高数(同济第六版)第八章总结

1第八章 向量代数与空间解析几何

第一节 向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的

意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

3.向量的概念

4.向量的运算

教学难点：1.空间思想的建立

2.向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向

量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向

量）。

2．量的表示方法有: 、、

、等等。aiFOM

3．向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全ba

重合的向量）。

4．量的模：

向量的大小，记为、。aOM

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5．量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平ba//

行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a

二、向量的线性运算

1．加减法： 加法运算规律：平行四边形法则（有cba

时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－

4

ab

c

22． 即cbacba)(

3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为aaa

时，与同向，0)1(aa||||aa

时，0)2(0a

时，与反向，0)3(aa||||||aa

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么0aa

aa

a0



定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，a

使b＝a

例1：在平行四边形ABCD

中，设

，，试用aABbAD

和b

表示向量

、

、

和，这里M是平行四边aMAMBMCMD

形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4

解：，于是

AMAC2ba)(

四川建院土木1301

（数学兴趣小组）

目录

第一章 函数与极限薚……………………………………………………………………

第一节 函 数………………………………………………………………………………..

第二节 数列的极限…………………………………………………………………………………..

第三节 函数的极限…………………………………………………………………………………

第四节 无穷小与无穷大……………………………………………………………………………..

第五节 极限四则运算法则……………………………………………………………………………

第六节 极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………

第七节 无穷小的比较…………………………………………………………………………………

第八节 函数的连续性与间断点………………………………………………………………………

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性……………………………………………………..

第十节 闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………

第二章 导数与微分……………………………………………………………………….

第一节 导数的概念…………………………………………………………………………………….

第二节 函数的求导法则………………………………………………………………………………

第三节 初等函数的求导问题………………………………………………………………………….

双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………

第四节 高阶导数………………………………………………………………………………………

第五节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 相关辩化率……………………………

第六节 函数的微分…………………………………………………………………………………….

第八章多元函数的微分法及其应用之吉白夕凡创作

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求.

二、求下列函数的定义域：

1、2221)1(),(yxyxyxf};1|),{(22xyyx

2、xyzarcsin};0,|),{(xxyyx

三、求下列极限：

1、222)0,0(),(sinlimyxyxyx（0）

2、xyxxy3)2,(),()1(lim (6e)

四、证明极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在.

证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2xy趋于（0，0）时，极限为21,

二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在整个xoy面上连续。

证明：当)0,0(),(yx时，为初等函数，连续),(yxf。当)0,0(),(yx时，

)0,0(01sinlim22)0,0(),(fyxxyyx，所以函数在（0，0）也连续。所以函数

在整个xoy面上连续。

六、设)(2yxfyxz且当y=0时2xz，求f(x)及z的表达式.

解：f(x)=xx2，zyxyyx2222

§ 2 偏导数

1、设z=xyxexy ,验证zxyyzyxzx 证明：xyxyxyex,exyeyyzxz，zxyxexyxyxyyzyxzx

2、求空间曲线21:22yyxz在点（1,21,23）处切线与y轴正向夹角(4)

3、设yxyxyyxfarcsin)1(),(2, 求)1,(xfx ( 1)

欧阳学创编

欧阳学创编 第八章多元函数的微分法及其应用

时间：2021.03.03 创作：欧阳学

§ 1 多元函数概念

一、设]),,([:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求.

二、求下列函数的定义域：

1、2221)1(),(yxyxyxf};1|),{(22xyyx

2、xyzarcsin};0,|),{(xxyyx

三、求下列极限：

1、222)0,0(),(sinlimyxyxyx（0）

2、xyxxy3)2,(),()1(lim (6e)

四、证明极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在.

证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2xy趋于（0，0）时，极限为21,

二者不相等，所以极限不存在

五、证明函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在整个xoy面上连续。

证明：当)0,0(),(yx时，为初等函数，连续),(yxf。当)0,0(),(yx时，

)0,0(01sinlim22)0,0(),(fyxxyyx，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 欧阳学创编

欧阳学创编 在整个xoy面上连续。

六、设)(2yxfyxz且当y=0时2xz，求f(x)及z的表达式.

解：f(x)=xx2，zyxyyx2222

§ 2 偏导数

1、设z=xyxexy ,验证zxyyzyxzx

证明：xyxyxyex,exyeyyzxz，zxyxexyxyxyyzyxzx

2、求空间曲线21:22yyxz在点（1,21,23）处切线与y轴正向夹角(4)