版北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转测试题练习题

北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转评卷人得分一、单选题1．下列运动形式属于旋转的是()A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪2．下列四个图案中，不能由1号图形平移得到2号图形的是()A．B．C．D．3．观察下列图形，是中心对称图形的是()A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，若将三角形上各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，则所得图形在原图形的基础上()A．向左平移了3个单位B．向下平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向右平移了3个单位5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．6．如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是（）A．逆时针旋转90°B．顺时针旋转90°C．逆时针旋转45°D．顺时针旋转45°7．下列语句正确的是()A．线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B．正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，则正三角形是中心对称图形C．正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形D．正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形8．已知点P1(－2，3)，点P2与点P1关于原点对称，则点P2的坐标是()A．(－5，－3)B．(1，－3)C．(2，－3)D．(5，－3)9．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°10．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q11．如图，△ABC经过平移后得到△DEF，则下列说法中正确的有()①AB∥DE，AB＝DE；②AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF；③AC∥DF，AC＝DF；④BC∥EF，BC＝EFA．1个B．2个C．3个D．4个12．如图所示,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段A'B与线段AC的关系是()A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠AC′B′的大小是()A．32°B．45°C．13°D．30°14．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6B．8C．10D．1215．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是()A．(1，4)B．(4，1)C．(4，－1)D．(2，3)评卷人得分二、填空题16．在平面直角坐标系中，将点A(1，5)向右平移2个单位长度，可以得到对应点的坐标A′______；将点A(1，5)向下平移6个单位长度，可以得到对应点的坐标A″______．17．如图所示，△ABC 与△A′B′C′是全等三角形，那么△A′B′C′可以看作是由△ABC 以O 为旋转中心，旋转_______度形成的．18．如图，直线a 与数轴交于一点A ，点A 表示的数为1，将直线a 向左平移3个单位后，这条直线与数轴的交点B 所表示的实数是_____．19．用等腰直角三角板画45AOB ∠= ，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22o ，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______o ．20．如图，已知△ABC 和△DCE 是等边三角形，则△ACE 绕着点_____按逆时针方向旋转____度可得到_______．评卷人得分三、解答题21．在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(0，0)，B(3，3)，C(4，1)．(1)画出△ABC 及△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB 1C 1；(2)分别写出B 1和C 1的坐标．22．如图，已知A(－1，0)，B(1，1)，把线段AB平移，使点B移动到点D(3，4)处，这时点A移动到点C处．(1)画出平移后的线段CD，并写出点C的坐标；(2)如果平移时只能左右或者上下移动，叙述线段AB是怎样移到CD的．23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3,4）,B（-4,2），C （-2,1），且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．（1）画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）P（a,b）是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P＇（a+3,b+1），请画出平移后的△A2B2C2.24．(1)如图1，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C(对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)；(2)如图1，如果点P，P3的坐标分别为(0，0)，(2，1)，写出点P2的坐标；(3)图2是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O 顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！(注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度)25．