2012年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学模拟试卷

2017年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学试题附答案注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题36分；第Ⅱ卷为非选择题114分；全卷共150分．考试时间为120分钟.2.本试卷的选择题答案用2B 铅笔涂在机读卡上，非选择题在卷Ⅱ上作答.3.考生务必将自己的姓名及考号写在密封线以内指定位置.4.非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效.卷I （选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a =C 3±D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( )ABCDABCD 40°120°图1A．6 B．9C．12 D．155．把不等式2x-< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()A．点P B．点MC．点R D．点Q7．若220x x+=，则xy的值为（）A．6或0B．6-或0C．5或0D．8-或08．已知yxabbybbaxba,,,,0则--=-+=<<的大小关系是（）A．yx>B．x=y C．yx<D．与a、b的取值有关9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A B C E→→→运动，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y，则y关于x的函数的图象大致为（）图3A BDC（C）图410．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式子个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )A ．2B ．3C ．5D ．6卷Ⅱ(非选择题,共114分)二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．-的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6， 点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ． 15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克图8图7-1图7-2图5牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一 个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1； 若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2 （填“＞”、“＜”或“=”）．18．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况. A 说：B 第三名，C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名； D 说：C 第一名，B 第二名； E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）图10-1AC B C BA 图10-2图919．(1)（本小题满分8分）解方程：1211+=-x x . (2)（本小题满分8分）先化简再求值： 22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中22430a a +-=. 20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °．（2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 请你分析，应选哪所学校？甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图图11-1乙校成绩条形统计图图11-221．（本小题满分12分）如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与 坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直 线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． （1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ， 求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提高a 万元（a >0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？图13-2AD O BC 21MN图13-1AD BMN1 2图13-3A D OBC 21 MNO 23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图13-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图13-3，求ACBD的值．24．（本小题满分12分）如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中， 写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积． （3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由．25．（本小题满分14分）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点3(0,)2C -，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C两点，若b =，AB =求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ？Q图14 （备用图）并说明理由；（3）设直线BD交P于另一点E，求经过点E和P的切线的解析式．2018年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学参考答案一、选择题二、填空题13.5 14.5 15.71016.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D. 三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ， 3=x ．经检验知，3=x 是原方程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得2322a a +=，代入上式的原式23=………………8分20．解：（1）144；………………3分 （2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好．………………9分 （4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．………………12分分数图12222222212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⨯++--+--+=⨯+---++=⨯+--+=⨯+-=+=+原式21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=， ∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴ ⎩⎨⎧+==.60,3b k b解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形， ∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线321+-=x y 上， ∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵xmy =（x ＞0）经过点M （2，2）， ∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2）， ∴点N 的横坐标为4． ∵ 点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分 ∵ 当4=x 时，y =4x= 1， ∴点N 在函数 x y 4=的图象上．………………9分 （3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1） 设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:()20968028252090≤-+≤x x 解之得:5048≤≤x ………………2分所以 x=48、49、50 三种方案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。

绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数 学 试 题 卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、)72(--等于( )A 、27 B 、72 C 、27-D 、72-2、计算=-32)2(b a ( )A 、244b aB 、368b aC 、368b a -D 、358b a3、下列属于必然事件的是( )A 、度量三角形的内角和，结果是3600B 、2011年6月19日绵阳是雨天C 、掷一枚正方体骰子,向上的点数不小于1D 、从一副扑克牌中抽取一张，其点数是54、下列图形具有稳定性的是( )A 、矩形B 、平行四边形C 、菱形D 、直角三角形5、下列四边形：①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形，其中对角线一定相等的是( )A 、①②③B 、①②③④C 、①②D 、②③6、右图所示的三角形绕虚线旋转一周所得的几何体是( )DC BA7、右图是小明用八块相同的小正方体搭建的一个积木,它的俯视图是( )8、如图，一次函数b kx y +=的图象过点A 、B,则0>+b kx 的解集是( )A 、0>xB 、2>xC 、3->xD 、23<<-x9、南山中学高二某英才班40名学生为“希望小学”捐款，共捐1000元，捐款情况如下表：表中捐款20元和30元人数不小心被墨水污染，已经看不清楚，请你根据表中信息计算出捐款20元和30元的人数分别为( )A 、15人，12人B 、13人，14人C 、12人，15人D 、14人，13人10、如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，∠ACD=3∠BCD ，点E 是AB 中点，AB=10，线段DE 的长度为( )A 、3B 、5C 、25D 、225 11、如图,点C 是线段BD 上一点,在BD 同侧作正三角形ABC 和正三角形ECD,BE 交AC 于点M,AD 交CE 于点N,连结MN,则下列关系中不．正确．．的是( ) A 、BE=AD B 、DC=DN C 、CM=CND 、MN//BD12、如图,在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，点O 在斜边AB 上, 半径为2的圆O 过点B ，切AC 于点D,交BC 于点E,则图中阴影部分的周长为( )A 、π3121++B 、π3131++C 、π3231++ D 、π6122++AB CDE DCABOB第II 卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6个小题,每小题4分,共24分.13、分解因式：=-x x 43；14、如图,CD AB //,EF与AB 、CD 分别交于点E 、F ,EF EP ⊥,FP 平分EFD ∠，若 40=∠BEP ，则=∠EPF ；15、2011年4月，第六次全国人口普查结果公布，中国内地人口已达13.39亿人，用科学记数法表示这一数据应为 人；16、ABC ∆中任意一点),(00y x P 经平移后对应点为点)3,5(001-+y x P ，将ABC ∆作同样平移得到111C B A ∆，若点)3,2(-A ，则点1A 的坐标为 ；17、如图,南山中学数学研究性学习小组制作了一个脸谱,它的上半部分是半圆,眉心在圆心处,两眼在直径AB 上;下半部分是一段抛物线,下鄂恰好在顶点处. 经过测量，两眼所在的直径AB 长24cm ，下鄂点到头 顶中点长24cm .请你计算，过眉心且与直径AB 成45角的线段CD 的 长约为 cm .(参考数据:163.310,414.12≈≈,结果精确到18、如图,四边形ABCD 为矩形,4=AB ,3=AD ,把矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,点P 、Q分别是AD 、EC 中点,PQ 交AE 、CD 于点M 、N ,则线段MN 的长度为 。

