3.2-三维波动方程初值问题

波动方程初值问题的解法（数学物理方程答卷）姓名学号纪尚军 0803044108王雅琳 0803044109 郭潇潇 0803044117韩海梅 0803044118高璇 0803044119刘莉莉 0803044125郭贵芳 0803044126龙艳丽 0803044134曹琼 0803044135王蕾蕾 0803044136刘菁 0803044145波动方程初值问题的解法摘要：求解波动方程初值问题的常用方法—达朗贝尔公式法，行波法，齐次化原理，叠加原理以及泊松公式法，先从一维波动方程入手，继而运用降维法，叠加原理等来解二维三维波动方程，掌握其基本思路及求解过程。

波动方程初值问题的解法1. 预备知识 1.1达朗贝尔公式考虑两端为无限长的弦振动方程的初值问题⎩⎨⎧>+∞<<∞=+∞<<-∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,0,-,.,0,,0,2tt t x u a u x x x u x x u xx t ψφ （1） 其中()()x x ψφ,分别表示初始位移和初始速度.则该方程的特征线是.,21c at x c at x =-=+引入特征线坐标方法，得到利用复合函数求导数的.,at x at x -=+=ηξ.2,ηηξηξξηξηξηξu u u u u u u u u xx x x x ++=+=+=类似可以得到()().2,2ηηξηξξηξu u u a u u u a u tt t +-=-=把上述各式代入到（1）中的弦振动方程，得到 .0=ξηu （2）把方程（2）关于η 积分，得(),f ξξ=u然后再关于ξ积分，得()()()()(),,ξξηξξηξG F G d f u +=+=⎰其中F 和G 是任意二阶连续可微方程，代回原自变量x 和t ，得到（1）中弦振动方程的通解()()().,at x G at x F t x u -++= （3） 直接验证可知，只要F 和G 是二阶连续可微的，它就满足（1）中的方程。

1 x at ' 由达朗贝尔公式 ( x, t ', ) x at ' f ( , )d 2a 1 x a (t ) 作代换 ( x, t , ) x a (t ) f ( , )d 2a
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4

由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解

简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。

域是以x0为顶点的角状区域.
在上面的讨论中,我们看到了( x,t )平面上的直线 x ± at = c
(常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解.
而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件.
那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案.
这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
( ) ⎧⎪⎪⎨uut(t
= x,
a2Δu = a2
=
x+at)
+ϕ(
x-at)
2
给出.
为了简单起见,假设
⎧0
⎪
ϕ
(
x)
=
⎪⎪2 ⎨ ⎪⎪2
+ −
2x
α
2x
α
⎪⎩0
( x < −α ) (−α ≤ x ≤ 0)
(0 ≤ x ≤α) (x >α)
也就是说,初始位移是区间 [−α,α ] 上的一个等腰三角形.
图1给出了这个弦每经过时间
α
后的相对位移.
4a
0
y
x
u(M,t)
=
u ( x,
y, z,t)
=
∂ ∂t
⎡t
⎢⎣ 4π a2t2

假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：

x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：

t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2

4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。

x
x
x x
时刻的波形。
t5
x
南京邮电大学、数理学院
2、三维波动方程的初值问题（平均值法）
uut|tt
0
a
2
(
2u 0 x,y,z)
ut |t0 (x, y, z)
- x,y,z ,t 0
数理方程
达朗贝尔公式:
u(x,t)
f1(x at)
f2
(x
at)
1 2
[ ( x
at)
(x
数理方程 南京邮电大学、数理学院
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
主讲：王 正 斌
南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系
: wangzb@ BBS: 科技教育/物理研究 答疑： 周二中午11：30～1：30，教2＃426
南京邮电大学、数理学院
例、求下列初值问题的解
uutt|t
0
a22u 0
0
ut |t0 2xy
- x, y,z , t 0
南京邮电大学、数理学院
数理方程
3、二维波动方程的初值问题（降维法）
uutt|t
0
a22u
(x,
0 y)
ut |t0 (x, y)
- x, y , t 0
u(x,
y,
z,t)
t
[
t
4a2t 2
SaMt
(
,,
)ds]
t
4a2t
2
(,, )ds
SaMt
d dxdy cos ds
(at)2 ( x)2 ( y)2 cos
at