如图，四边形ABCD(图1)与四边形EFGH(图2)的形状、大小完全相同．(1)请从下列序号中选择正确选项的序号填写；①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F.如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D的对应点分别是；如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A，B，C，D的对应点分别是；如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A，B，C，D的对应点分别是；(2)如果图1经过绕某点旋转180°后得到图2，请画出旋转中心(保留画图痕迹，不写画法)．26．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作；(1)将原图形绕点O逆时针旋转90°；(2)发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．27．(1)如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE之间的等量关系式是；(无须证明)(2)如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案1．C【解析】【分析】根据旋转的定义逐一进行判断即可得到正确的结论.【详解】在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象.故答案选：C.【点睛】本题主要考查的是关于旋转的知识，题目比较简单，属于基础题目，大部分学生能够正确完成，熟练掌握旋转的定义是解决本题的关键.2．D【解析】【分析】根据平移不改变图形的形状和大小解答即可．【详解】观察各选项可知，D选项图案不能由1号图形平移得到2号图形．故选D．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．3．D【解析】试题分析：将一个图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合，则这个图形就是中心对称图形.考点：中心对称图形4．B【解析】∵将三角形上各点的纵坐标都减去3，横坐标保特不变，∴所得图形在原图形基础上向下平移了3个单位．故选B．5．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.6．A【解析】【分析】根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．【详解】根据图形可知：将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°可得到△ADE ，故选A ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．7．A【解析】试题分析：根据中心对称图形的定义依次分析各项即可.根据中心对称图形的定义可知A 正确，B 、C 、D 错误，故选A.考点：本题考查的是中心对称图形点评：解答本题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．8．C【解析】【分析】根据关于原点对称的点,纵、横坐标互为相反数,可得答案.【详解】解:由()12,3P -,点2P与点1P 关于原点对称,得()22,3P -,所以C 选项是正确的.故答案选：C.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.9．A【解析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．故选A．本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．10．B【解析】【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B．【点睛】熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．11．D【解析】根据平移的性质——对应边平行且相等（或者共线），对应点的连线平行且相等（或者共线），易得四个结论全部正确.故选D.12．D【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系．【详解】解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．∵2，2，∴线段A′B与线段AC互相平分，又∵∠AOA′=45°+45°=90°，∴A′B⊥AC，∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．故选D．【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．13．C【解析】【分析】先利用旋转的性质得AC＝AC′，∠B＝∠AB′C，∠CAC′＝90°，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得∠ACC′＝∠AC′C＝45°，从而得到∠AC′B′的度数．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，∴AC＝AC′，∠B＝∠AB′C，∠CAC′＝90°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴∠ACC′＝∠AC′C＝45°，∵∠CC′B′＝32°，∴∠AC′B′＝∠AC′C－∠CC′B′＝45°－32°＝13°，∴∠B＝13°．故答案选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.14．C【解析】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故选C．15．C【解析】如图：∵∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠A′OC=90°，∴∠AOB=∠A′OC，∵OA=OA′，∠A′CO=∠ABO=90°，∴△ABO≌△A′BO，∴A′C=AB，OC=OB．