《高等数学》同济第六版 第8章答案
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所以 dz =
2 ( xdx + ydy) x + y2
2
（2）由于
∂u = ∂x
x x +y +z
2 2 2
，
∂u = ∂y
y x +y +z
2 2 2
，
∂u = ∂z
z x + y2 + z2
2
所以 du =
1 x2 + y2 + z2
( xdx + ydy + zdz )
（3）由于
∂u ∂u 2x 2y ∂u 2z = 2 = 2 = 2 ， ， 2 2 2 2 ∂x x + y + z ∂y x + y + z ∂z x + y 2 + z 2 2 ( xdx + ydy + zdz ) x + y2 + z2
（1）在广告费用不限的条件下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的广告策略. 解： （1）目标函数为： R ( x, y ) = 15 + 15 x + 33 y − 8 xy − 2 x − 10 y ， ( x ≥ 0, y ≥ 0)
2 2
解方程组 ⎨
' ⎧ 3 9 ⎪ R x = 15 − 8 y − 4 x = 0 得唯一驻点: x = , y = . ' 4 4 ⎪ ⎩ R y = 33 − 8 x − 20 y = 0
∂z ∂z 3 y2 6. 设 z = + ϕ ( xy ) , ϕ 为可微的函数，求证： x 2 − xy + y 2 = 0 . ∂x ∂y 2 2x
证明：
y2 ∂z ∂z y = − 2 + yϕ ' ， = + xϕ ' ，于是 2x ∂x ∂y x 3 ∂z 3 ∂z y2 y − xy + y 2 = x 2 (− 2 + yϕ ' ) − xy ( + xϕ ' ) + y 2 = 0 ∂y 2 ∂x 2 x 2x
' ' '
则 Fx = 2 x + 2 ， F y = 2 y − 2 z ， Fz = −2 y − e ，
z
Fy' 2 y − 2 z Fx' 2 x + 2 ∂z ∂z =− ' = =− ' = ， ∂x Fz 2 y + e z ∂y Fz 2 y + e z
∂2 z 9. 设 e − xyz = 0, 求 ∂x∂y
2
(z + y
∂z z ∂z )(e − xy ) − yz (e z − x) ∂x ∂y (e z − xy ) 2
(z + y =
yz yz )(e z − xy ) − yz (e z z − x) e − xy e − xy (e z − xy ) 2
z
( ze z − xyz + y 2 z )(e z − xy ) − yz ( yze z − xe z + x 2 y ) x2 y2 z =− = 3. (e z − xy ) 3 ( e z − xy )
xy xy + 1 − 1
（3）
sin xy ( x , y ) →(0,1) x lim lim
(4)
( x , y ) → (0,0)
lim
解： （1）
1 − xy 1 = ; 2 2 ( x , y ) →(0,1) x + 2 y 2
ln( x + e y )
（2）
( x , y ) →(1,0)
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 1 1 2x 3x 2 = + ， = (2u ln v)( ) + (u 2 ) ⋅ 3 = 2 ln(3 x − 2 y ) + 2 y y (3 x − 2 y ) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x y v
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v x 1 = + = (2u ln v)(− 2 ) + (u 2 )(−2) ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y v y =− 2x 2 2x 2 ln( 3 x − 2 y ) − y3 y 2 (3x − 2 y )
约束条件为： x + y = 1.5 令 L( x, y, λ ) = 15 + 15 x + 33 y − 8 xy − 2 x − 10 y + λ ( x + y − 1.5)
2 2
⎧ Lx = 15 − 8 y − 4 x − λ = 0 ⎪ 解方程组 ⎨ Ly = 33 − 8 x − 20 y − λ = 0 得唯一驻点： x = 0, y = 1.5 . ⎪ L = x + y − 1.5 = 0 λ ⎩
求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解：目标函数为
L( x, y ) = 10 x + 9 y − [400 + 2 x + 3 y + 0.01(3 x 2 + xy + 3 y 2 )]
( x ≥ 0, y ≥ 0)
' ⎧ ⎪ L = 10 − 2 − 0.06 x − 0.01 y = 0 解方程组 ⎨ x' 得唯一驻点： x = 120, y = 80 ， ⎪ ⎩ L y = 9 − 3 − 0.06 y − 0.01x = 0
3.求下列函数的偏导数： (1)
z = x 3 + y 3 − 3 xy 2
(2)
z = x 2 ye y
xyz
(3) z = x ln( x + y ) 解： （1）
(4) w = e
∂z ∂z = 3x 2 − 3 y 2 ， = 3 y 2 − 6 xy ∂x ∂y
（2）
∂z ∂z = 2 xye y ， = x 2 e y + x 2 ye y ∂x ∂y x x ∂z ∂z ， = ln( x + y ) + = ∂x x + y ∂y x + y ∂w ∂w ∂w = yze xyz ， = xze xyz ， = xye xyz ∂x ∂y ∂z
12.求函数 f ( x , y ) = y 3 − x 2 + 6 x − 12 y + 5 的极值. 解：由 ⎨
' ⎧ ⎪ f x = −2 x + 6 = 0 得 x = 3, y = ±2 ，所以驻点为 (3,2), (3,−2) ， ' 2 = 3 − 12 = 0 f y ⎪ y ⎩
'' '' '' f xx = −2 ， f xy = 0 ， f yy = 6y ，
z
解：令 F ( x, y, z ) = e − xyz
z
则 Fx = − yz ， F y = − xz ， Fz = e − xy ，
' ' ' z
Fy' Fx' ∂z yz ∂z yz =− ' = z =− ' = z ， 。 ∂x Fz e − xy ∂y Fz e − xy
∂ z ∂ ∂z = ( )= ∂x∂y ∂y ∂x
由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即如果提供的广告费用为 1.5 万元，应全部用于报纸广告. 16.化二重积分
∫∫ f ( x, y )dσ 为二次积分，其中 D 是由
D
（1） x = 0, y = 0, y + x = 1 所围成的区域. （2） y = x , y =
10.设 z 解： z ′ x
′′ ′′ = xy + u , u = ϕ ( xy ) ，求 z′ x , z xx , z xy .
2 ′′ = y + yϕ '( xy ) ， z′′ xx = y ϕ ''( xy ) ， z xy = 1 + ϕ '( xy ) + xyϕ ''( xy )
（3）
（4）
4. 求下列函数的全微分： (1) (3)
z = ln( x 2 + y 2 )
u = ln( x 2 + y 2 + z 2 )
(2)
u = x2 + y2 + z 2
(4) z = arctan( xy )
解： （1）由于
2x 2y ∂z ∂z ， ， = 2 = 2 2 ∂x x + y ∂y x + y 2
由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即在广告费用不限的条件下， 最佳广告策略为： 电视广告费 元. （2）目标函数为： R ( x, y ) = 15 + 15 x + 33 y − 8 xy − 2 x − 10 y
2 2
3 9 万元、 报纸广告费 万 4 4
( x ≥ 0, y ≥ 0)
《第 8 章（部分）习题参考答案》
1. 求下列函数的定义域：
(1) z = (3) z =
x+y
(2)
z = ln( x + y )
R2 − x2 − y2 − z 2 + x2 + y2 + z2 − r 2
解： （1）要使函数有意义，只需 x ≥ 0 ，故该函数的定义域为 ( x, y ) x ≥ 0, −∞ < y < +∞ ； （2）要使函数有意义，只需 x + y > 0 ，故该函数的定义域为 {( x, y ) x + y > 0} ； （3）要使函数有意义，只需 ⎨
