庖丁巧解牛知识·巧学一、月—地检验牛顿把牛顿运动定律和开普勒三定律相结合，得出了太阳与行星间的引力关系：引力的大小与太阳、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F ∝2r Mm 牛顿进一步推断，太阳与行星间的引力和地球对地面上物体的引力是同一种性质的力.为了验证这一结论，牛顿做了“月—地”检验.1.月—地检验的思路假设太阳对行星的引力、行星与卫星之间的引力、地球对月球的引力（维持月球绕地球运动的力）以及地球作用于物体上的重力（使得苹果下落的力）都是同样性质的力的话.根据上述引力公式,对“月—地系统”和地面上的物体分别可得到:月月地月月a m r Mm G =2;2地物r Mm G =m 物a 物=m 物g两式相比,得月球绕地球运动的向心加速度与地球表面物体的重力加速度应有如下关系：a 月=2)(地月地r r g 因为地球和月球之间的距离r 地月约为地球半径r 地的60倍,因此月球绕地球运动的向心加速度应该有如下值:a 月=36001)601(2=g ×9.8 m/s 2=2.7×10-3 m/s 2. 2.观测的结果的对照验证根据天文观测,月球绕地球运动的周期T=27.3 d,地球与月球间距离r 地月=3.85×108 m,因此从运动学公式可直接得到月球运动的向心加速度，应该有：a 月′=224T πr 地月=22)864003.27(4⨯π×3.85×108 m/s 2=2.7×10-3 m/s 2 假设前提下的推理结果与观测下的数据计算结果，两者是一致的，说明地球对月球的引力（维持月球绕地球运动的力）以及地球作用于物体上的重力（使得苹果下落的力）确属同样性质的力.要点剖析 这个结果是牛顿于1666年在家乡避瘟疫时完成的.当时牛顿所知的地球半径数据不精确（我们这里改用了精确的数值），而且牛顿仅得出了圆轨道的引力与半径的平方成反比的关系，对椭圆轨道的情况是否有同样的关系，以及能否把地球质量集中于球心，也尚未严格证明，因此牛顿并未将他的结果发表.二、万有引力定律1.万有引力在宇宙万物中，任何两个物体之间都存在着吸引作用，这种引力称为万有引力.2.万有引力定律（1）内容：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.（2）表达式：设m 1、m 2表示两物体的质量，r 表示它们的距离，则有：F=221r m m G . G 是引力常量，其值为6.67×10-11 N·m 2/kg 2，在数值上等于两个质量都是1 kg 的物体相距1 m 时的相互作用力.使用公式时，注意各量均采用国际单位.（3）万有引力定律适用于可以看作质点的物体间的相互作用.万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定.实际物体当它们之间的距离远大于它们本身的尺度时，可视为质点.对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引力，其中的距离即两球心之间的距离.但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质心间的距离代入上式计算.切不可依据F=221rm m G 得出r→0时F→∞的结论而违背公式的物理含义，因为，此时由于r→0，物体已不能再看作质点，定律已不再适用.深化升华 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，再求它们的矢量和.求相距不远而不能看作质点的两物体间的万有引力时，应将每一物体看成一个质点系.物体A 包含的所有质点与物体B 包含的所有质点之间都有引力.如图7-3-1所示，物体B 的各质点m 1′、m 2′、m 3′…m k ′对物体A 的任一质点均有引力，所以质点m 1所受引力的总和为F 1=∑'k k k r m m G211（矢量和）.图7-3-1物体B 的各质点m 1′、m 2′、m 3′…m k ′对物体A 的其他质点m 2、m 3、m 4…m i 均有引力，这些力的合力就是物体B 对物体A 的引力，可用下式表示：F=∑'k i ik k i r m m G,2（矢量和）.物体A 对物体B 的引力F′与F 大小相等、方向相反.3.理解万有引力定律具有以下特性普遍性：万有引力定律是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界物体间的基本相互作用力之一.相互性：两个物体间相互作用的万有引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律. 宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义.特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关.深化升华 万有引力定律，把地面上物体运动的规律与天体运动的规律统一了起来（地面上物体和天体的运动规律相同），揭示了自然界中的一种基本相互作用——万有引力，是17世纪自然科学最伟大的成果之一，对物理学和天文学的发展具有深远的影响.三、引力常量的测定牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出准确的引力常量，这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来，直到1789年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许（1731—1810）才巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量.通过测量得到G=6.754×10-11 N·m 2/kg 2.卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性；第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值；它标志着力学实验精密程度的提高，开创了弱力的新时代，同时表明：任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成.