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乘 法 公 式

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乘 法 公 式 任红艳 【教学目标】 知识目标：1、观察总结平方差公式的特点和结果。并能判断多项式相乘是否能运用平方差公式计算。 2、掌握平方差公式，并能从广泛意义上理解公式中字母的含义。 3、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。 4、会用平方差公式进行简便计算。 过程与方法：通过运用多项式乘以多项式法则，观察、猜想、验证、平方差公式应用的条件和结论，并初步学会运用平方差公式。 情感态度与价值观：通过“合作学习”，使学生体验数学有关结论的形成过程，养成良好的数学学习思考的习惯。 【教学重点、难点】 重点：掌握平方差公式 难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力，是本节的教学难点。 【教学准备】电脑、投影 【教学过程】 一、 设情景，引出课题： 昨天我们学习了多项式相乘的法则。（学生回忆）。今天老师在一本参考书上看到这样一些多项式相乘和相乘的结果，请同学们观察他们的特点，并猜想下面的多项式相乘的结果。 （1）（x+2）（x-2）=x２－４ （２）（3-a）（3+a）=9-a２ （3）（5m+2n）（5m-2n）=25m２- 4n２ 小组合作： 1、 这些多项式相乘有特点吗？有什么特殊？ 2、 他们的结果有什么特点？和等式左边的多项式有什么联系？ 3、 运用你观察的结论，猜想下列多项式相乘的结果。并用所学的知识进行验证。 （a）（a+2）（a-2）= （b）（3-x）（3+x）= （c）（2m+n）（2m-n）= （d）（a+b）（a-b）= 二、交流对话，探索新知： 1、 请学习小组的代表根据所观察的结论进行总结： （1） 等式的左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。 （2） 等式的右边是这两个数（字母）的平方差。 2、以（a+b）（a-b）为例，师生共同猜想结论，并共同验证： （a+b）（a-b）= a２ - ab +ab-b２ =a２-b２ 教师揭示，这就是代数中重要的乘法公式之一：平方差公式。并结合投影片讲清公式与特征的对应关系及用语言叙述此公式。 平方差公式

做一做： 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？

图甲 图乙

（a + b） × （a - b） = a２- b２ 两数和 两数差 两数平方差

两数和与这两数差的积等于这两数的平方差

baa-ba+bbaa-b

a+b想一想：要把图乙的面积算出来，我们可以用小学的什么知识完成。（用割补法） 对照公式说出下列各题中的数（字母）与公式中的字母的对应关系并计算，教师以适当点评。 计算： (a+b)（a-b） a b a２-b２ 最后结果 （y+3）（y-3） y２- 3２ y２- 9２ （a+3b）（a-3b） 3b

（1–5b）（1+5b） 1 （-x+2）（-x-2） 例1、用平方差公式计算： （1）（3x+5y）（3x-5y） （2） 例2、（1）103×97 （2）59.5×60.2 分析：把相乘的两个数写成两数和与两数差的形式，这样就可以使用平方差公式。 三、课堂练习：p127 1、2、3、4、 p127 5、6、7（注意引导学生观察相乘两个式子的特点，能否使用今天所学的平方差公式，平方差公式公式中的a、b表示的是什么数字（字母） 四、 归纳小结，反思提高： 1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。 （让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流） 2、平方差公式及语言叙述 3、公式中的字母一定是数字吗？ 4、公式中的字母a和字母b如何区分？特点是什么？是否是前面的一定是a ，后面的一定是b？ 五、布置作业：作业本 1. 必做题：教材习题1.9 2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？

教学反思： 本节课从复习旧知识入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法，让学生学会一些探究的基本方法与思路，并体会到数学教材的在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式，让学生自己当老师，一方面让其他学生容易接受，另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣，让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣. 教 学 设 计 平方差公式 郭家沟中学 任红艳 课时安排说明: 《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算. 一、 学生起点分析 学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法. 学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力. 二、 教学任务分析 学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.本节课的教学目标是： 1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力. 2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 三、 教学过程设计 基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：复习旧知、引入新课；探究规律、发现结论；典例分析、巩固提高；观察思考、拓展延伸；当堂达标、自我检测；课堂小结、布置作业. 第一环节 复习旧知、引入新课 活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba 2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明 活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备. 实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用. 第二环节 探究规律、发现结论 活动内容： 1.提出问题 计算下列各题 （1） （x+2）（x－2）； （2）（1+3a）（1－3a） （3） （x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）（2y－z） 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？ 活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述. 实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律. 活动内容： 2.验证猜想 类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想. 活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律. 实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察——猜想——验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式： 1、 （－x+y）（－x－y） 2、 （ab+c）（ab－c） 3、 )221(yx)221(yx 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式： (a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差. 第三环节 典例分析、巩固提高 活动内容：

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乘法公式(学生)

乘法公式(学生)

学科教师辅导讲义【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312； （2）()()a b b a 3232++- ； （3）()()2323-+-m m .【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ）A. ()2222a b a ab b +=++；B. ()2222a b a ab b -=-+；C. ()()22a b a b a b -+=-；D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.2．下列计算中可以用平方差公式的是（ ）A.()()22--+a a ；B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121； C.()()y x y x -+-； D.()()22y x y x +-.3.如图，在边长为a 的正方形内减去边长为b 的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用,a b 表示梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

