四川省德阳市中江县龙台中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

四川省中江县龙台中学2017届高三数学上学期期中试题 理（考试时间：120分钟，总分150）一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}2、设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．23、若tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( )A ．－13B ．－53C ．13D ．534、要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6、若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D ．5π67、已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15 B.30 C.31 D ．648、各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n n ＋52B.n 5n ＋12C.3n n ＋12D ．n ＋3n ＋529、函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如 图所示，则()f x =（ ） A ．2sin(2)6x π-B ．2sin(2)3x π- C ． 2sin(4)3x π+ D ．2sin(4)6x π+10、 函数22)(23-++=cx bx x x f 的图象在与x 轴交点处的切线方程是105-=x y ，则b 、c 的值分别是( )A 、 1,1==c bB 、 1,1=-=c bC 、0,1=-=c bD 、0,1==c b11、已知命题,01,:200≤+∈∃mx R x p 命题01,:2>++∈∀mx x R x q ，若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）22.≤≤-m A 22.≥-≤m m B 或 2.-≤m C 2.≥m D12、已知函数()f x 的导函数为/()f x ，且满足/()2()f x f x <，则（ ） A 2(2)(1)f e f > B ． 2(0)(1)e f f > C ．9(ln 2)4(ln3)f f < D ． 2(ln 2)4(1)e f f < 二、填空题（每小题4分，共16分）13、)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝----------14、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________.15、已知错误!未找到引用源。

2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=02．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．849．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=．14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点．（I）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．20．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．（I）求证：AC⊥平面PDB；（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；（III）求该组合体的表面积．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求得圆心坐标为（﹣1，0），根据直线x+y=0的斜率为1，可得所求直线的斜率为﹣1，用点斜式求得所求的直线的方程．【解答】解：由于（x+1）2+y2=1的圆心坐标为（﹣1，0），直线x+y=0的斜率为1，故所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线的方程为y﹣0=﹣1（x+1），即x+y+1=0，故选B．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】P到平面ABCD的距离为，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：∵BP=BD1，∴P到平面ABCD的距离d=DD1=，===．∴V P﹣ABC故选：C．4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【考点】圆的切线方程．【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．5．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B9．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意画出图形，得到异面直线AC和BD所成的角（或补角），由余弦定理求解得答案．【解答】解：如图，取AD中点G，连接MG，NG，∵AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，∴NG=5，MG=3，又MN=7，cos∠MGN=，∴cos∠MGN=120°，则异面直线AC和BD所成的角等于60°．故选：B．10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：A11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆的两交点关于y轴对称，得到两交点的横坐标互为相反数，即横坐标相加为0，利用韦达定理表示出两根之和，令其等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：（k2+1）x2+2kx=0，设方程的两根分别为x1，x2，由题意得：x1+x2=﹣=0，解得：k=0．故选A．12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2【考点】两点间的距离公式．【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，即可求出对应的最大值．【解答】解：如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=3．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆的圆心代入对称轴方程即可求出a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，可得：﹣a+2+1=0，解得a=3．故答案为：3．14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是（0，2）或．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先把圆的方程整理才标准方程，进而可知两圆的圆心坐标和半径，进而根据两圆心的距离小于半径之和，大于圆心距离之差，最后取交集答案可得．【解答】解：整理圆C1得（x﹣m）2+y2=4，整理圆C2得（x+1）2+（y﹣2m）2=9∴C1的圆心为（m，0），半径为2，圆C2：圆心为（﹣1，2m），半径为3，∵两圆相交∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之故答案为：（0，2）或15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为15．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值．【解答】解：∵圆O：x2+y2=9，∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，∵M（1，），则d12+d22=OM2=12+（）2=3，又|AC|=2，|BD|=2∴四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=2•≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15，当且仅当d 12 =d 22时取等号，则四边形ABCD 面积的最大值为15．故答案为：15．三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图在三棱锥S ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=，M 为AB 的中点．（I ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求点B 到平面SCM 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）欲证AC ⊥SB ，取AC 中点D ，连接DS 、DB ，根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC ⊥SD 且AC ⊥DB ，即得；（Ⅱ）设点B 到平面SCM 的距离为h ，利用等体积法：V B ﹣SCM =V S ﹣CMB ，即可求得点B 到平面SCM 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ．∵SA=SC ，BA=BC ，∴AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB=D ，∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ，∴AC ⊥SB ．（Ⅱ）解：∵SD ⊥AC ，平面SAS ⊥平面ABC ，∴SD ⊥平面ABC ．如图，过D 作DE ⊥CM 于E ，连接SE ，则SE ⊥CM ，∴在Rt △SDE 中，SD=1，DE=，∴SE=．CM 是边长为2的正△ABC 的中线，∴CM=．∴=．=． 设点B 到平面SCM 的距离为h ，则由V B ﹣SCM =V S ﹣BCM 得，∴．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行证明．（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，连EO，因为E是DD1的中点，所以EO∥BD1，又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，所以BD1∥平面AEC．（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得圆C的圆心是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，先求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线l联立可得圆心C的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案；（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r，可以设p的坐标为（m，﹣1﹣m），结合直线与圆的位置关系可得（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m的值，即可得p的坐标，分析可得直线MN的斜率为1，由直线的点斜式方程可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率…∴直线AB的垂直平分线的斜率为1 …又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0…∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）…∴圆C的半径长…∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9…（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称∴点P在直线l：x+y+1=0上∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）…∵以MN为直径的圆经过原点O∴以MN为直径的圆的半径长…∵MN是圆C的弦，∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或∴点P 坐标为（﹣1，0）或…∵直线MN 垂直直线l ：x +y +1=0，∴直线MN 的斜率为1…∴直线MN 的方程为：x ﹣y +1=0或x ﹣y ﹣4=0…20．如图为一组合几何体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD 且PD=AD=2EC=2．（I ）求证：AC ⊥平面PDB ；（II ）求四棱锥B ﹣CEPD 的体积；（III ）求该组合体的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得PD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，得AC ⊥BD ，再由线面垂直的判定得AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，可得面PDCE ⊥面ABCD ，进一步得到BC ⊥平面PDCE ．求出S 梯形PDCE ，代入棱锥体积公式求得四棱锥B ﹣CEPD 的体积；（Ⅲ）求解直角三角形得△PBE 的三边长，再由三角形面积公式可得组合体的表面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵BD ∩PD=D ，∴AC ⊥平面PDB ；（Ⅱ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，且PD ⊂面PDCE ，∴面PDCE ⊥面ABCD ，又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDCE ．∵S 梯形PDCE =（PD +EC ）•DC=×3×2=3，∴四棱锥B ﹣CEPD 的体积V B ﹣CEPD =S 梯形PDCE •BC=×3×2=2；（Ⅲ）解：∵BE=PE=，PB=2，∴S PBE =×2×=．又∵S ABCD =2×2=4，S PDCE =3，S PDA ==2，S BCE ==1，S PAB ==2，∴组合体的表面积为10+2+．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PM⊥AB，MN⊥AB，从而∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣C的大小．（Ⅱ）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MF⊥PN，CD⊥MF，从而MF⊥平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG⊥平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．【解答】解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN…∵PA=PB，M是AB的中点∴PM⊥AB又在正方形ABCD中有MN⊥AB∴∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角…∵，AB=2，M是AB的中点∴PM=2同理可得PN=2，又MN=2∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°∴二面角P﹣AB﹣C为60°，…（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下…如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC…由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF又CD∩PN=N∴MF⊥平面PCD…∵F，G分别为PN和PC的中点∴FG=∥又E为线段MB的中点∴FG=∥ME，故四边形EMFG为平行四边形…∴EG∥MF∴EG⊥平面PCD又EG⊂平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD．…22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．2017年1月6日。