深化升华 引力常量的测出不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用（计算）价值.例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法测定地球的质量，设地球半径为R ，质量为M ，地球表面物体的重力加速度为g ，由牛顿第二定律和万有引力定律可得：2R Mm G =mg ，所以M=GgR 2因为引力常量G 、地球半径R 和地表物体的重力加速度均已知，因此可以计算出地球的质量.也正是由于这一应用，使卡文迪许被人们称为第一个能“称出地球质量的人”. 问题·探究问题1 为什么在日常生活中感觉不到万有引力的存在？探究：引力存在于任何物体之间，只是对于一般质量的物体（例如人与人之间）来说，这个力显得太小，我们无法感觉到罢了.并非人彼此间不存在吸引的力.万有引力是发生在两个有质量的物体之间的力.日常生活中感觉不到万有引力是因为两个物体质量较小，万有引力也较小的缘故.问题2 探究：万有引力常量的测量.探究：卡文迪许实验的巧妙之处是采用“放大法”进行了微小量（万有引力）的间接测量.（1）实验过程中，采用“放大法”把微小的万有引力转变成力矩来反映，并尽可能增大T 形架连接两球的长度L ，使m 、m′之间的万有引力能产生较大力矩，使得金属丝有较大偏转角度，把微小的万有引力的作用效果放大（一次放大）（2）利用光学中“平面镜偏转θ角时，反射光线偏转2θ角”的结论，将金属丝微小形变引起扭转角度θ的效果加以放大，扭转角度通过光标的移动来反映，并尽可能地增大弧形尺与小平面镜间距离,使光标在弧形尺上移动的距离较大（二次放大）（3）让两个球m′同时吸引m （三次放大）.卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T 形架，倒挂在一根金属丝的下端.T 形架水平部分的两端各装一个质量是m 的小球，T 形架的竖直部分装一面小平面镜M ，它能把射来的光线反射到刻度尺上（图7-3-2），这样就能比较精确地测量金属丝的扭转.图7-3-2实验时，把两个质量都是m′的大球放在图7-3-2所示的位置，它们跟小球的距离相等.由于m 受到m′的吸引，T 形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍T 形架转动.当这两个力矩平衡时，T 形架停下来不动，这时金属丝扭转的角度可以从小镜M 反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得m 与m′的引力F.卡文迪许经过多次实验，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量.正是由于卡文迪许测出引力常量G ，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用.典题·热题例 1 你受太阳的引力是多大?和你受地球的引力比较一下，可得出什么样的结论?太阳的质量是1.99×1030 kg ，地球到太阳的距离为1.5×1011 m ，设你的质量是60 kg.解析：直接应用万有引力公式进行计算加以比较即可得出结论.地球半径为6.4×106 m ，与地球到太阳的距离1.5×1011 m 相比相差近10万倍，因此人距太阳的距离可以认为也是1.5×1011 m.故人受太阳的引力 F=2r m m G '=6.67×10-11×21130)105.1(1099.160⨯⨯⨯ N=0.35 N 人受地球的引力F′=mg=60×9.8 N=588 N168035.0588=='F F 即地球对人的引力要比太阳对人的引力大一千六百多倍.平时计算时可以不考虑人受太阳的万有引力.方法归纳 掌握万有引力定律的意义，体会引力与距离的关系，并能运用万有引力定律计算物体间万有引力的大小.例2 应用万有引力公式证明和计算：(1)在星体上物体做自由落体运动的加速度g 跟运动物体的质量无关，g 的值由星体质量和运动物体所处的位置所决定.(2)如果在离地面高度等于地球半径的高度释放一个物体，让它做自由落体运动，它开始运动的加速度是多大？解析：不考虑物体随星体自转的影响，物体做自由落体运动的加速度是由星体对运动物体的引力产生的.由此求得重力加速度的表达式，代入已知条件进行计算.(1)设物体和星体的质量分别为m 和M ，两者相距r ，则物体所受星体的引力为2R Mm G F = 所以，自由落体加速度为2r M G m F g ==. 可见，g 跟运动物体的质量m 无关，g 的值由星体质量M 和运动物体所处的位置（离星体球心的距离r ）所决定.(2)从离地面为R 处做自由落体运动的物体，开始时的加速度 g′=441)2(022g RM G R M G =∙=地地.(g 0为地球表面的重力加速度) 方法归纳 要区分不同星球的重力加速度与同一星球随高度升高而重力加速度减小的问题.例如，要区分在月球轨道上的星球受到地球引力的加速度与月球表面物体的重力加速度.例3 用M 表示地球的质量，R 表示地球的半径，r 月地表示月球到地球的距离.在地球引力作用下：（1）地面上物体的重力加速度g=_____________.（2）月球的加速度a 月=_____________.（3）已知r 月地=60R ，利用（1）（2）求g a 月=___________.（4）已知r 月地=3.8×108 m ，月球绕地球运行的周期T=27.3天，计算月球绕地球运行的向心加速度a 月.（5）已知重力加速度g=9.8 m/s 2，利用（4）中算出的a 月求g a 月的值. （6）比较（3）（5），你能得出什么结论？解析：（1）设物体质量为m ，在地面上时：2R GMm =mg 得g=2R GM （2）月球受地球的万有引力F=2月地月r GMm =m 月a 月得a 月=月地r GM （3）ga 月=222)(月地月地r R R GM r GM==1∶3 600 （4）由a=2)2(Tπ·r 得a 月=2)3600243.272(⨯⨯π×3.8×108 m/s 2=2.69×10-3 m/s 2 （5）364318.91069.23=⨯=-g a 月 （6）比较（3）（5）可知，月球所受引力与地面上物体所受引力遵循相同的规律，因而是同一性质的力.