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第七章 高斯数值积分法对于等参单元推导载荷列阵和刚度矩阵时，需计算如下形式的积分：其中被积函数一般比较复杂，甚至得不到显式。
因此，通常采用数值积分代替函数积分，即在单元内部选取某些点，先计算被积函数在这些点的函数值，然后用这些系数（称为加权系数，简称权）乘上这些函数值，再求总和作为近似积分值。
在有限元法中通常采用精度较高的高斯数值求积分法。
首先介绍一维高斯求积公式式中，()k f ξ是被积函数f 在积分点k ξ处的函数值；k w 是加权系数；n 是所选积分点的数目。
例如取一个积分点01=ξ（此时即1=n ），该点的函数值为1f （如图4.9 (a))，并取加权系数21=w ，则积分这是一种最简单的计算方法，只有当函数()ξf f =是一条直线时，即()ξf f =线之下是一个梯形才是精确的，若()ξf f =是任意曲线，则此计算结果是相当粗糙的。
为了改善精度，在11+≤≤-ξ范围内，取两个对称点1ξ，2ξ其函数值分别为()1ξf 和()2ξf 如图7.1（b ），但是横坐标1ξ、2ξ以及相应的权1w 和1w 需要确定。
为此设()ξf 为三次式，即则而由高斯求积公式于是由式（c ）和（d ）两式得即为了在3210,,,c c c c 取任意数值时式（d ）都是精确的，因此上式两边对应的系数必须相等，则有因此解得实根值得说明的是，上面确定的两个积分点的高斯求积公式（d ）对于被积函数是四次以下（不包括四次）的多项式是完全精确的，否则是近似的表达式。
另外，如图7.1（b ）所示，用两个矩形面积来表示函数()ξf 在区间[—1，十1]与轴ξ所围的面积，这就是式（d ）的几何意义。
图7.1 被积函数f 在积分点处的数值以相同的方法可以处理由3个函数值所组成的近似积分，如图7.1（c ）。
对不同的积分点数可确定相应的积分点坐标和加权系数，由此构成高斯积分表，见表7.1。
下面讨论二维、三维的高斯求积公式，对于二重积分可先对ξ积分，而把η视为常量，此时引入一维的高斯求积公式，则有再对η积分有将式（e ）代入式（f ），则可得二维的高斯求积公式用相同的方法可以导得三维的高斯求积公式在实际计算中，为了保证计算精度，并且不过分增加计算工作量，高斯积分中的积分点数n 通常可根据等参单元的节点数来选取，对于讨论的平面8节点等参单元和空间20节点等参单元都可以取3=n 。
数值积分教案教学目标：1. 理解数值积分的概念和意义；2. 掌握数值积分的基本方法和原理；3. 能够运用数值积分解决实际问题。
教学内容：1. 数值积分的概念和意义；2. 数值积分的基本方法：梯形法、辛普森法、高斯法等；3. 数值积分的原理：数值积分近似解的误差估计；4. 数值积分的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域中的积分计算。
教学方法：1. 讲授法：讲解数值积分的概念、方法和应用；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
教学准备：1. 教案、PPT、教学视频等教学资源；2. 计算器、电脑等教学工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数值积分的重要性，例如在物理、工程等领域中的应用；2. 引导学生思考如何利用数值方法近似计算积分值。
二、数值积分的概念和意义（10分钟）1. 讲解数值积分的定义；2. 解释数值积分的意义和作用；3. 举例说明数值积分在实际问题中的应用。
三、数值积分的基本方法（10分钟）1. 介绍梯形法、辛普森法和高斯法等基本方法；2. 讲解各种方法的原理和步骤；3. 通过实例演示数值积分的计算过程。
四、数值积分的原理（10分钟）1. 介绍数值积分近似解的误差估计；2. 解释误差估计的原理和意义；3. 引导学生思考如何选择合适的数值积分方法以减小误差。
五、数值积分的应用（10分钟）1. 分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；2. 让学生通过练习题巩固所学知识；3. 引导学生思考数值积分在实际工程中的应用和限制。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对数值积分的概念和方法的理解；2. 练习题：评估学生对数值积分的应用能力；3. 课后作业：巩固学生对数值积分的掌握程度。
数值积分教案数值积分(有添加哦)六、梯形法的改进与应用（10分钟）1. 分析梯形法的局限性，如计算量大、精度低等问题；2. 介绍梯形法的改进方法，如自适应梯形法、辛普森法与梯形法的组合等；3. 通过实例讲解改进方法的原理和应用。
第七章 数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a-=⎰来求得定积分。
然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。
7.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ba n dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T ba ba +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a , 2ba c +=，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=，则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S baλλλ++===⎰，)(61))(())((0a b dx b a c a b x c x ba-=----=⎰λ，)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ，)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=⎰λ。
由此得公式：[])()(4)(6b fc f a f ab S ++-=，称为辛卜生（Sinpson ）求积公式。
根据经典拉格朗日插值公式)()()(0k nk k n x f x l x P ∑==，代入求定积分则有)()()()(0k nk b a k k nk ba k x f dx x l dx x f x l I ⋅==∑⎰∑⎰==，引入记号dx x l ba k k )(⎰=λ，)(0k nk k x f I ∑==λ，λk 为求积系数，x k 为求积节点。
注意：一积分结果为函数值的一个代数和，二是ab dx x l nk ba k -=∑⎰=0)(。
如果积分区间比较大，直接使用上述求积公式精度难以保证。
可对f (x )用分段抛物插值。
通常采取的办法是复化求积方法： （1）等分求积区间，比如取步长nab h -=，分[a, b]为n 等分，分点为kh x x k +=0，k = 0, 1, 2,…, n 。