因为A′位于第四象限，则A′坐标为（4，-1）．故选C．【点睛】图形旋转后各性质都不会变化．根据题中所给条件找出三角形全等的条件，由此得出三角形给边的长度从而A'坐标也求出了．16．(3，5)(1，－1)【解析】根据点的平移规则，左减右加横坐标，上加下减纵坐标，易得：将点A(1，5)向右平移2个单位长度，可以得到对应点的坐标A′(3，5)；将点A(1，5)向下平移6个单位长度，可以得到对应点的坐标A″(1，－1)．17．180【解析】根据全等三角形的对应关系，可知A与A′是一对对应点，则可知旋转了180°.故答案为180.点睛：此题主要考查了旋转变化的辨别，解题关键是根据全等三角形确定对应点，从而知与旋转中心构成的角度即可求解，比较简单.18．-2【解析】【分析】根据题意，相当于把点A平移到点B，根据点的平移规律解答即可．【详解】1－3=－2．故答案为－2．【点睛】本题考查了平移的性质．解题的关键是明确点的平移规律是：“左减右加”，与函数的平移是不同的．19．22【解析】【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．【详解】如图，根据题意，得∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，根据三角形的外角的性质，可得三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．故答案为22．【点睛】平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．20．，60，【解析】因为△和△是等边三角形，故∠，则∠．要由△通过旋转得到△，只需要将△绕着点按逆时针方向旋转60°即可得到. 21．(1)画图见解析；(2)B1(－3，3)，C1(－1，4)．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可；,B C的坐标.（2）根据关于y轴对称的点的特征即可得到11【详解】(1)如图所示，△ABC和△AB1C1即为所求．(2)B1(－3，3)，C1(－1，4)．【点睛】本题考查了旋转变换的性质以及旋转作图，解题时要充分利用图形的特点和网格．22．(1)C(1，3)；(2)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到CD.【解析】试题分析：（1）根据平移作图的方法作图即可；（2）根据平移的情况直接叙述．试题解析：（1）∵点B（1，1）移动到点D（3，4）处，如图所示，∴C（1，3）；（2）向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度即可得到CD．23．（1）作图见解析，A1的坐标是（3，-4）；（2）作图见解析．【解析】试题分析：（1）首先作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可求得；（2）把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可．试题解析：（1）如图所示：A1的坐标是（3，-4）；（2）△A2B2C2是所求的三角形．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换．24．(1)见解析；(2)P2(4，4)；(3)如图所示见解析【解析】分析：（1）利用关键点的对应点，仔细观察即可知道B是由A平移得到的，C是由B旋转得到的；（2）利用已知点的坐标，建立坐标系，即可写出答案；（3）先找关键点的对应点，再顺次连接即可．详解：（1）将图形A向上平移4个单位长度，得到图形B；将图形B以点P1为旋转中心顺时针旋转90°，再同右平移4个单位长度得到图形C或将图形B向右平移4个单位长度，再以P2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C；（2）P2（4，4）；（3）如图：点睛：本题的主要思路是利用关键点的对应点来解决问题．25．（1）①；②；④；（2）①画图见解析，②答案不惟一如OC=OE等【解析】试题分析：（1）利用对应边平行且相等，即可找出对应边、对应点；利用找两个图形的对称轴即可找出相应的对应点；利用旋转前后的对应角相等，即可找出对应点；（2）利用对应点的连线都经过对称中心，即可解决问题．（1）①；②；④；（2）①画图正确．②答案不惟一，例如：对应线段相等，OC=OE等．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图-平移变换．26．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形；（2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形．【详解】(1)∵将原图绕点O逆时针旋转90°，∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等．∴可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示：(2)由(1)中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°，如图2所示．【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题时要充分利用图形的特点和网格．27．(1)BD2＋CE2＝DE2；(2)BD2＋DE2＝CE2，证明见解析.【解析】【分析】（1）将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，可证△AEC≌△AFB，故BF＝CE，旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，故∠FAD＝∠FAE−∠DAE＝45°，易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，因为△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠FAB＝45°，从而可得∠FAD＝90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式；（2）方法同（1），由∠ADE＝45°可得∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，斜边BF＝CE，直角边DF＝DE，由勾股定理建立等量关系．