高数答案(下)习题册答案 第六版 (下册) 同济大学数学系 编

习题12-91.求下列各微分方程的通解:(1)2y''+y'-y=2e x;解微分方程的特征方程为2r2+r-1=0,其根为,r2=-1,故对应的齐次方程的通解为.因为f(x)=2e x,λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Ae x,代入原方程得2Ae x+Ae x-Ae x=2e x,解得A=1,从而y*=e x.因此,原方程的通解为.(2)y''+a2y=e x;解微分方程的特征方程为r2+a2=0,其根为r=±ai,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cos ax+C2sin ax.因为f(x)=e x,λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Ae x,代入原方程得Ae x+a2Ae x=e x,解得,从而.因此,原方程的通解为.(3)2y''+5y'=5x2-2x-1;解微分方程的特征方程为2r2+5r=0,其根为r1=0,,故对应的齐次方程的通解为.因为f(x)=5x2-2x-1,λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=x(Ax2+Bx+C),代入原方程并整理得15Ax2+(12A+10B)x+(4B+5C)=5x2-2x-1,比较系数得,,,从而.因此,原方程的通解为.(4)y''+3y'+2y=3xe-x;解微分方程的特征方程为r2+3r+2=0,其根为r1=-1,r2=-2,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-2x.因为f(x)=3xe-x,λ=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=x(Ax+B)e-x,代入原方程并整理得2Ax+(2A+B)=3x,比较系数得,B=-3,从而.因此,原方程的通解为.(5)y''-2y'+5y=e x sin2x;解微分方程的特征方程为r2-2r+5=0,其根为r1, 2=1±2i,故对应的齐次方程的通解为Y=e x(C1cos2x+C2sin2x).因为f(x)=e x sin2x,λ+iω=1+2i是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=xe x(A cos2x+B sin2x),代入原方程得e x[4B cos2x-4A sin2x]=e x sin2x,比较系数得,B=0,从而.因此,原方程的通解为.(6)y''-6y'+9y=(x+1)e3x;解微分方程的特征方程为r2-6r+9=0,其根为r1=r2=3,故对应的齐次方程的通解为Y=e3x(C1+C2x).因为f(x)=(x+1)e3x,λ=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y*=x2e3x(Ax+B),代入原方程得e3x(6Ax+2B)=e3x(x+1),比较系数得,,从而.因此,原方程的通解为.(7)y''+5y'+4y=3-2x;解微分方程的特征方程为r2+5r+4=0,其根为r1=-1,r2=-4,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x.因为f(x)=3-2x=(3-2x)e0x,λ=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Ax+B,代入原方程得4Ax+(5A+4B)=-2x+3,比较系数得,,从而.因此,原方程的通解为.(8)y''+4y=x cos x;解微分方程的特征方程为r2+4=0,其根为r=±2i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cos2x+C2sin2x.因为f(x)= x cos x=e0x(x⋅cos x+0⋅sin x),λ+iω=i不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin x,代入原方程得(3Ax+3B+2C)cos x+(3Cx-2A+3D)sin x=x cos x,比较系数得,B=0,C=0,,从而.因此,原方程的通解为.(9)y''+y=e x+cos x;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cos x+C2sin x.因为f(x)=f1(x)+f2(x),其中f1(x)=e x,f2(x)=cos x,而方程y''+y=e x具有Ae x形式的特解;方程y''+y=cos x具有x(B cos x+C sin x)形式的特解,故原方程的特解设为y*=Ae x+x(B cos x+C sin x),代入原方程得2Ae x+2C cos x-2B sin x=e x+cos x,比较系数得,B=0,,从而.因此,原方程的通解为.(10)y''-y=sin2x.解微分方程的特征方程为r2-1=0,其根为r1=-1,r2=1,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x.因为,而方程的特解为常数A;方程具有B cos2x+C sin2x形式的特解,故原方程的特解设为y*=A+B cos2x+C sin2x,代入原方程得,比较系数得,,C=0,从而.因此,原方程的通解为.2.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y''+y+sin x=0,y|x=π=1,y'|x=π=1;解微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为Y=C1cos x+C2sin x.因为f(x)=-sin2x=e0x(0⋅cos2x-sin2x),λ+iω=i是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=A cos2x+B sin2x,代入原方程得-3A cos 2x-3B sin2x=-sin2x,解得A=0,,从而.因此,原方程的通解为.由y|x=π=1,y'|x=π=1得C1=-1,,故满足初始条件的特解为.