若干数值积分的计算方法
黄海琼
（广西民族大学数计学院04数本1班 南宁 530006）
摘 要: 本文讨论了若干数值积分的计算方法。在一维情形下，介绍了Newton-Cotes 公式，Gauss 型等求积法则； 在二维情形下, 主要介绍了二元Newton-Cotes 积分方法。最后，对几类数值积分方法及其数值实验进行比较评述。
关键词: 牛顿-柯特斯公式；Gauss 型求积法则；二元数值积分；数值实验
Some Computational Methods of numerical integration
Huang Haiqiong
(College of Mathematics and Computer Science,Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006)
Abstract: In this paper, some computational methods about numerical integration are discussed. under the univariate situation, the quadrature rule of Newton-Cotes formula, Gauss formula and so on is introduced. Under the two-dimensional situation, it mainly introduced the dual Newton-Cotes integral method. Finally, the numerical integration methods and numerical experiment were discussed.
Key word: Newton-Cotes formula; Gauss integration principle; dual numerical integration; numerical experiment.
1 引 言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技
术计算中常常遇到的一个问题[1]。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。
2 一维数值积分的计算方法
2.1 一维数值积分方法的基本思想[2]
对于一维数值积分法的思想来源于定积分的定义，即
1
()lim ()n
b
i i a
i f x dx f x x λ→==∆∑⎰
其中
max{}i i
x λ=∆，一般的提法是: 对于给定的权函数()0,[,]x x a b ρ≥∈，用()f x 在点
01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=处的函数值()(0,1,,)i f x i n =L 的线性组合
00110
()()()()()n
n n n i i i I f A f x A f x A f x A f x ==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∑
作为积分()()()b
a
I f x f x dx ρ=
⎰
的近似值，即
()()()()n
b
i i a
i I f x f x dx A f x ρ==≈∑⎰
(2.1)
并称此为求积公式，称
()()()n R f I f I f =-
为求积公式(2.1)的余项或误差，i x 及(0,1,2,,)i A i n =⋅⋅⋅分别称为求积公式(2.1)的求积节点及求积系数，这里求积系数(0,1,2,,)i A i n =⋅⋅⋅只与权函数()x ρ及积分区间[,]a b 有关，而与()f x 无关。
为保证机械求积公式的精度, 自然希望它对尽可能多的简单函数是准确的，即要求它对一切m 次多项式是准确的, 而对1m +次多项式不一定准确。则得到关于系数i A 的1n +阶线性方程组：
0122
001111
0011
21
n n n n n n n n n n
A A A b a b a A x A x A x b a A x A x
A x
n +++++=-⎧⎪-⎪+
++
=
⎪⎨⎪⎪-+++=
⎪+⎩
L L
M M
M M
L
由于系数行列式为Vandermonde 行列式,不为零,则解i A 是唯一存在的。
定义2.1.1 如果当()(0,1,,)k
f x x k m ==L 时，求积公式(2.1)精确成立，而当1
()m f x x +=时，
求积公式(2.1)不精确成立，那么称求积公式(2.1)具有m 次代数精度。
定理2.1.1 任意给定1n +个节点01,,,n x x x L ，如果()f x 是次数不超过n 的多项式，那么一定