【详解】(1)BD 2＋CE 2＝DE 2；(2)CE 2＝BD 2＋DE 2.证明：将△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AFB ，连接FD.由旋转的性质可得△AEC ≌△AFB ，∴AF ＝AE ，BF ＝CE ，∠FAB ＝∠EAC.∴∠FAE ＝∠FAB ＋∠BAE ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝120°.又∵∠DAE ＝60°，∴∠FAD ＝∠EAD ＝60°.在△ADF 和△ADE 中，AF AEFAD EAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ADE(SAS)．∴FD ＝DE ，∠ADF ＝∠ADE.∵∠ADE ＝45°，∴∠ADF ＝45°，故∠BDF ＝90°.在Rt △BDF 中，由勾股定理，得BF 2＝BD 2＋DF 2.∴CE 2＝BD 2＋DE 2.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用．。

北师版八年级数学下册图形的平移与旋转单元测试卷（含答案）(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.在A，B，C，D四幅图案中，能通过左图平移得到的是(B)A B C D2．下列图形中是中心对称图形的是(B)A B C D3．△ABC在平移过程中，下列说法错误的是(B)A．对应线段一定相等B．对应线段一定平行C．周长和面积保持不变D．对应边中点所连接线段的长等于平移的距离4．在平面直角坐标系中，若将三角形上各点的横坐标都加上5，纵坐标保持不变，则所得图形在原图形的基础上(D)A．向左平移了5个单位长度B．向下平移了5个单位长度C．向上平移了5个单位长度D．向右平移了5个单位长度5.如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是(D)A．点F B．点D C．线段BD的中点D．线段FD的中点6．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，则下列说法错误的是(A)A．AC∥BE B．AB＝BD C．BC平分∠ABE D．AC＝DE 7．如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB＝100米，宽BC＝50米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为2米，那么小明沿着小路的中间，从出口A 到出口B 所走的路线(图中虚线)长为(B)A ．148米B ．196米C ．198米D ．200米8．下列3个图形中，能通过旋转得到右侧图形的有(B)① ② ③A ．①②B ．①③C ．②③ D.①②③9.如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△A′B′C′，随着平移距离的不断增大，△A′CB 的面积大小变化情况是(C)A ．增大B ．减小C ．不变D ．不确定10．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ，∠AOB＝15°，在△OCD 中，OC ＝OD ，∠COD＝45°，且点C 在边OA 上，连接CB ，将线段OB 绕点O 逆时针旋转一定角度得到线段OE ，使得DE ＝CB ，则∠BOE 的度数为(B)A ．15°B ．15°或45°C ．45°D ．45°或60°二、填空题(每小题4分，共20分)11．“绿水青山就是金山银山”，可以用“平移”来解释的是“山”字． 12．平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，现有一点A(2，5)，将点A 向下平移5个单位长度，可以得到对应点的坐标A′(2，0)；再将线段OA′顺时针旋转90°，则点A″的坐标为(0，－2__)．13．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC′＝5．14．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC 与△A 1B 1C 1关于点D 成中心对称，则对称中心点D 的坐标是(2，－12)．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OA1B1绕点O逆时针旋转90°，得△OA2B2；△OA2B2绕点O逆时针旋转90°，得△OA3B3；△OA3B3绕点O逆时针旋转90°，得△OA4B4；…；若点A1(1，0)，B1(1，1)，点B2020的坐标是(1，－1)．三、解答题(共50分)16．(12分)如图1，2均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．(1)在图1中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形(画一个即可)；(2)在图2中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形(画一个即可)．图1 图2 解：(1)(2)如图所示．(答案不唯一)17．(12分)如图，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE.(1)求∠DCE的度数；(2)若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，由旋转，得∠BA D＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB＋∠BCE＝45°＋45°＝90°.(2)∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝4 2.∵CD＝3AD, ∴AD＝2，CD＝3 2.由旋转，得AD＝CE＝ 2.∴DE＝CD2＋CE2＝（32）2＋（2）2＝2 5.18．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)OB＝OA1＝16＋1＝17，A1B＝25＋9＝34.∵OB2＋OA21＝A1B2，∴△OA1B为等腰直角三角形．19．(14分)如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)画出与△ACD关于点D成中心对称的三角形；(2)找出与AC相等的线段；(3)探索：在△ABC中，AB＋AC与中线AD之间的关系，并说明理由．解：(1)延长AD至A′，使AD＝A′D，连接A′B，则△A′DB就是与△ADC关于点D成中心对称的三角形．(2)A′B＝AC.(3)AB＋AC＞2AD.理由：∵△ADC与△A′DB关于D点成中心对称，∴AD＝A′D，AC＝A′B.在△ABA′中，AB＋BA′＞AA′，即AB＋AC＞AD＋A′D.∴AB＋AC＞2AD.。

