具时滞和反馈控制的修正Leslie-Gower离散系统的持久性

第１６卷第３期２０１４年９月应用泛函分析学报

ＡＣＴＡＡＮＡＬＹＳＩＳＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＩＳＡＰＰＬＩＣＡＴＡＶ０１．１６，Ｎｏ．３

Ｓｅｐｔ．，２０１４

ＤＯＩ：１０．３７２４／ＳＰ．Ｊ．１１６０．２０１４．００２４４文章编号：１００９—１３２７（２０１４）０３—０２４４－０６

具时滞和反馈控制的修正Ｌｅｓｌｉｅ－Ｇｏｗｅｒ离散系统的持久性余胜斌，张杰华（福州大学阳光学院，福州３５００１５）

摘要提出并研究具有反馈控制变量和Ｈｏｌｌｉｎｇ—ＩＩ类功能性反应的修正Ｌｅｓｌｉｅ—Ｇｏｗｅｒ离散捕食系统的持久性问题，通过运用差分不等式得到了一组保证该系统持久的充分性条件．该结果表明反馈控制变量不会影响系统的持久性从而改进了已有的结果．数值模拟显示了本文结果的可行性．关键词持久性；离散；修正Ｌｅｓｌｉｅ—Ｇｏｗｅｒ；反馈控制；时滞

中图分类号０１７５．７文献标识码Ａ

１引言对于任一非负有界序列｛，（礼）），我们定义：，‘＝１婴ｆ，｛，（礼）），ｆ“＝ｓｕｐ｛，（佗）），』忱＝Ｍ＋Ｅ，ｍ。＝盯ｌ—Ｅ．２００３年，Ａｚｉｚ—Ａｌａｏｕｉ和ＤａｈｅｒＯｋｉｙｅ［１】提出并研究了具有修正Ｌｅｓｌｉｅ—Ｇｏｗｅｒ项和ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ类功能性反应的捕食食饵系统的有界性和正平衡点的全局稳定性；从那以后，具有修正Ｌｅｓｌｉｅ—Ｇｏｗｅｒ项的捕食系统受到极大关注１２—６】：利用振动性引理和Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数法，我们在文［２】中给出了两个保证正平衡点全局稳定的充分性条件，修正了文【１］的结果；Ｓｏｎｇ［３＿４】探讨了在脉冲干扰效应下的该类自治和非自治系统的稳定性和持久性；Ｚｈｕ和Ｗａｎｇ［５］讨论了该类非自治周期系统的周期解的存在性和全局稳定性；考虑到自然界会受到人类的开采等因素的影响以及非自治系统更能精确的描述实际情况，李忠［６］提出并研究了如下具反馈控制非自治的修正Ｌｅｓｌｉｅ－Ｇｏｗｅ和ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ功

能性反应的捕食系统：圣（ｔ）＝ｚ（ｔ）ｌ

ｒ，（ｔ）一６（。ｚ（￡）一端一ｃ，（ｔ）钆（￡）］

９（ｔ）＝可（ｔ）Ｊｒ２㈤一端－ｃｚ㈤吣）］

（１）也（ｔ）＝一ｅｌ（ｔ）ｕ（ｔ）＋ｄｌ（ｔ）ｘ（ｔ）ｏ（ｔ）＝－ｅｕ（ｔ）ｖ（ｔ）＋ｄ２（￡）可（￡）众所周知，微分方程一般用于刻画生命长、世代重叠并且数量很大的种群，而对那些生命短，世代不重叠的种群，或者虽然是生命长、世代重叠的种群，但在其数量较少时，常不用连续过程来描述，通常表为差分方程【７】．因此，我们在文【６］的基础上研究如下差分方程：

ｚ（ｎ＋１）２ｚ

ｎ）ｅｘｐｌｒ・（佗）一６（ｎ）ｚ（礼一丁）一；揣一ｃ・（佗）札（礼）ｊ

可（礼＋１）＝可（ｎ）ｅｘｐ［ｒｚ（礼）一；石ａ２习（丽ｎ）ｙ（ｎ）一ｃｚ（ｎ）ｕ（几）］（２）Ａｕ（ｎ）＝－ｅｌ（ｎ）ｕ（ｎ）＋ｄｌ（ｎ）ｘ（ｎ）Ａｖ（ｎ）＝一ｅ２（ｎ）ｖ（ｎ）＋ｄ２（ｎ）ｙ（ｎ）

