与问题的编码方式和规模相关。
总体而言，遗传算法的时间复杂度可以表示为O(N * G * F)，其中N为种群规模，G为迭代次数，F为适应度评估、选择、交叉和变异等操作的复杂度。
3. 遗传算法的空间复杂度遗传算法的空间复杂度主要取决于以下几个因素：3.1 种群规模：种群规模越大，算法的空间复杂度越高。
3.2 解的表示方式：解的表示方式决定了算法中每个个体的空间占用。
3.3 中间变量：遗传算法中的一些中间变量的空间占用也会影响算法的空间复杂度。
总体而言，遗传算法的空间复杂度可以表示为O(N * L)，其中N为种群规模，L为解的表示方式和中间变量的空间占用。
递归函数的时间复杂度和空间复杂度
递归函数是一种常见的编程技巧，它在解决一些复杂问题时非常有用。
但是，递归函数的时间复杂度和空间复杂度是我们需要考虑的重要问题。
时间复杂度指的是算法执行所需的时间量与问题规模之间的关系。
对于递归函数，时间复杂度通常是指递归调用的次数。
例如，斐波那契数列用递归函数实现的时间复杂度是O(2^n)，因为每个数都要递归调用两次。
空间复杂度指的是算法执行所需的空间量与问题规模之间的关系。
对于递归函数，空间复杂度通常是指递归调用的最大深度。
例如，斐波那契数列用递归函数实现的空间复杂度是O(n)，因为递归栈的深度是n。
在编写递归函数时，我们需要注意时间复杂度和空间复杂度的问题。
如果递归调用的次数或深度太大，会导致程序运行缓慢或者造成栈溢出等问题。
因此，我们需要在设计递归函数时尽可能优化算法，减少递归调用的次数或深度，以提高程序的效率和稳定性。
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1.时间复杂度
（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如 T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶
O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。
（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。
【例3．7】有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。
（1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。
（2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。
即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。
它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。
在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
【例3．8】算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为T(n)=O(n3)，f(n)=n3是该算法中语
句(5)的频度。
下面再举例说明如何求算法的时间复杂度。
【例3．9】交换i和j的内容。
Temp=i; i=j; j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作 T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
【例3．10】变量计数之一。
(1) x=0;y=0;
(2) for(k-1;k<=n;k++)
(3) x++;
(4) for(i=1;i<=n;i++)
(5) for(j=1;j<=n;j++)
(6) y++;
一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分。
因此，以上程序段中频度最大的语句是 (6)，其频度为f(n)=n2，所以该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n2)。
当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。
【例3．11】变量计数之二。
(1) x=1;
(2) for(i=1;i<=n;i++)
(3) for(j=1;j<=i;j++)
(4) for(k=1;k<=j;k++)
(5) x++;
该程序段中频度最大的语句是(5)，内循环的执行次数虽然与问题规模n没有直接关系，但是却与外层循环的变量取值有关，而最外层循环的次数直接与n有关，因此可以从内层循环向外层分析语句(5)的执行次数：则该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n3/6+低次项)=O(n3)。
（4）算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模，还与输入实例的初始状态有关。
【例3．12】在数值A[0..n-1]中查找给定值K的算法大致如下：
(1)i=n-1;
(2)while(i>=0&&(A[i]!=k))
(3) i--;
(4)return i;
此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关: ①若A中没有与K相等的元素，则语句(3)的频度f(n)=n；②若A的最后一个元素等于K,则语句(3)的频度f(n)是常数0。
（5）最坏时间复杂度和平均时间复杂度最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。
一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。
这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
【例3．19】查找算法
【例1·8】在最坏情况下的时间复杂度为T(n)=0(n)，它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0(n)。
平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数0(1)、对数阶0(log2n)、线形阶0(n)、线形对数阶0(nlog2n)、平方阶0(n2)立方阶0(n3)、…、k次方阶0(nk)、指数阶0(2n)。
显然，时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低，当n值稍大时就无法应用。
2、类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。
算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。
存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。
算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地\"进行的，是节省存储的算法，如这一节介绍过的几个算法都是如此；有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着 n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如将在第九章介绍的快速排
序和归并排序算法就属于这种情况。
分析一个算法所占用的存储空间要从各方面综合考虑。
如对于递归算法来说，一般都比较简短，算法本身所占用的存储空间较少，但运行时需要一个附加堆栈，从而占用较多的临时工作单元；若写成非递归算法，一般可能比较长，算法本身占用的存储空间较多，但运行时将可能需要较少的存储单元。
一个算法的空间复杂度只考虑在运行过程中为局部变量分配的存储空间的大小，它包括为参数表中形参变量分配的存储空间和为在函数体中定义的局部变量分配的存储空间两个部分。
若一个算法为递归算法，其空间复杂度为递归所使用的堆栈空间的大小，它等于一次调用所分配的临时存储空间的大小乘以被调用的次数(即为递归调用的次数加1，这个1表不开始进行的一次非递归调用)。
算法的空间复杂度一般也以数量级的形式给出。
如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为0(10g2n)；当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为0(n).若形参为数组，则只需要为它分配一个存储由实参传送来的一个地址指针的空间，即一个机器字长空间；若形参为引用方式，则也只需要为其分配存储一个地址的空间，用它来存储对应实参变量的地址，以便由系统自动引用实参变量。
对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。
当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当=i自求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。
另外，算法的所有性能之间都存在着或多或少的相互影响。
因此，当设计一个算法(特别是大型算法)时，要综合考虑算法的各项性能，算法的使用频率，算法处理的数据量的大小，算法描述语言的特性，算法运行的机器系统环境等各方面因素，才能够设计出比较好的算法。
算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。