北师大版八年级数学下册《第三章图形的平移与旋转》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如左图是新疆维吾尔自治区第十四届运动会的会徽．平移此会徽中的图形，可以得到的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，将点A(3,−2)向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（）A．(−1,−2)B．(7,−2)C．(3,−6)D．(3,2)4．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为（）A．14cm B．17cm C．20cm D．23cm5．在平面直角坐标系中，以原点为中心，若将点Q(4,5)按逆时针方向旋转90°得到点P，则P的坐标是（）A．(−5,4)B．(−4,−5)C．(−5,−4)D．(5,−4)6．如图，在△ABD中∠BAD=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好落在BD边上．若∠BAC=48°，则∠E的度数为（）A．20°B．24°C．28°D．32°7．如图，△ABC的边BC长为5cm．将△ABC向上平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为（）A．50cm2B．25cm2C．20cm2D．10cm28．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上．将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A(3,0)，B(0,4)，点B2024的坐标为（）A．(12132,0)B．(12144,4)C．(12140,4)D．(12152,0)二、填空题9．在平面直角坐标系中，已知点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，a+b=．10．为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为600m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．11．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置AB=9，DO=4阴影部分面积为35，则平移距离为．12．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(1,2),B(2,0)，将线段AB平移后得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C(3,a),D(b,1)，则a−b的值为．13．如图，将△ABC沿BA方向平移得到△DEF．若DB=15，AE=2则平移的距离为．14．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=4，BC=5将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△ADE，延长BC交ED于点F．若∠EAB=90°，则线段EF的长为．15．如图，在△ABC，∠C=90°，将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上，连接BB′，若∠BB′C′=35°，则∠BAC=°．16．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4),B(0,1),C(0,4)，将△ABC绕某一点旋转可得到△A′B′C′,△A′B′C′的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是．三、解答题17．如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．18．如图，在△ABC中∠B=40°，∠BAC=80°将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE．(1)求∠E的度数；(2)当AB∥DE时，求∠DAC的度数．19．如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图：(1)画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1；(2)画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2C2B2(3)△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴．20．如图，在△ABC中∠BAC=80°，三个内角的平分线交于点O．(1)∠BOC的度数为________．(2)过点O作OD⊥OB交BC于点D．①探究∠ODC与∠AOC之间的数量关系，并说明理由；②若∠ACB=60°，将△BOD绕点O顺时针旋转α得到△B′OD′(0°<α<90°)，当B′D′所在直线与OC平行时，求α的值．21．如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,0),B(3,0),M为第三象限内一点．(1)若点M(2−a,2a−10)到两坐标轴的距离相等．①求点M的坐标；②若MN∥AB且MN=AB，求点N的坐标．(2)若点M为(n,n)，连接AM,BM．请用含n的式子表示三角形AMB的面积；(3)在（2）的条件下，将三角形AMB沿x轴方向向右平移得到三角形DEF（点A，M的对应点分别为点D，E），若三角形AMB的周长为m，四边形AMEF的周长为m+4，求点E的坐标（用含n的式子表示）．