必修5 数列
2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3
a a a a a a a ++++=-则的值为
A ．14
B ．15
C ．16
D ．
17
3．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．
解：0912129=-=S S S S ，Θ10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，
，又
4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．
解：∵ΛΛ，，，
，，1001102030102010S S S S S S S ---
成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．
①求出公差d 的范围；
②指出1221S S S ，，
，Λ中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a
a a a S +=+=36(27)0a d =+>
②12671377666()013000
S a a S a a a S =+>=<∴<>∴Q ， 最大。
1． 已知等差数列{}n a 中，124971
16a a a a ，则，===+等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
794121215a a a a a +=+∴=Q A
2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．
54
3． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+=
1
1
10201930
123050
21019502
n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组
5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分
钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?
故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2
1
-++=
n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．
12122(1)(1)()
2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．
②1)1(311-+==+n n a n na a ，
{}21212152
2n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为
1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+
三、等比数列 知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．
2. 递推关系与通项公式
m
n m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2
，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式
)1(11)1()1(111
≠⎪⎩⎪⎨⎧--=
--==q q q
a a q
q a q na S n n
n
5. 等比数列的基本性质，),,,(*
∈N q p n m 其中
①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2
*+--∈⋅==
N n a a a a a q
m n m n n m
n m
n ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．
④若项数为()
*2n n N ∈，则
S q S =偶奇
．
⑤n
n m n m S S q S +=+⋅．
⑥Λ，
，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{}
)10(≠>c c c
n
a ，是等比数列；
②{}n a 是正项等比数列⇔{}
)10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；
③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：
⇒=+（常数）q a a n
n 1
{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(2
2
1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；
③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n
n ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）
（q k q k S n
n ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用
1．10310
7
4
22
222)(++++++=n n f Λ设()()()n N f n *∈，则等于
1342
2
2
2
(81)(81)(81)(81)7
777
n n n n A B C D +++----．．．．
D
2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．
3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=Λ．
⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121ΛΛ
)29(*∈成立．