2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12题每题5分）1．（5分）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…C．﹣1，﹣，﹣，﹣，…D．1，，，…，2．（5分）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若，都是单位向量，则=B．方向相同或相反的非零向量叫做共线向量C．若，，则不一定成立D．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形4．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知．则cos（α﹣β）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，27．（5分）已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．a B．a C．a D．2a8．（5分）已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°9．（5分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．（5分）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且=2，点F是BD上靠近D的四等分点，则（）A．=﹣﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣﹣11．（5分）在锐角△ABC中，a=1，B=2A，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A 点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．二、填空题（共5题每题5分）13．（5分）（文科）已知平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，则向量，夹角的余弦值为．14．（5分）数列，，，…的一个通项a n=．15．（5分）化简的结果是．16．（5分）观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：．17．（5分）△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是．三、解答题18．（12分）设向量，满足||=||=1，|3﹣|=．（1）求|+3|的值；（2）求3﹣与+3夹角的正弦值．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．20．（12分）已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ的值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．22．（13分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2，sinA=2sinB，求a，b的值．23．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S=（a2+b2﹣c2）．（1）求角C的大小；（2）若1+=，且•=﹣8，求c的值．2016-2017学年四川省德阳市中江县龙台中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题每题5分）1．（5分）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，…B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…C．﹣1，﹣，﹣，﹣，…D．1，，，…，【解答】解：A、此数列1，，，，…是递减数列，则A不符合题意；B、此数列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是递减数列，则B不符合题意；C、此数列﹣1，﹣，﹣，﹣，…是递增数列又是无穷数列，则C符合题意；D、此数列1，，，…，，是有穷数列，则D不符合题意；故选：C．2．（5分）sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：原式=sin163°•sin223°+cos163°cos223°=cos（163°﹣223°）=cos（﹣60°）=．故选：B．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若，都是单位向量，则=B．方向相同或相反的非零向量叫做共线向量C．若，，则不一定成立D．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形【解答】解：对于A，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故错；对于B，零向量与任意向量共线，故错；对于C，若，，当=时，则，不一定相等，故正确；对于D，若，则A，B，C，D四点可能共线，故错；故选：C．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA∴结合题意a2=b2+c2+bc，得cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=故选：C．5．（5分）已知．则cos（α﹣β）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，平方可得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②．把①和②相加可得2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=，即2+2cos（α﹣β）=，解得cos（α﹣β）=，故选：A．6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．7．（5分）已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．a B．a C．a D．2a【解答】解：画出相应的图形，如图所示，∠ACB=120°，|CA|=|CB|=a，∴∠A=∠B=30°，在△ABC中，根据正弦定理=得：|AB|==a，则灯塔A与灯塔B的距离为a．故选：B．8．（5分）已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：设三角形的三边长分别为a，b及c，根据正弦定理==化简已知的等式得：a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，根据余弦定理得cosC===﹣，∵C∈（0，180°），∴C=120°．则这个三角形的最大角为120°．故选：D．9．（5分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2可得lg =lg2∴sinA=2cosBsinC即sin（B+C）=2sinCcosB展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB∴sinBcosC﹣sinCcosB=0∴sin（B﹣C）=0．∴B=C．△ABC为等腰三角形．选：A．10．（5分）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且=2，点F是BD上靠近D的四等分点，则（）A．=﹣﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣﹣【解答】解：∵=2，点F是BD上靠近D的四等分点，∴=，=，∴==+，∵，，∴=+=﹣．故选：C．11．（5分）在锐角△ABC中，a=1，B=2A，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：在锐角△ABC中，a=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得=，∴b=2cosA，∴＜b＜，故选：B．12．（5分）如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A 点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=x，则在Rt△ABC中，CB=∴BD=a+∵在Rt△ABD中，BD=∴a+=，求得x=故选：A．二、填空题（共5题每题5分）13．（5分）（文科）已知平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，则向量，夹角的余弦值为．【解答】解：∵平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，∴5===，化为=．故答案为：．14．（5分）数列，，，…的一个通项a n=．