22．如图，在锐角△ABC中∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，K为射线CD上一点CK=BE．①求证：BD=BK；②求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．参考答案1．解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是B．故选：B2．解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．3．解：将点A(3,−2)向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是(3+4,−2)，即(7,−2)故选：B．4．解：由平移的性质得：AD=BE=CF=3cm，AC=DF∵△ABC的周长为14cm∵AB+BC+AC=14cm∵四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=14+3+3=20cm．故选：C．5．解：如图，过点Q作QM⊥x轴，过点P作PN⊥x轴∴∠PNO=∠QMO=90°∵Q(4,5)∴OM=4由旋转的性质可知OQ=OP，∠POQ=90°∴∠PON+∠QOM=90°∵∠PON+∠OPN=90°∴∠OPN=∠QOM∴△PON≌△OQM(AAS)∴ON=QM=5，PN=OM=4∵点P在第二象限∴点P的坐标是(−5,4)故选：A．6．解：∵△ABD旋转得到△ACE∵AB=AC，∠ABC=∠ACE，∠E=∠D∵∠BAC=48°∴∠ABD=∠ACD=180°−∠BAC=66°2∵∠BAD =90°∵∠D =180°−∠ABC −∠BAD =24°∵∠E =∠D =24°．故选：B ．7．解：三角形ABC 的边BC 的长为5cm ．将三角形ABC 向上平移2cm 得到三角形A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC 则：S △ABC =S △A ′B ′C ′，四边形BCC ′B ′是长方形，BB ′=2∵S 阴影=S △A ′B ′C ′+S 长方形BB ′C ′C −S △ABC =S 长方形BB ′C ′C =BC ×BB ′=5×2=10(cm 2)故选D ．8．解：∵点A(3，0)，B(0，4)∵OA =3，OB =4∵AB =√32+42= 5∵OA +AB 1+B 1C 2=3+5+4=12观察图象可知B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 的横坐标相差12个单位长度，点B 2n 的纵坐标为4∵2024÷2=1012∵点B 2024的横坐标为1012×12=12144，点B 2024的纵坐标为4∵点B 2024的坐标为(12144,4)．故选：B ．9．解：依题意可得：{2a −b =−(−2)a +3b =−(−8)∴{a =2b =2∴a +b =2+2=4故答案为：4．10．解：由平移的性质得，小桥总长=长方形周长的一半∵600÷2=300m∵小桥总长为300m ．故答案为：300．11．解：∵Rt △ABC ，沿着点B 到C 点的方向平移到△DEF 的位置∵△ABC≌△DEF∵AB =DE ，S △ABC =S △DEF∵S阴影=S梯形ABEO=35∵AB=9，DO=4∵OE=DE−OH=9−4=5∵12(5+9)×BE=35解得：BE=5，即为平移的距离；故答案为：5．12．解：由题意得，线段AB向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段CD∴2+2=b，2+1=a∴a=3，b=4∴a−b=3−4=−1故答案为：−1．13．解：平移的性质可得：AD=BE又∵DB=15，AE=2∵AD=BE=DB−AE2=6.5即平移的距离为6.5故答案为：6.5．14．解：连接AF∵∠ACB=90°，AC=4，BC=5∵AB=√42+52=√41由旋转的性质得AE=AC，∠E=∠ACB=90°∵∠E=∠ACF=90°∵AF=AF∵Rt△AFE≌Rt△AFC(HL)∵EF=FC，∠EFA=∠CFA∵∠EAB=90°∵DE∥AB∵∠EFA=∠FAB∵∠BFA=∠FAB∵BF=AB=√41∵EF=FC=BF−BC=√41−5故答案为：√41−5．15．解：∵将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上∵AB=AB′，∠BC′B′=90°，∠B′AC′=∠BAC∵∠ABB′=∠AB′B而∠BB′C′=35°∵∠ABB′=90°−35°=55°∵∠B′AC′=∠BAC=180°−55°×2=70°．故答案为：70．16．解：如图所示：连接AA′，BB′，然后作AA′，BB′的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此时旋转中心的坐标是(−1，0)故答案为：(−1，0)17．解：（1）所求图形，如图所示．（2）所求图形，如图所示．18．（1）解：由旋转可得：∠E=∠C．∵∠B=40°，∠BAC=80°∵∠C=180°−∠B−∠BAC=60°∵∠E=60°．（2）如图1，当DE在AB下方时．由旋转可得：∠D=∠B=40°．∵AB∥DE∵∠BAD=∠D=40°∵∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°．如图2，当DE在AB上方时．∵AB∥DE∵∠BAD+∠D=180°∵∠BAD=180°−∠D=180°−40°=140°∵∠DAC=360°−∠BAC−∠BAD=360°−80°−140°=140°．综上所述，∠DAC的度数为40°或140°．19．（1）解：如图,∴△A1B1C1为所求画的三角形；（2）解：如图∴△A2C2B2为所求画的三角形；（3）解：成轴对称，如图∴直线OD为所求画的对称轴．20．