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第2章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式和不等式性质
课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题．
教学重点：1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式．
教学难点：用作差法比较代数式的大小．
【知识导学】
知识点一等式的性质
(1)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c.
(2)如果a＝b，那么ac＝bc或a
c＝
b
c(c≠0)．
(3)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
知识点二作差比较法
(1)□01a－b>0⇔a>b；□02a－b＝0⇔a＝b；□03a－b<0⇔a (2)方法步骤：□04作差；②□05整理；③□06判断符号；④□07下结论．知识点三两个实数大小的比较 (1)a>b□01a－b>0； (2)a＝b⇔a－□02＝0； (3)□03a 知识点四不等式的性质 (1)如果a>b，那么b (2)如果a>b，且b>c，那么□03a>c，即a>b，b>c⇒□04a>c. (3)如果a>b，那么a＋c□05>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac□06>bc；如果a>b，c<0，那么ac□07 (5)如果a>b，c>d，那么a＋c□08>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac□09>bd； 如果a>b>0，c (7)如果a>b>0，那么a n□11>b n(n∈N，n≥2)． (8)□12a>b>0，那么n a>n b(n∈N，n≥2)． 【新知拓展】 1．关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的结论 (1)a>b，ab>0⇒1 a< 1 b； (2)b<0 a> 1 b； (3)a>b>0，c>d>0⇒a d> b c； (4)若a>b>0，m>0，则a b> a＋m b＋m ； a b< a－m b－m (b－m>0)； b a< b＋m a＋m ； b a> b－m a－m (b－m>0)． 3．比较大小的方法 比较数(式)的大小常用作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 题型一作差法比较大小 例1比较下列各组中两数的大小： (1)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2； (2)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x ； (3)已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4 x ＋y ，比较m 与n 的大小． [解] (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2) ＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． ∵a >0，b >0且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0， ∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. ∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3 4>0， ∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . (3)∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4 x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ). 又x ，y 均为正数， ∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)． 金版点睛 作差比较法的四个步骤 题型二 不等式的性质及应用 例2 下列命题正确的是________． ①c a b 且 c >0⇒a >b ； ②a >b 且c > d ⇒ac >bd ； ③a >b >0且c >d >0⇒ a d > b c ； ④a c 2>b c 2⇒a >b . [解析] ①⎩⎪⎨⎪⎧ c a b ；当a <0，b >0时，满足已知条件，但推不出a >b ， ∴①错误． ②当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立．∴②错误． ③⎩⎨⎧ a > b >0， c > d >0⇒a d >b c >0⇒ a d > b c 成立．∴③正确． ④显然c 2>0，∴两边同乘以c 2得a >b .∴④正确． [答案] ③④ 金版点睛 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论，也可举出一个反例予以否定. 题型三 利用不等式的性质证明不等式 例3 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac
