2021年湖南省长沙市开福区青竹湖一外国语学校中考数学模拟试卷1.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是()A. aB. bC. cD. d2.已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为()A. 8.23×10−6B. 8.23×10−7C. 8.23×106D. 8.23×10−83.如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是()A.B.C.D.4.在下列运算中，计算正确的是()A. m2+m2=m4B. (m+1)2=m2+1C. (3mn2)2=6m2n4D. 2m2n÷(−mn)=−2m5.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是()A. 14°B. 15°C. 16°D. 17°6. 如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的中线，BD ⊥CE.若BD =3，CE =2，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 8C. 12D. 167. 已知方程组{ax +by =2ax−by=4的解为{y =1x=2，则2a −3b 的值为( )A. 4B. 6C. −6D. −48. A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1ℎ.若设原来的平均车速为xkm/ℎ，则根据题意可列方程为( )A. 180x −180(1+50%)x =1 B. 180(1+50%)x −180x =1 C.180x−180(1−50%)x =1D. 180(1−50%)x −180x=19. 已知一次函数y =(m −4)x +2m +1的图象不经过第三象限，则m 的取值范围是( )A. m <4B. −12≤m <4C. −12≤m ≤4D. m ≤−1210. 如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，BC =5，点I 为△ABC 的内心，将∠BAC 平移，使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 711. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况．统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法错误的是( ) 月用电量(度)15 30 40 50 65 户数12421A. 方差是160B. 众数是40C. 平均数是40D. 中位数是4012. 如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c(a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)，与x 轴的一个交点B(4,0)，直线y 2=mx +n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b =0；②abc >0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是()A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤13.在函数y=√x+1x中，自变量x的取值范围是______．14.已知a<0，那么|√a2−2a|可化简为______．15.√84.1的整数部分是______．16.如图，墙上有一个同心圆纸板，大圆的半径为40cm，小圆的半径为30cm，若向这个纸板投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上)，则飞镖落在阴影区域的概率为______．17.如图，作边长为l的正方形ABCD，再以正方形ABCD的边AB为对角线作第2个正方形AEBO1，再以边BE为对角线作第3个正方形EFBO2…如此作下去，则所作的第2019个正方形的面积为______．18.如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC=8，CD=6，则CF=______ ．19.计算：|−2|−12√8−(5−π)0+4cos45°．20.已知分式：(xx+1+1x−1)÷1x2−1，及一组数据：−2，−1，1，2，0.请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的数代入x求值．21.某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图1和图2．(1)第四个月销量占总销量的百分比是______ ；(2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线；(3)为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求抽到B品牌电视机的概率；(4)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O、D分别为AB、BC的中点，做⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO．(1)求证：DF是⊙O切线；(2)若sinB=√32，CF=2，求⊙O的半径．23.如图，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象与矩形OABC 的边AB、BC分别交于点F、点E，点D为x轴负半轴上的点，S△CDE=4(1)求反比例函数的表达式；(2)求证：BECE =BFAF．24.新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品，该产品的成本为每件40元，市场调查统计：年销售量y(万件)与销售价格x(元)(40≤x≤80，且x为整数)之间的函数关系如图所示．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定售价才能使每年产品销售的利润W(万元)最大？(3)新鑫公司计划五年收回投资，如何确定售价(假定每年收回投资一样多)？25.已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0)，B(x2,0)，与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1⋅x2<0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=−3x+t上．(1)求点C的坐标；(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；(3)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，直接写出2n2−5n 的最小值．26.如图，已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．(1)求出y=mx2+nx+p的解析式，试猜想出与一般形式抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式(不要求证明)；(2)若A，B的中点是点C，求sin∠CMB；(3)如果过点M的一条直线与y=mx2+nx+p图象相交于另一点N(a,b)，a≠b且满足a2−a+q=0，b2−b+q=0(q为常数)，求点N的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由数轴可得：a<b<c<d，故选：D．根据实数的大小比较解答即可．此题利用数轴比较大小，在数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000823=8.23×10−7．故选：B．3.【答案】A【解析】解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，故选：A．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4.【答案】D【解析】解：∵m2+m2=2m2，故选项A错误，∵(m+1)2=m2+2m+1，故选项B错误，∵(3mn2)2=9m2n4，故选项C错误，∵2m2n÷(−mn)=−2m2n÷(mn)=−2m，故选项D正确，故选：D．根据题目中的式子可以计算出式子的正确结果，从而可以解答本题．本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．5.【答案】C【解析】解：如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE//CD，∴∠1=∠EBC=16°，故选：C．依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE//CD，即可得出∠1=∠EBC，进而得解．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．CE=4，根据三角形的面积公式求△根据题意得到点O是△ABC的重心，得到OC=23BDC的面积，根据三角形的中线的性质计算即可．【解答】解：∵BD，CE分别为AC，AB边上的中线，∴点O是△ABC的重心，∴OC =23CE =43，∴△BDC 的面积=12×BD ×OC =12×3×43=2， ∵BD 为AC 边上的中线，∴△ABC 的面积=2×△BDC 的面积=4， 故选A ．7.【答案】B【解析】解：把{y =1x=2代入原方程组， 得{2a +b =22a−b=4， 解得{a =32b =−1．2a −3b =2×32−3×(−1)=6． 故选：B ．把原方程组的解代入方程组，求出a ，b 的值，再代入所求代数式即可．此题很简单，考查了二元一次方程组的解的定义，所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．8.【答案】A【解析】解：设原来的平均车速为xkm/ℎ，则根据题意可列方程为：180x−180(1+50%)x =1．故选：A ．直接利用在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，利用时间差值得出等式即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．9.【答案】B【解析】解：根据题意得 {m −4<02m +1≥0，≤m<4．解得−12故选：B．依据一次函数y=(m−4)x+2m+1的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围．本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．10.【答案】B【解析】解：连接BI、CI，如图所示：∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI，由平移得：AB//DI，∴∠ABI=∠BID，∴∠CBI=∠BID，∴BD=DI，同理可得：CE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=5，即图中阴影部分的周长为5，故选：B．连接BI、CI，由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI=∠CBI，由平移得AB//DI，则∠ABI=∠BID，推出∠CBI=∠BID，得出BD=DI，同理可得CE=EI，△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+BD+CE=BC=5，即可得出结果．本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．11.【答案】A【解析】解：A、这组数据的平均数(15+30×2+40×4+50×2+65)÷10=40，[(15−40)2+2(30−40)2+4(40−40)2+2(50−40)2+(65−40)2]=则方差是：110165，故本选项错误；B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，正确；C、根据A可得，平均数是40，正确；D、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是(40+40)÷2=40，则中位数是40，正确；故选：A．根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了加权平均数、众数、中位数和极差，掌握中位数、众数、加权平均数和极差的定义和计算公式是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1<x<4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，=1，∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a<0，∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3)，B点(4,0)∴当1<x<4时，y2<y1，所以⑤正确．故选C．13.【答案】x≥−1且x≠0【解析】【分析】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥−1且x≠0．