（1）解：∵三个内角的平分线交于点O，(∠ABC+∠ACB)∵∠OBC+∠OCB=12∵∠BAC=80°∵∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=100°∵∠OBC+∠OCB=50°∵∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−50°=130°故答案为：130°；（2）解：①∠ODC=∠AOC，理由如下：∵三个内角的平分线交于点O，(∠BAC+∠ACB)∵∠OAC+∠OCA=12∵∠BAC+∠ACB=180°−∠ABC∵∠OAC+∠OCA=12(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC∵∠AOC=180°−(∠OAC+∠OCA)=180°−(90∘−12∠ABC)=90°+12∠ABC∵OD⊥OB∵∠BOD=90°∵∠ODC=∠BOD+∠OBD=90°+12∠ABC∵∠ODC=∠AOC；②如图∵OC平分∠ACB，∠ACB=60°∵∠OCD=12∠ACB=30°由（1）知∠BOC=130°∵∠BOD=90°∵∠COD=40°∵∠BDO=∠COD+∠OCD=70°由旋转性质可知：∠BDO=∠B′D′O=70°∵B′D′∥OC∵∠COD′=∠B′D′O=70°∵∠DOD′=∠COD′−∠COD=30°，即此时旋转角度α=30°∵α的值为30°．21．（1）解：①∵M(2−a,2a−10)到两坐标轴的距离相等，且在第三象限∵−(2−a)=−(2a−10)∵a=4∵M(−2,−2)；②∵A A(−1,0),B(3,0)∵AB=4∵MN∥AB，MN=AB，M(−2，−2)∵N(−6,−2)或(2,−2)；（2）解：∵M(n,n)在第三象限∵n<0∵三角形AMB的面积为12×4×(−n)=−2n；（3）解：∵△AMB沿x轴方向向右平移得到△DEF ∵BM=EF，AD=ME=BF．∵△AMB的周长为m∵AM+MB+AB=m．∵四边形AMEF的周长为m+4∵AM+ME+EF+AF=m+4，即2ME=4∵解得ME=2∵点E的坐标为(n+2,n)．22．（1）解：①证明：在△BCE与△CBK中{BE=CK ∠BCK=∠CBE BC=CB∵△BCE≌△CBK(SAS)∵CE=BK∵BD=CE∵BD=BK；②由①知：BD=BK，∵∠BKD=∠BDK∵△BCE≌△CBK(SAS)∵∠BKC=∠CEB∵∠BDK=∠CEB∵∠BDK=∠ADC∴∠ADC=∠CEB∵∠CEB+∠AEF=180°∴∠ADF+∠AEF=180°∴∠A+∠EFD=180°∵∠A=60°∴∠EFD=120°∴∠CFE=180°−∠EFD=180°−120°=60°；（2）解：结论：BF+CF=2CN．理由：如图2中∵AB=AC，∠A=60°∴△ABC是等边三角形∴AB=CB=AC，∠A=∠CBD=∠ACB=60°∵AE=BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠BCF=∠ABE∴∠FBC+∠BCF=60°∴∠BFC=120°∵∠BFD=60°由旋转可得：AC=CM∵BC=CM，∠BCM=∠ACB+∠ACM=120°如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ∴△CNM≌△QNF(SAS)∴CM=QF，∠MCN=∠NQF∴CM=BC延长CF到P，使得PF=BF∵PF=BF∵△PBF是等边三角形∵∠BPC=60°∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°∴∠FCM=∠PBC∵∠PFQ=∠FCQ+∠CQF=∠FCQ+∠MCN=∠FCM∵∠PFQ=∠PBC∵PB=PF∴△PFQ≌△PBC(SAS)∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°∴△PCQ是等边三角形∴BF+CF=PC=QC=2CN．。

第三章图形的平移与旋转一、选择题 (本大题共7 小题，每题 4 分，共 28 分 )1．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()图 12．已知△ ABC 沿水平方向平移获得△A′B′C′，若 AA ′＝ 3，则 BB ′等于 ()3A. 2B． 3 C． 5D． 103．已知点A(a，2018)与点 A′(－2019， b)是对于原点O 的对称点，则a＋ b 的值为 ()A． 1 B． 5 C． 6 D ． 44．如图 2，△ ABC 绕点 A 顺时针旋转80°获得△ AEF ，若∠ B＝ 100 °，∠ F＝50°，则∠ α的度数是 ()图 2A． 40° B ．50° C． 80° D． 100 °5．正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的地点如图 3 所示，将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转180 °后，点C 的坐标是 ()图 3A． (2， 0) B． (3， 0) C． (2，－ 1)D． (2， 1)6．如图 4，将边长为 4 的等边三角形OAB 先向下平移 3 个单位长度，再将平移后的图形沿y 轴翻折，经过两次变换后，点 A 的对应点A′的坐标为 ()图 4A． (2， 3－ 23) B ．(2， 1)C．( －2， 23－ 3)D． (－ 1， 2 3)7．如图 5， P 是正方形 ABCD 内一点，将△ ABP 绕着 B 沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若 PB＝3，则 PP′的长为 ()A． 2 2 B ． 32C．3 D ．没法确立二、填空 (本大共 5 小，每小 4 分，共 20 分 )8．有一种拼游是当每一行的小方格后，一行消逝并使玩家得分．若在游程中，已拼好的案如6，又出了一小方格体向下运，了使全部案消逝，最的操作是将个小方格体先________旋 ________°，再向 ________平移，再向 ________平移，才能拼成一个完好的案，进而使案消逝．69．如 7，将△ ABC 点 C 旋至△DEC ，使点 D 落在 BC 的延上，已知∠A＝ 27°，∠ B＝40°，∠ ACE ＝________ °.10．已知点 A(1，－ 2)， B(－ 1， 2)，E(2，a)，F(b，3)，若将段AB 平移至 EF ，点 A， E 点，a ＋b 的 ________．711.如 8 所示，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ BC＝ 5，将△ ABC 沿着 CB 的方向平移到△ A′B′C′的地点．若平移的距离 2，中暗影部分的面 ________．812．如 9，在平面直角坐系中，已知点A(－ 3，0)， B(0， 4)，△ OAB 作旋，挨次获得△1，△2，△3，△4，⋯，△2019的直角点的坐__________ ．