收稿日期：２０１４．０２—１０资助项目：福建省教育厅Ａ类项目（ＪＡｌ３３６５）；福建省教育厅Ｂ类项目（ＪＢｌ２２５６）作者简介：余胜斌（１９８４－），男，汉，福建仙游人，讲师，硕士，研究方向：生物数学，Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｕｓｈｅｎｇｂｉｎ．８＠１６３．ｃｏｍ

万方数据第３期余胜斌，等：具时滞和反馈控制的修正Ｌｅｓｌｉｅ－Ｇｏｗｅｒ离散系统的持久性２４５这里ｚ（ｎ），可（ｎ）分别表示食饵和捕食者的种群数量；ｕ（ｎ），ｖ（ｎ）为反馈控制变量；ｎ（佗），ｏｔ（礼），Ｇ（托），ｅｉ（ｎ），ｄｉ（ｎ）（ｔ＝１，２）和６（扎）均为有正的上下界的非负序列，且０＜ｅｌ≤ｅｉ（ｎ）≤ｅ’ｉ‘＜１，（ｉ＝１，２）．该系统的各系数的生物学含义见文【１】，且基于生态学含义，本文恒设系统（２）满足初始条件：ｘ（０）＞０，ｕ（ｏ）＞０，从而易知对于任意的嚣≥０都有ｘ（ｎ）＞０，Ⅳ（铊）＞０．本文的目的在于通过发展文［８］的分析技巧，研究系统（２）的持久性，类似的工作见文献【９—１１】．

２相关引理为了后续证明的方便，本节先引入一些常用的引理引理２．１１１２］假设序列｛ｚ（佗））满足ｚ（佗）＞０，８（挖），ｂ（ｎ）均为有正的上下界的非负序列，如果ｚ（ｎ＋１）≤ｘ（ｎ）ｅｘｐ｛ａ（ｎ）一ｂ（ｎ）ｚ（ｎ）），ｎ∈Ｎ，贝４

ｌ—ｉｍ＋ｓｕ。。ｐｚ（几）≤—ｅｘｐｒ（ａ“－１）．

ｎ—●十。ｏｕ

引理２．２（１２】假设序列｛ｚ（佗））满足ｘ（ｎ）＞０，ｏ（礼），ｂ（ｎ）均为有正的上下界的非负序列，如果

ｘ（ｎ＋１）≥ｘ（ｎ）ｅｘｐ｛ａ（ｎ）一６（ｎ）ｚ（几）），佗≥Ｎｏ，Ｎ０∈Ｎ且ｌｉｍｓｕｐｘ（ｎ）≤Ｘ＋，贝０

ｌ。ｉ。ｍ＋ｉｎ。。ｆｚｃｎ，≥ｍｔｎ｛芒ｅｘｐｔａｌ＿ｂＵｘ＊，，岳＞．引理２．３【８】假设Ａ＞０，ｙ（ｏ）＞０且ｙ（ｎ＋１）≤Ａｙ（ｎ）＋Ｂ∽），ｎ＝１，２，…，则有可（佗）≤Ａｋ可（几一七）＋∑Ａ‘Ｓ（ｎ—ｉ一１），ｋ≤礼．

特别地，若Ａ＜１且Ｂ有上界Ｍ，则ｌ…ｉｍｓｕ。ｐ咖）≤篙．

ｎ—●＋ｏ。▲』１

引理２．４【８】假设Ａ＞０，ｙ（ｏ）＞０，且ｙ（ｎ＋１）≥Ａｙ（ｎ）＋Ｂ（扎），ｎ＝ｌ，２，…，则有

可（ｎ）≥Ａ‘ｙ（礼一七）＋芝二Ａ‘Ｂ（ｎ—ｉ一１），ｋ≤ｎ．

特别地，若Ａ＜１且Ｂ有下界ｍ＋，则县喇咖）≥禹．

ｎｏ十ｏ。Ｉ一片

３持久性引理３．１设（ｚ（ｎ），可（佗），札（礼），勘（ｎ））Ｔ为系统（２）的任一正解，则存在尬和尬，使得ｌｉｍｓｕｐｘ（ｎ）≤尬，ｌｉｍｓｕｐ可（礼）≤Ｍ２，这里Ｍ１＝盟华乒趔，％＝出堂等耻趔．证明由系统（２）的第一个方程可知ｚ（礼＋１）≤ｘ（ｎ）ｅｘｐ（ｒｌ（ｎ））≤ｘ（ｎ）ｅｘｐ（ｒ｝）．从而ＩＩ等≤ＩＩ