（2）在区间 [x k , x k+1]上使用以上求积公式求得I k 。
（3）取和值∑-==10n k k I I 作为整个区间上的积分值。
将梯型公式和辛卜生公式应用于各子区间[]1,+k k x x ()1,,0-=n k 上得到子区间的定积分，再将子区间的定积分加起来得到整个区间的定积分近似值，相关公式称为复化梯型公式和复化辛卜生公式。
相对于复化梯型公式，复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。
例如对于复化梯型公式，令[])()(21++=k k k x f x f hI ，则∑-==10n k k n I T [])()(2110+-=+=∑k k n k x f x f h ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h n k kx k 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (x k ) 4 3.93846 3.7647 3.50685 3.2 2.8764 2.46 2.26549 2 例 利用数据表计算积分 dx xI ⎰+=12*14( 1415926.3|arctg 410*===πx I )。
解：取n = 8用复化梯形公式：()13899.31872432852212832412812)0(21818=⎥⎦⎤+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=f f f f f f f f f T 7.2 变步长梯形方法使用复化求积公式须给出合适的步长，步长太大精度难保证，步长太小会增加计算量，事先给出一个合适的步长是十分困难的。
递推公式避免了老节点的重复计算，使计算量减少了一半。
变步长积分法思想是将区间逐次对分，比较前后两次计算结果，若满足精度要求就停止，否则再次对分，直到到达精度要求为止。
设将区间[a, b] n 等分，共有n+1个分点，按复化梯形公式计算T n ，需要计算n+1个f (x )的值。
T 2n 的全部分点中有n+1个是原有的点。
小区间[x k , x k +1]经过二分增加分点21+k x 后，用复化梯形公式得积分为：[])()(2)(4121++++=k k k k x f x f x f hI ，因此有[][]∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=110101112)(221)(2)()(4)()(2)(4212121n k k n n k k n k k k k k k n k n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT例 计算。
解：根据梯形公式和复化梯形公式2/)]1()0([1f f T +=，∑-=++=15.02)(221n k k n n x f h T T ，于是有n 1 2 4 8 16 32 T n 0.9397 0.9445 0.9456 0.9459 0.9461 0.94617.3 求积公式的误差P n (x )是f (x )的n 次插值多项式，当)(x f 本身就是次数不超过n 的多项式时)()(x P x f n ≡，求积公式)()()(*0*k nk k ba n ba x f dx x P dx x f I ∑⎰⎰====λ是精确的。
由于a b nk k-=∑=0λ，若f (x k )的舍入误差小于ε ，则)()()()()(*0**a b x f x f x f x f I I k k nk k k nk k k nk k-<-≤-=-∑∑∑===ελλλ。
所以舍入误差对数值积分的影响不大。
应用插值多项式余项定理)()!1()()(1)1(x n f x R n n +++=ωξ，对于插值多项式次数为1的情况有：))((2)()(b x a x f x R --''=ξ，可以证明梯形公式的截断误差为：3*)(12)())((2))((a b f dx b x a x x f T I ba-''=--''=-⎰ξξ-（注意：这里用到了积分中值定理：设)(x f 在区间[a,b]上连续，)(x g 在[a,b]区间上可积且不变号，则在[a,b]区间上至少有一个ξ满足⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ）。
将[a, b]区间n 等分，取nab h -=考虑复化梯形积分公式的误差，这个误差是n 个等分区间段上得误差之和，即12)()(-12)(-)(12-12)(-2310313*h f a b h f n f h h f T I n i i n i i n ξξξξ''-=''=''=''=-∑∑-=-=（注意：这里用到了介值定理，即对于连续函数)(x f 和自然数n ，存在ξ使。
7.4 收敛条件及收敛加速梯形法简单，但精度低，收敛的速度慢。
如何提高收敛速度？设I 是精确积分值，根据复化梯形公式的余项表达式可知：),(12)()(-2*b a h f a b T I n ∈''-=-ηη，，),(12)2/)(()(-*2*2*b a h f a b T I n ∈''-=-ηη，。
假定)()(*''≈''ηηf f , 则有41*2*=--n n T I T I 。
整理得：)(3122*n n n T T T I -=-。
可见只要二分前后T n 与T 2n 相当接近，就可以保证T 2n 的误差很小。
T 2n 的误差大致等于)(312n n T T -，用误差值作为T 2n 的补偿，可期望所得到的)(3122*n n n T T T I -+=，可能是更好的结果。
也可以这样考虑，将所有T n 看做构成一个函数T ，变量是h 2。
当h 趋近0时，T(h 2)接近I *，即T(0)=I *，连接点),2n n T h （和),121++n n T h （得一直线，其方程为：1221221221++++--+--=n nn n n n n n T h h h x T h h h x y ，延伸该直线与Y 轴相交（见下图），3-4T ~11221221221n n n n n n n n n n T T T h h h T h h h +++++=--+-=。
这就是一种迭代的加速。
图 一种迭代加速7.5 高斯型求积公式在插值型求积公式中，插值节点是事先固定的，有时还进一步限定是等距的。
是否可以在[a, b]上自由选择节点的位置，使精度提高？称：)()(0i ni k ba x f A dx x f ∑⎰=≈为一般求积公式，这里A k 为不依赖f (x )的常数。
若对任意不高于m 次的多项式精确成立，而对于x m +1不能精确成立，就说具有m 次代数精确度。
下面讨论最高代数精确度的求积公式（叫做高斯型求积公式）。
例 求形如 ⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f 的两点求积公式。
本题的解法很多，结果也不一定相同。