答案：（1）2R GM （2）2月地r GM （3）1∶3 600 （4）2.69×10-3 m/s 2 （5）36431 （6）略方法归纳 ①范例介绍了牛顿著名的“月—地检验”的思路，实际上从“苹果落地”的故事起到牛顿发表万有引力定律，前后经历了20年，大胆的猜测、严谨的求证、不懈的努力使他获得了一个又一个伟大的发现.②距离地面h 高处的重力加速度g′=g h R R h R GM 22)()(+=+，重力加速度随着高度的增加而减小.例4 在一次测量引力常量的实验中，已知一个质量为0.8 kg 的球，以1.3×10-10 N 的力吸引另一个质量为4.0×10-3 kg 的球，这两个球相距4.0×10-2 m ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，地球半径为6 400 km.试根据这些数据计算地球的质量.解析：本题考查了引力常量的测定以及地球质量的计算两个知识点，在地面附近的物体，它所受到的重力近似等于物体所受到的万有引力，可用万有引力定律计算地球的质量. 由于地球对物体的引力等于物体所受到的重力，则有：2R Mm G =mg ，所以M 地=GgR 2地 ① 又因为两球之间的万有引力为F=221r m m G 所以有：G=212m m Fr ② ②式代入①式得：M 地=2212Fr m m gR 地代入数据可得地球的质量：M=2210326)100.4(103.1100.48.0)104.6(8.9---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ kg=6.2×1024 kg. 方法归纳 本题考查对引力常量G 的理解及应用万有引力定律进行有关计算.万有引力定律中的引力常量G ，无论是在计算天体间的引力还是计算很小微粒间的万有引力时均是相同的.在解答问题的过程中，要视具体情况选择合适的公式使用.例5 有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一半径为2R 的球体，如图7-3-3所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？图7-3-3解析：一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式221r m m G F =直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用了.此时我们可以用“割补法”进行求解.设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m 的引力为F 1，可以看作是剩余部分对质点的引力F 与被挖小球对质点的引力F 2的合力，即F 1=F+F 2.设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.由题意，知M′=8M ，r′=23R ；由万有引力定律，得 F 1=224)2(R GMm R Mm G =F 2=22218)23(8R GMm R m M G r m M G =='' 所以剩下部分对m 的万有引力为F=F 1-F 2=2367R GMm . 方法归纳 仔细观察球体挖去部分及完整球体的形状特点，可知，完整部分与质点m 以及挖去部分与质点m 间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用等效割补的方式先将剩余部分还原为完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点m 间的万有引力，两者之差即为所求.通过“割补法”的运用，我们可以感受利用直觉思维寻求解题思路的简捷性.。
万有引力与航天知识点总结一、人类认识天体运动的历史1、 “地心说 ”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德）2、 “日心说 ”的内容及代表人物： 哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略）二、开普勒行星运动定律的内容开普勒第二定律：v 近 v 远开普勒第三定律： K — 与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体a 地 3 = a 火 3 a 水 3 =......才可以列比例，太阳系：T 地 2 T 火 2=T 水 2三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。
3F m42mmR K①r②F = 4π2K FFF ③r 2T 2T 2r 2FM FMm FG Mmr 2r 2r 22、表达式： F Gm 1m 2r 23、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
4.引力常量： G=6.67 ×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里， 卡文迪许 在实验室里用扭秤实验测出。
5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。
②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离 。
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时， 公式也近似的适用， 其中 r 为两物体质心间的距离。
6、推导： GmM4 2R 3GMR 2m2 RT 242T1四、万有引力定律的两个重要推1、在匀球的空腔内任意位置，点受到地壳万有引力的合力零。
2、在匀球体内部距离球心r ，点受到的万有引力就等于半径r 的球体的引力。
五、黄金代若已知星球表面的重力加速度g 和星球半径 R，忽略自的影响，星球物体的万有引力等于物体的重力，有 G Mmmg 所以 MgR2 R2G其中 GM gR2是在有关算中常用到的一个替关系，被称黄金替。