ｅｘｐ（啪一ｘ附ｕ，丁）．

由上式可知，ｘ（ｎ一７．）≥ｘ（ｎ）ｅｘｐ（一ｒ｝７．），带入系统（２）的第一个方程得ｘ（ｎ＋１）≤ｘ（ｎ）ｅｘｐ［ｒｌ（ｎ）一６（礼）ｅｘｐ（一ｒ｝７－）ｚ（ｎ）】（３）

由（３）及引理２．１可知，ｌ—ｉｍｓｕ。。ｐ如）≤丽ｅｘｐ（ｒ［－１）＝业掣全尬．

从而对任意的￡＞０，存在Ｎ１∈Ｎ，当ｎ≥Ｎ１时，有

万方数据应用泛函分析学报第１６卷由（４）及系统（２）的第二个方程可知，当佗≥Ⅳ１时，办＋１）纠ｎ）ｅｘｐ［ｒｚ（旷瓮鬻Ｉ

由（５）及引理２．１可得，ｌｉｍｓｕｐ

ｙ（札）≤丝立骘型全Ｍ２。．

ｎ—÷＋ｏｏ“２

令￡。０，得ｌｉｍｓｕｐ管（礼）≤坐型笠景亚蛙型＝ＡＭ２．证毕．

引理３．２设（ｚ（礼），∥（扎），札（佗），ｕ（礼））Ｔ为系统（２）的任一正解，则存在矾和ｗｊ，使得ｌｉｍｓｕｐｕ（ｎ）≤Ｗ１，ｌｉｍｓｕｐｖ（ｎ）≤ｗ２，ｎ—＋＋。。ｎ—÷＋。。

这里—眠＝毪产，尬＝毪笋，姚（ｉ＝１，２）如引理３．１所定义．

证明由引理３．１可知，对任意的￡＞０，存在Ｎ１∈Ｎ，当礼≥Ⅳ１，有ｘ（ｎ）≤Ｍ１。，ｙ（ｎ）≤Ｍ２。

（５）（６）由系统（２）的第三个及（４）式司得，当ｎ≥Ｎ１，有Ａｕ（ｎ）≤一ｅｌ（几）ｕ（扎）＋ｄｌ（ｎ）Ｍ１。，即ｕ（ｎ＋１）≤（１一ｅｊ）札（佗）＋钟＾矗ｅ（７）由引理２．３可得，ｌｉｍｓｕｐｕ（礼）ｓＴｄ＇｝Ｍｌｓ全肌。．

ｎ—｝＋ｏｏｃ１

令Ｅ。０，得ｌｉｍｓｕｐ乱（ｎ）≤兰粤全帆．同理可得ｌｉｍｓｕｐｖ（ｎ）≤瓮争全Ｗ２．证毕．ｎ—｝＋ｏｏ１ｎ—”十＿ｏｏ‘

引理３．３假设ｒｉ一学＞０

（日１）

则对系统（２）的任一正解（ｚ（佗），可（佗），Ⅱ（札），ｕ（佗））Ｔ，存在ｍｌ和Ｗｌ，使得ｌｉｍ！ｎ）≥，ｉｎｆ＂（佗）≥．＿ｆｘ（ｎｍｌｌｉｍ

Ｗｌ

证明由条件（日１），存在￡＞０使得ｒｉ一薯争＞０．由引理３．１和３．２可知，对上述￡＞０，存在Ⅳ１＞０，当ｎ≥Ｎ１时，ｘ（ｎ）≤＾五。，Ⅳ（礼）≤Ｍ２。，ｕ（ｎ）≤啊。，口（几）≤Ｗ１。．

由上式及系统（２）的第一个方程可知，当佗≥Ｎ１＋７－时，咖＋１）刈咖ｘｐ＜卜州尬刊一警卅啊刊）

刈咖ｘｐ卜（尬刊一警叫（Ｍ刊）＠’

＝１．Ａｘ（ｎ）ｅｘｐ｛Ｄ１。｝这里Ｄ１。：一铲（尬＋￡）一苴争一贯（帆＋￡））＜０．由（８）式可知，对任意的ｋ≤ｎ，

，亘。萼铲≥，夏。唧慨ｅ，一ｅ冲慨射・

从而，ｚ（ｎ—ｋ）≤ｘ（ｎ）ｅｘｐ｛－Ｄ１。七）（９）

根据系统（２）的第三个方程，容易得到锃（器＋１）＝（１一ｅ１（死））锃（珏）＋ｄｌ（ｎ）ｘ（ｎ）

≤（１一ｅ１）ｕ（钆）＋ｄ芏ｚ（礼）ｓ（ｉ０）

＝／．ＡＡｌｕ（ｎ）＋Ｂ１（佗）

万方数据第３期余胜斌，等：具时滞和反馈控制的修正Ｌｅｓｌｉｅ－Ｇｏｗｅｒ离散系统的持久性２４７这里Ａ１＝１一ｅｉ，Ｂ１（扎）＝砰ｚ（佗）．因此，由引理２．３，（９）式和（１０）式可知，对任意的ｋ≤ｎ，ｕ（ｎ）≤ｋ一１Ａ｝乱（礼一忌）＋∑４ｉＢｌ（礼一ｉ—