1.1 无界弦的自由振动
在弦的微小横振动问题中，如果弦未受到任何外力作用，而 且只研究其中的一小段，那么在不太长的时间里，两端的影 响都来不及传到，不妨认为两端都不存在，弦是“无限长”， 则可提出如下定解问题
utt u(
a2uxx ,
x, 0) (
x),
ut
(
x,
0)

x ,t 0

at;
(3) 当 at 1 时，有
0,
x 1 at;

1 2
(1
x

at),
1

at

x

at;

1 2
(1
x

at),
at

x

1

at;
u(x,t) 0,
1 at x 1 at;

1 2
(1

x

at
),
1 at x at;
0,
x 1 at;

1 2
(1
x

at),
1
at

x

at;

1 2
(1
x

),
at

x

1
at;
u(x,t) 1 at,
1 at x 1 at;
1 2
(1
x

at),
1
at

x

at;
012 ,(1

x

at
),
at x 1 x 1 at.
66

ｌ ｆ ， ＝０ （ ｚ ＋王 ， ¨＋ ） ， ｔ ＞ ０
方程 （ ４ ） 是亥 姆 霍兹 程 ，（ ４ ） 中 的 ｕ可 以代表 电场强
； ， Ｙ ， ｚ ， ０ ） ＝０ ， 一 ∞＜ ， ｙ ， ＜ ∞
｛ ， ， Ｙ ， 。 ， ０ ） ＝ （ — ， ｙ 一 叼 ，
Ｃ
Ｚ Ｃ 一，
ｎ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — １ ５
作者简介： 张子珍０９ ６ ５ 一 ） ， 女 ，Ｉ Ｊ Ｊ 西大 同人 ，敦授 ， 研究力‘ ： 论物理 。
“ 西大 Ｍ大学学报（ 自然科学 版 ） Ｅ一： Ｃｓ ｉ ｎ
ａ
Ｘ Ｓ ｉ １ ３
【 “ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ）
（ ３ ）
ｆ ４ １
先 求 出点 源 引 起 的基 本 解 ，再 利 用 叠 加 原 理
求 出连续 源的解 。点源 引起 的基 本解１ ｌ 所 满足 的
方 程 是 ｌ
方程 ｆ ３ １ 的解是
Ｔ （ ｔ ） Ｏ Ｃ ． ｅ － ｉ ｋ ＝ｅ ，
Ｍ ， Ｙ ， ， ｆ ） ＝ Ｍ ， Ｙ ， ｚ ） Ｔ （ ｔ ） ，
得
ｆ ｆ ） ＋ｋ ２ ａ ７ ＝０ ，
Ｍ＋七 “ ＝ ０。
ｉ “ ｆ ， ＝ａ ２ （ ｔ ｉ ＋ｕ ”＋“ ） ， ｔ ＞ Ｏ
｛ ｔ Ｉ （ ｘ ， Ｙ ， ， ０ ） ＝ ， Ｙ ， ｚ ） ， － ｏ ￣ ＜ ｘ ， Ｙ ， ｚ ＜ ｏ ｏ （ １ ）
标系下， 分别求解波动方程 ，并将各种情形赋予相 应的物 理 意义 ，以求 对 该 问题有 一个 整体 的认 识 。
鲁Ｊ 一 Ｊ 一 Ｊ 一 （ 州） ， 叼 ， ） ｄ 叼 ＝ 鲁

