足球队排名问题II层次分析法

欧洲五大足球俱乐部的数学建模分析论文前言：纵观当今欧洲足坛，风起云涌，豪强并起。

巴萨皇马，称雄西甲；德甲拜仁，一枝独秀；蓝黑军团国际米兰，逐鹿意甲之天下；英超一霸切尔西，竟然也能在高手如林的欧冠赛场捧杯。

欧洲的足球水平为何如此之高？五大豪强的经验又带给了我们什么样的启示呢？这便是本文要探讨的问题。

本文引用了数学建模的思想，采用了层次分析法对欧洲五大足球俱乐部的综合实力进行理性而深入的分析。

所谓数学建模，就是对现实世界中的某一特定现象，为了某一特定的目的，做的简化假设，运用数学工具，得到一个数学结构。

而层次分析法，是建模中常用的方法之一。

通过层与层之间的对比分析，得出实际问题中的某些结论。

本文所研究的问题是关于五大足球俱乐部的综合实力排名情况。

现实的足球世界中，影响一支球队的综合能力有许多。

例如进攻能力、防守能力、球员能力、教练的执教能力、裁判的执法能力等。

这些因素都是对于一支的球队综合实力有着或多或少的影响。

但他们各自的权重并不一样，所以，如何筛选这些因素是本文分析的关键所在。

众所周知，当数学模型建立之后，还不能马上用于实际分析，必须对模型做进一步的检验。

由于本文数据分析过程较为繁琐，所以检验部分并非人工完成，而是运用电脑软件R来完成的。

采用了Satty的检验方法对模型进行分析，使模型分析的可信度大大提高。

关键词：数学模型、层次分析法、欧洲足球一、数学建模的基本过程：如下图所示图1：数学建模基本流程图层次分析法把人的思维层次化、数量化, 并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。

这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、影响因素以及内在关系等进行深入分析之后, 构建一个层次结构模型, 然后利用较少的定量信息, 把决策的思维过程数学化, 从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法 , 尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。

二、问题重述本文将对欧洲五大足球俱乐部（巴塞罗那、皇家马德里、国际米兰、切尔西、拜仁慕尼黑）的综合实力进行分析。

B题足球队排名次01组B 题 足球队排名次摘 要本文对十二支球队的排名进行了讨论与分析，并推广到任意N 个队的排名。

鉴于该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法对此作出决策。

首先将该问题的层次结构模型分为三层，即目标层、准则层、球队层，然后构造判断矩阵及一致性检验，使用MATLAB 软件，求解各矩阵的权向量：(0697.00615.00285.01275.00832.01199.0)T 0572.00339.00827.00868.00805.01670.0 再通过总体一致性检验，得总体一致性很好，由此提供较有说服力的结果。

显然，排出了十二支球队的名次：411125*********T T T T T T T T T T T T 。

关键词：层次分析法(AHP) 归一化 一致性检验 权向量 最大特征值一、问题重述在1988~1989年足球甲级联赛中12支球队进行循环赛，记录了队与队之间比赛的场次及比分，如表一所示要求：(1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。

(2) 把算法推广到任意N个队的情况。

(3) 讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。

1212(2) 符号X表示球队未曾比赛。

(3) 数字表示两队比赛结果。

如：T3与T8比两场，比分为0:1和3:1。

二、符号说明O目标层；C准则层；P球队层；CI一致性指标；RI随机一致性指标；CR一致性比率；A判断矩阵；i判断矩阵的最大特征值；maxW最大特征值对应的特征向量；in判断矩阵的阶数；三、模型假设1、各个球队水平发挥正常；2、裁判吹罚公平；3、外界环境和场地对两队球员的发挥都不造成影响；4、每支球队所参加的比赛场数的多少对平均积分影响不大；四、模型的建立与求解在足球循环比赛中，排名规则为：1、积分高者排名靠前；2、总净胜球高者排名靠前；3、总进球数高者排名靠前。

多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。

模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。

对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。

用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。

由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。

然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。

用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。

题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。

但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。

一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。

（2）符号X 表示两队未曾比赛。

（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。

2) 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过 程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。
步2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层利润 利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的 各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心 目中，它们各占有一定的比例。
竞赛图法
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图
应用: 循环比赛的名次 • n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果
1 2
6
3
方法1：寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径。 312456 146325 …… 无法排名
5 4
方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5 队各胜2场， 6队胜1场。 2, 3队， 4, 5队无法排名 3→2，4 →5 排名 132456 合理吗
s
(7)
s ( 6 ) = ( 9 ,8,5,8 ) T
(8 )
s = As
(k )
( k −1)
(k )
=Ae
k
= (13 ,13 ,8,9 ) , s
T
= ( 21,17 ,9,13 )
T
k → ∞, s
→?
""
双向连通竞赛图的名次排序
s = As
(k )
( k −1)
=Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵 • 素阵A的最大特征根为正单 根λ，对应正特征向量s，且
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时， 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须 让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工 积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类 的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感 到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因 素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的 影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出 与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能 提出一组隐含矛盾的数据。