ｉ＝０ｋ一１

≤Ａ：ｕ（ｎ—ｋ）＋钟ｚ（ｎ）

七一１＝Ａ：缸（凡一惫）＋∑Ａ衙ｚ（ｎ—ｉ一１）

ｉ＝０∑Ａｉｅｘｐ｛一Ｄ１。（ｉ＋１））ｉ＝０根据０＜ｅｉ＜１，可以得到０＜Ａ１＜１，从而当ｋ一∞时，

０≤Ａ｝孔１（他一ｋ）ｓＡ｝（职＋Ｅ）—，０

（１１）

（１２）取Ⅳ２＝ｍａｘ｛Ｎ１，黔）＋１，其中Ｐ１＝焉ｌ辩ｌ

ｕ．则当礼＞Ⅳ２时，有ｃ｝Ａ，２叭ｅ＜｛（ｒｉ一雩产）

固定Ｎ２，则当ｎ≥ＮＩ＋Ｎ２时，有Ｎ２——１ｕ（ｎ）≤ＡⅣ２ｕ（ｎ—Ｎ２）＋钟ｚ（礼）

≤ＡⅣ２肌。＋钟ｚ（ｎ）Ⅳ２—１∑Ａ；ｅｘｐ｛一Ｄ１。（ｉ＋１））

ｉ＝０∑３＇１ｅｘｐ｛－Ｄ１。（¨１））ｉ－－－－０这里Ｇ１。＝钎∑答１Ａｉｅｘｐ｛一Ｄ１。０＋１））．

把（９）式和（１３）式带入系统（２）的第一个方程可知，

ｘ（ｎ＋１）≥ｘ（ｎ）ｅｘｐ

≥ｚ（佗）ｅｘｐ

全Ａ，。肌。＋Ｇ１。ｚ（ｎ）－６叫…）一警－ｃｕ咖）］山“ｅＸｐ｛－－ＤｌｅＴＭ旷Ｔａｌ（Ｍ２￡）叫（ＡⅣ２肌＋Ｇ１Ｅｘ（训］

≥ｚ（ｎ）ｅｘｏ［１（ｒｉ一＿（６“唧｛－－ＤｌｅＴ）＋酵Ｇ曲咖）］

（１３）

全ｚ（ｎ）ｅｘｐ［Ｅ，一Ｅ２。ｚ（礼）】这里Ｅ１。＝；（ｒｉ～下ａｕＭ２‘），易ｅ＝６“ｅｘｐ｛一Ｄ１ｓ７．卜卜砰Ｇ１ｓ．由（１４）式和引理２．２可知，

ｌ。ｉ。ｒａ＋ｉｎ。。ｆ如，≥ｍｉｎ｛爱唧慨。一场。尬，，爱）．

令Ｅ一０，由上式可得，ｌ—ｉｍｉｎ。。ｆ珈）ｒａｉｎ｛瓦Ｅ１ｅ郴－一眦），爱）‰

从而Ｎ３≥Ｎ１＋Ｎ２，当ｎ≥Ｎ３可知，ｚ（佗）≥ｍｌ２

由（１６）式及系统（２）的第三个方程容易得到，当ｎ≥Ｎｓ时，有

从而，Ａｕ（ｎ）≥－ｅｌ（ｎ）ｕ（佗）十

ｕ（ｎ＋１）≥ｍｉｄｌ（ｎ）

２

（１叫）如）＋华

由（１７）和引理２．４得，ｌ。ｉ。ｍ＋ｉｎｏｏｆ乱∽）≥乏争全叫１．证毕．与引理３．３的证明类似，我们容易得到如下结果：引理３．４对系统（２）的任一正解（ｚ（ｎ），可（佗），ｕ（ｎ），＂（扎））Ｔ，存在ｍｌ和Ｗｌ，使得

由引理３．１，－一３．４可得：ｌｉｍｉｎｆｙ（ｎ）２ｍ２，ｌｉｍｉ．ｎｆｖ（ｎ）≥Ｗ２ｎ—＋十ｗｎ—’十。。

（１４）（１５）（１６）