4.如图，边长为,a b 的两个正方形的中心重合，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用,a b 表示出梯形的上底，下底，高和面积，并由此理解()()22a b a b a b -=-+的几何意义。

题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+- ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+3121312122x x .【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+ （1）（2xy+1）（1-2xy ）； （2）（3x-4a ）（4a+3x ）.4、计算：200620052006200565654343212122222222+-+++-++-++- 。

最小二乘公式

最小二乘公式

【小二乘法公式最小二乘法公式E （X—X 平）（Y_Y 平）=E （XY—X 平Y—XY 平+X 平Y 平）= EXY—X 平£ Y--Y 平£ X+nX 平Y 平=E XY—nX平Y平一nX平Y平+nX平Y平= EXY—nX 平Y 平£（X —X 平）=E （X'2—2XX 平+X 平，2）= EX"2—2nX 平T+nX 平P= EX"2—nX 平J最小二乘公式（针对y=ax^-b形式）：a= （N 工xy- £ x £ y） / （N £ x • 2- （£ x） • 2）b=y （平均）-ax （平均）最小二乘法在我们研究两个变逼（x. y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（xl・ yl、x2. y2・・・xm • ym）；将这些数据描绦在x -y直角坐标系中（如图1）,若发现这些点在一条克线附近，可以今这条直线方程如（式l-l）oY 计=aO + al X （式1-1）其中：aO. al是任意实数为建立这直线方程就要确定aO和al,应用小二乘法原理》,将实测值Yi与利用（式1-1）计算值（Y计二aO+alX）的离差（Yi-Y计）的平方和（£（Yi - Y计）2）最小为"优化判据"。

令：<1> = E （Yi - Y 计）2 （式1-2）把（式1-1）代入（式1-2）中得：<1）= L （Yi - aO - al Xi）2 （式1-3）当E（Yi-Y计）平方最小时.可用函数4>对aO、al求偏导数，令这两个偏导数等于零。

（式1-4）（式1-5）亦即：m aO + （EXi ） al = EYi （式1-6）（EXi ） aO + （£Xi2 ） al = £（Xi. Yi）（式1-7）得到的两个关于aO、al为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出^aO = （EYi） / m - al（£Xi） / m （式1-8）al = [EXi Yi - （EXi EYi）/ m] / [EXi2 - （EXi）2 / m）]（式1-9）这时把aO、al代入（式1-1）中.比时的（式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型•在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点（xl. yl> x2. y2...xm.ym）.为了判断关联戎的好坏•可借助相关系数,统计世,剩余标准偏差进行判斷；“R"越錢近于1 越好："F”的绝对值越大越好：“S”越趋近于0越好。

乘法公式及分解因式的十字相乘法 江苏版

乘法公式及分解因式的十字相乘法 江苏版

乘法公式及分解因式的十字相乘法【同步教育信息】 一. 本周教学内容：乘法公式及分解因式的十字相乘法二. 教学目标：为了使学生能够更好的学习高中数学，本节课将使学生掌握一些高中阶段常用的乘法公式以及分解因式的几种常用方法。

三. 教学重点：乘法公式及分解因式的十字相乘法［知识要点］（一）乘法公式：初中：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+高中：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-（3）三数和平方公式2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（4）两数和立方公式3223333)(b ab b a a b a +++=+ （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+- 例1. 计算)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x解法一：原式])1)[(1(2222x x x -+-=1)1)(1(6242-=++-=x x x x解法二：原式)1)(1)(1)(1(22++-+-+=x x x x x x1)1)(1(633-=-+=x x x例2. 已知44=++=++ac bc ab c b a ，，求222c b a ++的值。

解：8)(2)(2222=++-++=++ac bc ab c b a c b a（二）分解因式 1. 十字相乘法关于x 的二次多项式ab x b a x +++)(2，怎样分解因式呢？例1. 分解因式：（1）232+-x x ；（2）1242-+x x ；（3）22)(aby xy b a x ++-解：（1）)2)(1(232--=+-x x x x （2）)6)(2(1242+-=-+x x x x（3）))(()(22by x ay x aby xy b a x --=++-2. 提取公因式法与分组分解法 例2. 分解因式（1）x x x 33923+++；（2）)(22a a x x --+解：（1）法一：)93()3(3392323+++=+++x x x x x x)3)(3()3(3)3(22++=+++=x x x x x法二：8)133(3392323++++=+++x x x x x x)3)(3(]2)1(2)1][(2)1[(2)1(8)1(222333++=++-+++=++=++=x x x x x x x（2）提示：)()()(2222a x a x a a x x ++-=--+（3）关于二次三项式)0(2≠++a c bx ax 的分解因式的方法：求根法。

最小二乘公式

最小二乘公式

最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）：a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2 (x)m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和〔∑(Y i -Y计)2〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Y i -Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i -a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Y i-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi )a1 = ∑Y i (式1-6)(∑Xi )a0 + (∑Xi2 )a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Y i)/ m -a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Y i - (∑Xi ∑Y i)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。