故答案为：x≥−1且x≠0．14.【答案】−3a【解析】【分析】本题主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式√a2规律总结：当a≥0时，√a2=a；当a≤0时，√a2=−a.解题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号．根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．【解答】解：∵a<0，∴|√a2−2a|=|−a−2a|=|−3a|=−3a．故答案为：−3a．15.【答案】9【解析】解：∵√81<√84.1<√100，即：9<√84.1<10，∴√84.1的整数部分是9，故答案为：9．根据√81<√84.1<√100，即：9<√84.1<10，由此得出√84.1的整数部分是9，本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．16.【答案】716【解析】解：大圆面积：π×402=1600π，小圆面积：π×232=900π，阴影部分面积：1600π−900π=700π，飞镖击中阴影区域的概率：700π1600π=716，故答案为：716．首先计算出大圆和小圆的面积，进而可得阴影部分的面积，再求出阴影部分面积与总面积之比即可得到飞镖击中阴影区域的概率．此题主要考查了概率，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．17.【答案】122018【解析】解：∵正方形ABCD 的边长为1，∴AB =1，AC =√2，∴AE =AO 1=√22， 则：AO 2=12AB =12，∴S 2=12，S 3=14，S 4=18，∴作的第n 个正方形的面积S n =12n−1，∴第2019个正方形的面积是122018，故答案为：122018．由正方形ABCD 的边长为1，根据正方形的性质，即可求得AO 1，EO 2的值，则可求得S 2，S 3，S 4的值，即可求得规律所作的第n 个正方形的面积S n =12n−1．此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n 个正方形的面积S n =12n−1． 18.【答案】53【解析】解：∵D′是BC 的中点，∴D′C =12BC =4；由折叠的性质知：DF =D′F ，设CF =x ，则D′F =DF =6−x ；在Rt △CFD′中，根据勾股定理得：D′F 2=CF 2+CD′2，即：(6−x)2=x 2+42，解得x =53；故CF =53．根据折叠的性质知：DF =D′F ，可在Rt △CFD′中，用CF 的长表示出D′F ，进而由勾股定理求得CF 的值．本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应的边相等．19.【答案】解：原式=2−√2−1+2√2=1+√2．【解析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x+1(x+1)(x−1)]⋅(x+1)(x−1)=x2−x+x+1(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)=x2+1，∵x≠±1，∴x可取±2和0，当x=2时，原式=22+1=5，当x=−2时，原式=(−2)2+1=5，当x=0时，原式=02+1=1．【解析】先将括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后根据分式成立的条件选取符合题意的x的值代入计算．本题考查分式的化简求值，理解分式成立的条件(分母不能为零)，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．21.【答案】30%【解析】解：(1)分析扇形图可得：第四个月销量占总销量的百分比为：1−(15%+30%+25%)=30%；(2)根据扇形图及(1)的结论，可补全折线图如图2；(3)根据题意可得：第四个月售出的电视机中，共400×30%=120台，其中B品牌电视机为80台，故其概率为80120=23；(4)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A品牌的月销量呈下降趋势，而B 品牌的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B品牌电视机．(1)分析扇形图，易得答案；(2)根据扇形图，可补全折线图；(3)根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小；(4)比较折线图，经销销量好的那个品牌．本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】证明：作OG⊥DF于G.连接OE．∵BD=DC，BO=OA，∴OD//AC，∴∠ODG=∠DFC，∵∠OGD=∠DCF=90°，OD=DF，∴△OGD≌△DCF(AAS)，∴OG=CD，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE//BC，∵OD//CE，∴四边形CDOE是矩形，∴CD=OE，∴OG=OE，∴DF是⊙O的切线．(2)设OE=x，则BD=DC=OE=x，∵sinB=√3，2∴∠B=60°，∴在Rt△OBD中，OD=BD⋅tan60°=√3x，在Rt△DCF中，∵DF2=CF2+DC2，∴(√3x)2=22+x2，解得，x=√2，∴⊙O的半径为√2．【解析】(1)作OG⊥DF于G.连接OE.证出△OGD≌△DCF可得OG=CD，证明OG=OE即可解决问题；(2)可知∠B=60°，设OE=x，则BD=DC=OE=x，在Rt△DCF中，由勾股定理得方程(√3x)2=22+x2，解出x即可．本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．23.【答案】解：(1)连接OE，∵四边形OABC是矩形，∴BC//AD，∴S△COE=S△DCE=4，(k≠0,x>0)的图象上，∵点E在反比例函数y=kx∴k=8，∴反比例函数的表达式为8；x(2)∵点F 、点E 在反比例函数y =k x (k ≠0,x >0)的图象上，∴设E(m,8m )，F(n,8n )，∴B(n,8m )，A(n,0)，∴CE =m ，BE =n −m ，BF =8m −8n =8(n−m)mn ，AF =8n ， ∴BE CE =n−m m ，BF AF =8(n−m)mn 8n =n−m m ， ∴BE CE =BF AF ．【解析】(1)连接OE ，根据矩形的性质得到BC//AD ，得到S △COE =S △DCE =4，由点E 在反比例函数y =k x (k ≠0,x >0)的图象上，于是得到结论；(2)设E(m,8m )，F(n,8n )，于是得到B(n,8m )，A(n,0)，求得CE =m ，BE =n −m ，BF =8m −8n =8(n−m)mn ，AF =8n ，即可得到结论． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．24.【答案】解：(1)y ={−2x +150(40≤x ≤60)−x +90(60<x ≤80)(且x 是整数)；(2)当40≤x ≤60时，W =(−2x +150)(x −40)=−2x 2+230x −6000=−2(x −57.5)2+612.5．∴x =57或58时，W 最大=612；当60<x ≤80时，W =(−x +90)(x −40)=−x 2+130x −3600=−(x −65)2+625． x =65时，W 最大=625．∴定价为65元时，利润最大．(3)3000÷5=600．当40≤x ≤60时，W =(−2x +150)(x −40)=−2(x −57.5)2+612.5=600， 解得x 1=55，x 2=60．当60<x ≤80时，W =(−x +90)(x −40)=−(x −65)2+625=600，解得x 1=70，x 2=60(舍)．答：售价为55元，60元，70元都可在5年收回投资．【解析】(1)根据图象可知分为40≤x ≤60与60<x ≤80两段，且都是一次函数，利用待定系数法即可求得解析式；(2)分别从当40≤x ≤60时与当60<x ≤80时去分析，注意当40≤x ≤60时，W =(−2x +150)(x −40)，当60<x ≤80时，W =(−x +90)(x −40)，利用二次函数的知识求解即可；(3)首先求得五年的投资，则分别从当40≤x ≤60时与当60<x ≤80时去分析即可求得答案．此题考查了一次函数与二次函数的知识，注意待定系数法的应用．解题的关键是注意数形结合思想的应用．(1)当40⩽x ⩽60(且x 是整数)时，设y =kx +b(k ≠0)，根据图像可得{40k +b =7060k +b =30, 解得{k =−2b =150, 故y =−2x +150，同理可得当60<x ⩽80(且x 是整数)时，y =−x +90．25.【答案】解：(1)令x =0，则y =c ，故点C(0,c)，∵且O ，C 两点间的距离为3，则|c|=3，解得：c =±3，故点C(0,3)或(0,−3)；(2)∵x 1⋅x 2<0，①如点C(0,3)，把点C 代入y 2=−3x +t ，即t =3，y 2=−3x +3，把点A(x 1,0)代入y 2=−3x +3解得：x 1=1，故点A(1,0)，∵|x 1|+|x 2|=4，x 1、x 2异号，则1−x 2=4，则x 2=−3，则点B(−3,0)，把点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{a +b +3=09a −3b +3=0，解得：{a =−1b =−2， 故y 1=−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，当x≤−1，y1随x最大而最大；②若点C(0,−3)同理可得：y1=−(x−1)2−4，当x≥1，y1随x最大而最大；综上，若c=3，当x≤−1，y1随x最大而最大；若c=−3，当x≥1，y1随x最大而最大；(3)①如点C(0,3)，y1=−(x+1)2+4，y2=−3x+3，y1、y2平移后对应函数y3、y4的表达式为：y3=−(x+1+n)2+4，y4=−3x+3−n，当x≤−1−n时，y3随x增大而增大，y3、y4有公共点，即：x=−1−n时，y3≥y4，−(−1−n+1+n)2≥−3(−1−n)+3−n，解得：n≤−1(舍去)；②若点C(0,−3)同理可得：(1−n−1+n)2−4≤−3(1−n)−3−n，解得：n≥1，故：n≥1时，2n2−5n=2(n−54)2−258，∵2>0，故2n2−5n有最小值为−258．【解析】(1)令x=0，则y=c，故点C(0,c)，因为且O，C两点间的距离为3，则|c|=3，即可求解；(2)、(3)分点C(0,3)或(0,−3)两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移等，其中(2)、(3)，都要注意分类求解，避免遗漏．26.【答案】解：(1)y=x2+6x+5的顶点为(−3,−4)，即y=mx2+nx+p的顶点的为(3,−4)，设y=mx2+nx+p=a(x−3)2−4，y =x 2+6x +5与y 轴的交点M(0,5)，即y =mx 2+nx +p 与y 轴的交点M(0,5)．即a =1，所求二次函数为y =x 2−6x +5．猜想：与一般形式抛物线y =ax 2+bx +c 关于y 轴对称的二次函数解析式是y =ax 2−bx +c ．(2)过点C 作CD ⊥BM 于D ．抛物线y =x 2−6x +5与x 轴的交点A(1,0)，B(5,0)，与y 轴交点M(0,5)，AB 中点C(3,0)．故△MOB ，△BCD 是等腰直角三角形，CD =√22BC =√2． 在Rt △MOC 中，MC =√34．则sin∠CMB =CD MC =√1717．(3)设过点M(0,5)的直线为y =kx +5{y =kx +5y =x 2−6x +5， 解得{x 1=0y 1=5{x 2=k +6y 2=k 2+6k +5则a =k +6，b =k 2+6k +5．由已知a ，b 是方程x 2−x +q =0的两个根，故a +b =1．即k +6+k 2+6k +5=1，化简k 2+7k +10=0，则k 1=−2，k 2=−5．点N 的坐标是(4,−3)或(1,0)．【解析】(1)可先求出抛物线y =x 2+6x +5的顶点坐标，然后根据两抛物线关于y 轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数与y 轴的交点M 的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式．两抛物线关于y 轴对称，其开口方向，开口大小以及与y 轴的交点都一样，因此a 、c 的值不变，而两函数的对称轴关于y 轴对称，因此b 值互为相反数，因此与一般形式抛物线y =ax 2+bx +c 关于y 轴对称的二次函数解析式为y =ax 2−bx +c ．(2)本题要先求出A 、B 、M 的坐标，过C 作CD ⊥BM 于D ，那么关键是求出CD 和MC的长，可在直角三角形CDB中，用BC的长和∠MBA的正弦值求出CD的长，然后在直角三角形OCM中，根据勾股定理求出CM的长，据此可得出sin∠CMB的值．(3)可设直线的解析式为y=kx+5；由于N是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用k表示出a，b的值，由题意可知a，b为方程x2−x+q=0的两根，根据韦达定理可知a+b=1，由此可求出k的值，然后将k的值代入表示a，b的式子中即可求出N点的坐标．考查一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．。