(2)y''-3y'+2y=5,y|x=0=1,y'|x=0=2;解微分方程的特征方程为r2-3r+2=0,其根为r1=1,r2=2,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e x+C2e2x.容易看出为非齐次方程的一个特解,故原方程的通解为.由y|x=0=1,y'|x=0=2得,解之得C1=-5,.因此满足初始条件的特解为.(3)y''-10y'+9y=e2x,,;解微分方程的特征方程为r2-10r+9=0,其根为r1=1,r2=9,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e x+C2e9x.因为f(x)=e2x,λ=2不是特征方程的根,故原方程的特解设为y*=Ae2x,代入原方程得(4A-20A+9A)e2x=e2x,解得,从而.因此,原方程的通解为.由,得.因此满足初始条件的特解为.(4)y''-y=4xe x,y|x=0=0,y'|x=0=1;解微分方程的特征方程为r2-1=0,其根为r1=-1,r2=1,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e x.因为f(x)=4xe x,λ=1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=xe x(Ax+B),代入原方程得(4Ax+2A+2B)e x=4xe x,比较系数得A=1,B=-1,从而y*=xe x(x-1).因此,原方程的通解为y*=C1e-x+C2e x+xe x(x-1).由y|x=0=0,y'|x=0=1得,解之得C1=1,C2=-1.因此满足初始条件的特解为y=e-x-e x+xe x(x-1).(5)y''-4y'=5,y|x=0=1,y'|x=0=0.解微分方程的特征方程为r2-4r=0,其根为r1=0,r2=4,故对应的齐次方程的通解为Y=C1+C2e4x.因为f(x)=5=5e0⋅x,λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y*=Ax,代入原方程得-4A=5,,从而.因此,原方程的通解为.由y|x=0=1,y'|x=0=0得,.因此满足初始条件的特解为.3.大炮以仰角α、初速度v0发射炮弹,若不计空气阻力,求弹道曲线.解取炮口为原点,炮弹前进的水平方向为x轴,铅直向上为y轴,弹道运动的微分方程为且满足初始条件.易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ).解 (1)列方程. 由回路定律可知,即 ,且当t =0时, u c =0, u c '=0.已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故,,.因此微分方程为.(2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5⋅107=0,其根为r 1, 2=-5⨯103±5⨯103i . 因此对应的齐次方程的通解为.由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.因此非齐次方程的通解为.由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此(V),(A).5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;解 设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρg (x -10), 即.微分方程的特征方程为,其根为,, 故对应的齐次方程的通解为.由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为.由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为当x=20,即链条完全滑下来时有,解之得所需时间s.(2)若摩擦力为1m长的链条的重量.解此时向下拉链条的作用力变为F=xρg-(20-x)ρg-1ρg=2ρgx-21ρg由牛顿第二定律,有20ρx''=2ρgx-21ρg,即.微分方程的通解为.由x(0)=12及x'(0)=0得.因此特解为.当x=20,即链条完全滑下来时有,解之得所需时间s.6.设函数ϕ(x)连续,且满足,求ϕ(x).解等式两边对x求导得,再求导得微分方程ϕ''(x)=e x-ϕ(x),即ϕ''(x)+ϕ(x)=e x.微分方程的特征方程为r2+1=0,其根为r1, 2=±i,故对应的齐次方程的通解为ϕ=C1cos x+C2sin x.易知是非齐次方程的一个特解,故非齐次方程的通解为.由所给等式知ϕ(0)=1,ϕ'(0)=1,由此得.因此.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-6仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12(-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为 000000cz z z by y y ax x x -=-=-.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢68. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程. 解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6).仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为 a z y x a az ay ax =++=++)(000000.。

习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解(),f x y =，积分区域的面积等于2，在D 上(),fx y的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。

同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。