数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。

2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。

（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。

1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。

②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu。

也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。

③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。

也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。

1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。

（ii）
∂ 4π a ∂t 1
M Sat
∫∫
u ( x′, y′, z ′, 0 ) u ∂ ⎡1 2⎤ dS ′ = 0 4π ( at ) ⎥ = u0 。 ⎢ at 4π a ∂t ⎣ at ⎦
R−r R+r 2 2 2 2 M ，即球面 S at 与球面 x′ + y′ + z′ = R 有交集，如下图： <t < a a
M Sat
∫∫
ψ (ζ )
⎤ dS ⎥ at ⎥ ⎦
π π 1 ⎧ ∂ ⎡ 2π ⎫ ⎤ 2π ⎨ ⎢ ∫0 dϕ ∫0 ϕ ( z + at cos θ ) at sin θ dθ ⎥ + ∫0 dϕ ∫0 ψ ( z + at cos θ ) at sin θ dθ ⎬ ⎣ ⎦ 4π a ⎩ ∂t ⎭
R 2 − ( r − at ) 球面 S 在球面 x′ + y′ + z′ = R 内的部分是高为 h = 的球冠，面积为 2r
2
M at
2
2
2
2
R 2 − ( r − at ) ， S = 2π ath = π at r
2
2 2 u0 d ⎡ R − ( r − at ) ⎤ u0 2π a ( r − at ) r − at = u0 u (M ,t) = ⎢π ⎥= 。 4π a dt ⎢ r 4 π a r r 2 ⎥ ⎣ ⎦
（1）先讨论 M ( x, y, z ) 位于球面 x′ + y′ + z′ = R 内，即 r =
2 2 2 2
x2 + y 2 + z 2 < R 。
（i） 0 ≤ t <

反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在 一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范 围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)

x 0 y
2 t u M , t u x, y , z , t , , ds 2 2 0 0 t 4 a t 2 1 , , ds 2 2 0 0 4 a t 1 ( , , ) ( , , ) ds M ds M (8) S S at 4 a t at at at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一 点 x0 , t0 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢?
为此,在 x, t 平面上,过点 x0 , t0 作两条直线
x at x0 at0 x1 (i) x at x0 at0 x2 (ii)
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)

特征方程
2u
2u
2u
u
u
A x2
2B xy
C
y 2
D
x
E
Байду номын сангаас
y
Fu
0
China University of Petroleum
11
China University of Petroleum
12
其通解为
China University of Petroleum
13
求解，得
China University of Petroleum
China University of Petroleum
2
●基本思想 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特
解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。
●关键步骤： 通过变量代换，将波动方程化为便于积分的二
阶偏微分方程。
●适用范围： 无界域内波动方程。
China University of Petroleum
China University of Petroleum
18
China University of Petroleum
19
基尔霍夫(Kirchhoff)公式
China University of Petroleum
20
China University of Petroleum
21
14
即 从而，原定解问题的解为
China University of Petroleum
15
China University of Petroleum
16
1.4 无界弦的强迫振动和齐次化原理
China University of Petroleum

《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。

波动方程波动方程是描述波动现象的数学模型。

它是最基本的物理方程之一，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、地球科学等。

波动方程描述了波动传播的机制和特性，是许多领域中研究和分析波动现象的重要工具。

波动方程的一般形式可以表示为：∇²u = (1/c²) * ∂²u/∂t²其中，u是波动的物理量，∇²代表拉普拉斯算子，c是波速，∂²u/∂t²是波动量的二阶时间导数。

波动方程的解决了初值问题：给定初始条件下，求解在给定时间和空间范围内波动的传播和变化情况。

对于简单的一维情况，波动方程可以简化为：∂²u/∂x² = (1/c²) * ∂²u/∂t²这是常用的一维波动方程，描述了波沿着x轴的传播行为。

根据边界条件和初值条件，可以求解出特定系统下的波动解。

波动方程描述了各种类型的波动现象，包括机械波、电磁波、声波等。

在物理学中，波动方程常被用于研究弹性体的传播行为，如声波在空气中的传播、地震波在地壳中的传播等。

在工程学中，波动方程可以用于分析结构中的振动问题，如桥梁、建筑物等的振动特性。

在地球科学中，波动方程被广泛应用于地震勘探和地震波传播等研究。

波动方程的研究可以帮助我们理解和预测波动现象的行为。

通过求解波动方程，我们可以得到波的传播速度、波的形状、波的幅度等信息。

这些信息对于研究和应用波动现象都非常重要。

除了一维波动方程外，波动方程还可以推广到二维和三维情况。

在二维情况下，波动方程可以表示为：∇²u = (1/c²) * ∂²u/∂t²这是二维波动方程，描述了波沿着平面的传播行为。

在三维情况下，波动方程可以表示为：∇²u = (1/c²) *∂²u/∂t²这是三维波动方程，描述了波沿着空间的传播行为。

对于二维和三维情况，波动方程的求解相对复杂，但同样具有重要的应用价值。