9三、解答 (本大共 4 小，共52 分 )13． (12 分 )如 10，方格中的每个小方格都是 1 个位度的正方形，每个小正方形的点叫格点，△ ABC 和△ DEF 的点都在格点上，合所的平面直角坐系解答以下：(1)画出△ ABC 向上平移 4 个位度后所获得的△A1B1C1；(2)画出△ DEF 点 O 按方向旋90°后所获得的△ D 1E1F 1；(3)△ A1B1C1和△ D1E1F 1成的形是称形？假如是，直接写出称所在直的函数表达式．图 1014． (12 分 )如图 11，将一个直角三角板ACB(∠C＝ 90°)绕 60°角的极点B 顺时针旋转，使得点 C 旋转到AB 的延伸线上的点 E 处，请解答以下问题：(1)三角板旋转了多少度？(2)连结 CE，请判断△ BCE 的形状；(3)求∠ ACE 的度数．图 1115． (14 分 )在网格中画对称图形．(1)如图 12 是五个小正方形拼成的图形，请你挪动此中一个小正方形，从头拼成一个图形，使得所拼成的图形知足以下条件，并分别画在图13①②③中 (只要各画一个，内部涂上暗影)；图 12图1①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②是中心对称图形，但不是轴对称图形；③既是轴对称图形，又是中心对称图形．(2)请你在图13④的网格内设计一个商标，知足以下要求：①是极点在格点的凸多边形(不是平行四边形)；②是中心对称图形，但不是轴对称图形；③商标内部涂上暗影．16． (14 分 )如图 14， O 是等边三角形 ABC 内一点，∠ AOB＝110 °，∠ BOC ＝α.将△ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°获得△ ADC，连结 OD .(1)求证：△ COD 是等边三角形；(3)研究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？图 141． [ 答案 ] C2．[分析 ] B依据平移的定义及性质解题．平移是在平面内，把一个图形沿某个方向挪动必定的距离的运动．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的地点．此题中AA′与 BB′都是对应点所连的线段，因此BB′＝ 3.3． [ 答案 ] A4． [ 答案 ] B5． [ 答案 ] B6．[ 分析 ] C∵等边三角形 OAB 的边长为4，∴ A(2 ，23)．∵先向下平移 3 个单位长度，∴点 A 的对应点坐标为 (2， 23－ 3)．∵再将平移后的图形沿y 轴翻折，∴这时点 A 的对应点 A′的坐标为 (－ 2， 23－3) ．应选 C.7． [ 答案 ] B8． [ 答案 ]顺90右下9． [ 答案 ] 4610． [答案 ]－ 1[分析 ] ∵线段 AB平移至 EF，即点 A平移到点 E，点 B 平移到点 F，而 A(1 ，－ 2) ，B( － 1，2)，E(2，a)，F(b， 3)，∴点 A 向右平移 1 个单位长度到点E，点 B 向上平移 1 个单位长度到点 F，∴线段 AB 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度获得 EF，∴－ 2＋ 1＝ a，－ 1＋1＝ b，∴ a＝－ 1， b＝0，∴ a＋b＝－ 1＋0＝－ 1.11． [答案 ] 8△′ ′－′S△′D＝25－9＝ 8.[分析 ] S 暗影＝ S A B C BC2212． [答案 ] (8076 ， 0)32＋ 42＝ 5，由图可知，每三个三角形为一个循环组挨次循环，[分析 ] ∵点 A( － 3，0)，B(0， 4)，∴ AB ＝一个循环组行进的长度为4＋ 5＋ 3＝ 12.∵ 2019÷3＝ 673，∴△2019的直角极点是第 673 个循环组的第三个三角形的直角极点．∵673× 12＝8076 ，∴△2019的直角极点的坐标为 (8076 ，0)．13．解： (1)△ A 1B1C1如下图．(2)△ D 1E1F1如下图．(3)△ A 1B1C1和△ D 1E1F1构成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y＝ x 或 y＝－ x－ 2.14．解： (1)∵∠ ABC ＝ 60°，∴∠ CBE＝ 180 °－ 60°＝ 120 °.∵直角三角板 ACB 绕极点 B 顺时针旋转获得△ DEB ，∴∠ CBE 等于旋转角，∴三角板旋转了 120 °.(2)连结 CE，∵直角三角板ACB 绕极点 B 顺时针旋转获得△DEB ，∴ BC ＝ BE，∴△ BCE 为等腰三角形．(3)∵∠ CBE ＝ 120 °，△ BCE 为等腰三角形，∴∠BCE ＝1× (180 °－ 120°)＝ 30°，2∴∠ ACE ＝∠ ACB ＋∠ BCE ＝ 90°＋ 30°＝120°.15．解： (1)如图①，是轴对称图形，但不是中心对称图形(答案不独一 )；如图②，是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2)如图④即为所求 (答案不独一 )．16． 解： (1)证明：∵将△ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°获得△ ADC ，∴ CO ＝CD ，∠ OCD ＝ 60°， ∴△ COD 是等边三角形．(2)当 α＝ 150 °时，△ AOD 是直角三角形． 原因：∵△ BOC ≌△ ADC ， ∴∠ ADC ＝∠ BOC ＝150°. ∵△ COD 是等边三角形，∴∠ ODC ＝ 60°，∴∠ ADO ＝∠ ADC －∠ ODC ＝ 90°， 即△ AOD 是直角三角形．(3)①要使 OA ＝ AD ，需∠ AOD ＝∠ ADO ，∵∠ AOD ＝360°－ 110°－ 60°－ α＝ 190°－ α，∠ ADO ＝ α－60°，∴ 190°－α＝α－ 60°，∴ α＝ 125°；②要使 OA ＝ OD ，需∠ OAD ＝∠ ADO.∵∠ OAD ＝180°－ (∠ AOD ＋∠ ADO) ＝ 180°－ (190 °－α＋ α－60°)＝50°，∴ α－ 60°＝50°， ∴ α＝ 110°；③要使 OD ＝ AD ，需∠ OAD ＝∠ AOD.∵∠ AOD ＝360°－ 110°－ 60°－ α＝ 190°－ α，∠ OAD ＝ 180 °－（ α－ 60°） α2＝ 120°－ ， 2 α∴ 190°－α＝120°－ ，2解得 α＝140°.综上所述，当 α的度数为 125°， 110°或 140°时，△ AOD 是等腰三角形．。