【解答】解：观察数列，，，…，可知：分子是由奇数组成的数列，分母是由偶数组成的数列．因此可得一个通项a n=．故答案为：．15．（5分）化简的结果是1．【解答】解：=====1，故答案为：1．16．（5分）观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°﹣x）+cos2（30°﹣x）=．【解答】解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．证明：sin2x+sinx（）+（）2=sin2x+﹣+﹣+==．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=．17．（5分）△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是．【解答】解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，∴如图：xsin45°＜2＜x，解得2＜x＜2，∴x的取值范围是．故答案为：．三、解答题18．（12分）设向量，满足||=||=1，|3﹣|=．（1）求|+3|的值；（2）求3﹣与+3夹角的正弦值．【解答】解：（1）∵向量，满足||=||=1，|3﹣|=．∴=9+1﹣，∴．因此==15，∴=．（2）设3﹣与+3夹角为θ，∵===．∴==．∵θ∈[0，π]，∴=．∴3﹣与+3夹角的正弦值为．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）∵b=2，△ABC的面积，∴=，解得a=3．20．（12分）已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求sinβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=﹣，∴3tanα=tanα﹣1，∴tanα=﹣；∴===5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanα=﹣，又α∈（0，π），∴α∈（，π）且sinα=，cosα=﹣；∵β∈（0，），∴2β+α∈（，2π），∵cos（2β+α）=，∴sin（2β+α）=﹣，∴cos2β=cos（2β+α﹣α）=cos（2β+α）c osα+sin（2β+α）sinα=×（﹣）+（﹣）×=﹣，∴cos2β=1﹣2sin2β=﹣，β∈（0，），∴sinβ=．21．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称中心（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1，化简可得：f（x）=cos2x﹣1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T=，由2x+=kπ（k∈Z）可得对称中心的横坐标为x=kπ∴对称中心（kπ，0），（k∈Z）．（2）当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]当2x+=时，函数f（x）取得最小值为．当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2×1=2．22．（13分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2，sinA=2sinB，求a，b的值．【解答】解：（1）f（x）==sin cos+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+．∴f（x）的最小正周期T=2π．令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴f（x）的单调增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．（2）∵f（C）=sin（C+）+=1，∴sin（C+）=．∵＜C+＜，∴C+=，即C=．∵sinA=2sinB，∴a=2b．∵cosC===﹣，∴b=2，∴a=4．23．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S=（a2+b2﹣c2）．（1）求角C的大小；（2）若1+=，且•=﹣8，求c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵根据余弦定理得a2+b2﹣c2=2abcosC，△ABC的面积，∴由得，化简得sinC=cosC，可得，∵0＜C＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴=，可得，即．∴由正弦定理得，解得，结合0＜A＜π，得A=．∵△ABC中，，∴B=π﹣（A+C）=，因此，=﹣||•||cosB=﹣c2∵，∴﹣c2=﹣8，解之得c=4（舍负）．。

高一数学期中考试参考答案一、选择题：1-5 CDBBC 6-10 AABBC 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）－2 ； （14）{m |m ≥98或m ＝0}； （15）11； （16）2 三、解答题：本大题共6小题，共70分.(17) （本小题满分10分）解：=⋂B A }25{-<≤-x x =⋃)()(B C A C R R }2,5{-≥-<x x x 或(18) （本小题满分12分）(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)解：∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]， 又f (x )在[12，2]上单调递增， ∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25. (19) （本小题满分12分）解析：A ＝{x |－1≤x ≤3}，(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.(20) （本小题满分12分）解：（I ）因为二次函数为2()2(0)f x ax x c a =++≠的图像与y 轴交于点(0,1)，故1c = ①又因为函数()f x 满足(2)(2)()f x f x x R -+=--∈故：222x a=-=- ② 由①②得：1,12a c == 故二次函数的解析式为：21()212f x x x =++（II ）因为函数在(1,)t -+∞上为增函数，且函数图像的对称轴为2x =-，由二次函数的图像可知：12, 1.t t -≥-≥-故(21) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()22x x f x k -=+是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈， ……2分 即22(22),x x x x k k --+=-+所以2(1)(1)20x k k +++=对一切R x ∈恒成立， 所以1k =-. ……………6分（Ⅱ）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,x f x ->即222x x x k --+>成立， 所以212x k -<对0x ≥恒成立， ……………8分 所以2min 1(2)x k -<,因为22x y =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =， 所以0k >. …………12分(22) （本小题满分12分）解：(1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)． ∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)． ∴f (－1)＝0.(2)令y ＝－1，由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)．又f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (x )，又f (x )不恒为0，∴f (x )为偶函数．(3)由f (x ＋1)－f (2－x )≤0，知f (x ＋1)≤f (2－x )．又由(2)知f (x )＝f (|x |)，∴f (|x ＋1|)≤f (|2－x |)．又∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x ＋1|≤|2－x |.故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12.。