力的分解(导)学案
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3.5 力的分解学案
[学习目标] 1.理解力的分解，知道力的分解同样遵循平行四边形定则.2.会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力.3.会用正交分解法求合力．
一、力的分解
[问题设计]
王昊同学假期里去旅游，他正拖着行李箱去检票，如图1所示．王昊对箱子有一个斜向上的拉力，这个力对箱子产生了什么效果？这些效果与王昊对箱子的拉力有什么关系？
图1
答案王昊对箱子斜向上的拉力产生了两个效果：水平方向使箱子前进，竖直方向将箱子向上提起．这两个效果可以替代王昊对箱子的拉力．
[要点提炼]
1．力的分解：一个力的作用可以用几个力的共同作用来等效替代，这几个力称为那一个力的分力．求一个已知力的分力叫做力的分解．
2．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
3．力的分解的讨论
(1)如果没有限制，一个力可分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)有限制条件的力的分解
①已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．(如图2所示)
图2
②已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．(如图3所示)
图3
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
图4
①当F sin α<F2<F时，有两解，如图4甲所示．
②当F2＝F sin α时，有唯一解，如图乙所示．
③当F2<F sin α时，无解，如图丙所示．
④当F2>F时，有唯一解，如图丁所示．
二、力的分解法
[问题设计]
如图5甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板做斜面．将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上(如图乙)，观察塑料垫板和橡皮筋的形变．
图5
(1)小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
(2)根据重力产生的效果将重力分解，若斜面倾角为θ，小车重力为G，求这两个作用效果的力的大小．
答案(1)斜面上小车重力产生了两个效果：一是使小车压紧斜面，二是拉伸橡皮筋；不会．
(2)这两个效果的方向互相垂直；小车重力的分解如图所示，两个作用效果的力的大小为
G x＝G sin θ，G y＝G cos θ
[要点提炼]
在实际问题中，一般要根据力的实际作用效果进行分解，基本步骤为：
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
(3)利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
三、力的正交分解法
1．正交分解的目的：当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行
四边形定则求解很不方便，为此先将各力正交分解，然后再合成． 2．正交分解法求合力的步骤
(1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x 轴和y 轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小，如图6所示．
图6
(3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即： F x ＝F 1x ＋F 2x ＋F 3x ＋… F y ＝F 1y ＋F 2y ＋F 3y ＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F ＝F 2x ＋F 2y ，合力的方向与x 轴的夹角为α，则tan α＝F y
F x
.
一、按力的作用效果分解
例1 如图7所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30 N 的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和轻杆各受多大的力？
图7
解析 重物对O 点的拉力F ＝G ，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止状态时杆所受的
弹力一定沿着杆，否则会引起杆的转动)，作平行四边形如图所示，由几何关系解得F 1＝
G
sin θ＝60 N
F 2＝
G tan θ≈52 N
答案 60 N 52 N
针对训练 如图8所示，已知电灯的重力G ＝10 N ，AO 绳与水平天花板间的夹角θ＝45°，BO 绳水平．
图8
(1)请按力的实际作用效果将OC 绳对O 点的拉力加以分解，并作出示意图． (2)AO 绳所受的拉力F 1和BO 绳所受的拉力F 2分别为多少？ 答案 见解析
解析 (1)OC 绳的拉力产生了两个作用效果，一是沿着AO 绳的方向向下拉紧AO 绳的分力F 1，另一个是沿着BO 绳的方向向左拉紧BO 绳的分力F 2.画出平行四边形，如图所示．
(2)因为电灯处于静止状态，根据二力平衡的条件，可判断OC 绳的拉力大小等于电灯的重力，
因此由几何关系得F 1＝G sin θ＝10 2 N ，方向沿AO 向下，F 2＝G
tan θ＝10 N ，方向沿BO 向左．
二、有限制条件的力的分解
例2 按下列两种情况把一个竖直向下的180 N 的力分解为两个分力．
图9
(1)一个分力在水平方向上，并等于240 N ，求另一个分力的大小和方向．
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图9所示)，求两个分力的大小．
解析 (1)力的分解如图所示．
F 2＝
F 2＋F 21＝300 N 设F 2与F 的夹角为θ，则
tan θ＝F 1F ＝4
3，解得θ＝53°
(2)力的分解如图所示．
F 1＝F tan 30°＝180×
3
3
N ＝60 3 N
F 2＝F cos 30°＝180
3
2 N ＝120
3 N
答案 (1)300 N 与竖直方向夹角为53°
(2)水平方向分力的大小为60 3 N ，斜向下的分力的大小为120 3 N 三、力的正交分解法
例3 如图10所示，一箱子重100 N 静止在地面上，现用大小为10 N 且与水平方向夹角为53°的力斜向右上拉箱子，则箱子对地面的压力如何变化？(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
图10
解析 把F 沿着竖直方向和水平方向分解为F 1和F 2，则F 1＝F sin 53°＝10×0.8 N ＝8 N 故箱子对地面的压力减小8 N 答案 减小8 N
1．力的分解：已知一个力求它的分力的过程．力的分解遵循平行四边形定则． 2．力的分解有唯一解的条件 (1)已知两个分力的方向． (2)已知一个分力的大小和方向． 3．力的分解方法
(1)按力的实际作用效果分解． (2)正交分解法求合力
以共点力的作用点为原点建立直角坐标系(让尽量多的力在坐标轴上)，把不在坐标轴上的力分解到x 轴、y 轴上，然后分别求出x 轴和y 轴上的合力F x 和F y ，则共点力的合力大小F ＝
F 2x ＋F 2y ，合力方向与x 轴夹角为α，tan α＝F y
F x
.
1. (按力的作用效果分解)在图11中，AB 、AC 两光滑斜面互相垂直，AC 与水平面成30°.如果把球O 的重力G 按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
图11
A.12G ，32G
B.
3
3G ，3G C.23G ，22G D.22G ，32G 答案 A
解析 对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F 1＝G sin 60°＝32
G ， F 2＝G sin 30°＝1
2
G ，A 正确．
2．(有限制条件的力的分解)甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO ′方向航行，甲用1 000 N 的力拉绳子，方向如图12所示，要使船沿OO ′方向航行，乙的拉力最小值为( )
图12
A ．500 3 N
B ．500 N
C ．1 000 N
D ．400 N
答案 B 解析
要使船沿OO ′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO ′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO ′时，乙的拉力F 乙最小，其最小值为F 乙min ＝F
甲sin 30°＝1 000×1
2 N ＝500 N ，故B 正确． 3．(力的正交分解)已知竖直平面内有一个大小为10 N 的力作用于O 点，该力与x 轴正方向之间的夹角为30°，与y 轴正方向之间的夹角为60°，现将它分解到x 轴和y 轴方向上，则( ) A ．F x ＝5 N ，F y ＝5 N B ．F x ＝5
3 N ，F y ＝5 N C ．F x ＝5 N ，F y ＝5 3 N D ．F x ＝10 N ，F y ＝10 N
答案 B。