参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 _______
18．一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水.任意转动这个正方体,则水 面在容器中的形状可以是 :(1) 三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是 ____________.(把你认为正确的序号都填上) 三．解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
由此还可以对某些函数的增减性进行判断和证明。
如：证明函数 f (x) 2 (x 0) 是减函数． x
证明：假设 x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1

2 x2

2(x2 x1) x1x2
∵ x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
2018 年自主招生考试 数学试卷 第 3页 共 4 页
20．（本小题满分 12 分） 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了 100 名学生，获得了他们一
周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
0 x2
6
2
2 x4
8
故 从 该 校 随 机 选 取 一 名 学 生 ， 估 计 其 该 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 概 率 为
0.9.
……………（8 分）
（3）样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4 组
…………（12 分）
(每小问 4 分。重点在估计二字上，规范酌情扣分)
4．使代数式 1 4 3x 有意义的非正整数 x 有（ ） x3

南山中学2012-2013学年高二12月月考数学（文）试题考生注意事项：⒈ 试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷将正确答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷用钢笔、签字笔在答题卷上作答；⒉ 考试时间 100 分钟，全卷满分 110 分 (含附加题10分)。

⒊ 附加题二选一，请将解题过程解答在相应的位置框内，多答默认第（1）小题为选做，不再重复计分，答错位置不给分。

第Ⅰ卷 选择题（ 48 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 4 分，共 48 分．请将正确答案填涂在机读卡上．1．不等式3260x y +-<表示的平面区域是 （ ）2．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++=D ．22(2)5x y ++=3．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．-164．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为 （ ） A ．920 B ．960 C ．808 D ．1200第10题 第6题5．设A 、B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点,则||AB = （ ） A ．1 B ．2 CD6．如右图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．237．已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ） A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能8．右图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中 判断框内应填入的条件是 （ ） A ．100<I B ．100<=I C ．50>I D ．50=I9．一束光线从点)11(，-A 出发经x 轴反射，到达圆C ：13-2-22=+）（）（y x 上一点的最短路程是 （ ）A ．4B ．5C ．32－1D ．2610．对某商店一个月内(按30天计)每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别 是 （ ） A ．47,45,56 B ．46,45,53 C ．46,45,56 D ．45,47,5311. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60) ，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观 察图形的信息，补全这个频率分布直方图后，估计本次考 试中的平均分（统计方法中，同一组数据常用该组区间的 中点值作为代表） （ ） A ．72 B ．71 C ．72.5 D ．7512．已知实系数一元二次方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个实根为21,x x ，且第8题第11题1,1021><<x x ，则ab的取值范围是 （ ） A ．]21,1(-- B ．)21,1(-- C ． ]21,2(-- D ．)21,2(--第Ⅱ卷 非选择题（ 共 62 分）注意事项：1．用钢笔或签字笔将答案直接写在答题卷上； 2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题， 每小题3分，共12分，把答案填在答题卷相应题号的横线上）13．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取一球,颜色为黑色的概率等于 ． 14．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 ______________________．15．函数y =____________．16．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题共两个小题，每题5分，满分10分）① 已知不等式220ax bx +->的解集是124x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，求,a b 的值；② 若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分10分）用秦九韶算法演算出多项式5432()7125635f x x x x x x =+--+-在2=x 时的值．(必须写出相应的完整步骤，只写答案不给分，缺少相应步骤将扣除相应的步骤分)19、(本小题满分10分)已知2≤x ,2≤y ,点P 的坐标为()y ,x（1）当Z y ,x ∈时，求P 的坐标满足1≥+y x 的概率。