四点共圆的证明的所有方法
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证明四点共圆的方法
思路一:先从四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上。 思路二:四点到某定点(中垂线交点)的距离都相等,从而确定其共圆. 思路三:运用有关定理或结论
(1)共底边的两个直角三角形,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边
为圆的直径.
(2)共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆.
(3)对于凸四边形ABCD ,对角互补⇔四点共圆。
(4)相交弦定理的逆定理:对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ,
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
(5)割线定理:对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ,
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
(6)托勒密定理的逆定理:对于凸四边形ABCD ,
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆。
图(3) 图(4) 图(5)
(3)对于凸四边形ABCD ,对角互补⇒四点共圆。
A B C D A
B C D P A
B C D P
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,
则C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC 交圆O于C',连结D C',根据圆内接四
边形的性质得∠A+∠D C'B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .
故假设错误,原命题成立。
代数方法
解析几何(点代入法,利用线段乘积向量)
复数证明(辐角相等)