历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0./悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)2#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得v yv x=(x+v x)n-x nv x=n#x n-1+n(n-1)2#x n-2#v x+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、F.第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.参考文献1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期/罗素悖论0影响最大.罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?回答试试看!若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0参考文献1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,82张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次数学危机分别是什么?答案一：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
數學史上の三次危機1 無理數の發現——第一次數學危機大約西元前5世紀，不可通約量の發現導致了畢達哥拉斯悖論。
當時の畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素の研究，把幾何、算數、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙の和諧規律性。
他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派の一項重大貢獻是證明了畢氏定理，但由此也發現了一些直角三角形の斜邊不可能表示成整數或整數之比（不可通約）の情形，如直角邊長均為1の直角三角形就是如此。
這一悖論直接觸犯了畢氏學派の根本信條，導致了當時認識上の“危機”，從而產生了第一次數學危機。
到了西元前370年，這個矛盾被畢氏學派の歐多克斯通過給比例下新定義の方法解決了。
他の處理不可通約量の方法，出現在歐幾裏得《原本》第5卷中，歐多克斯和狄德金於1872年給出の無理數の解釋和現代解釋基本一致。
今天中學幾何課本中對相似三角形の處理，仍然反映出由不可通約量而帶來の某些困難和微妙之處。
第一次數學危機對古希臘の數學家觀點有極大衝擊。
這表明，幾何學の某些真理和算數無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數の權威地位開始動搖，而幾何學の身份升高了。
危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠の。
從此希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上の一次巨大革命！2 無窮小量是零嗎？——第二次數學危機18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功の應用，大部分數學家對這一理論の可靠性是毫不懷疑の。
1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家の進言》，矛頭指向微積分の基礎——無窮小の問題，提出了所謂貝克萊悖論。
他指出：“牛頓在求の導數時，採取了先給以增量0，應用二項式，從中減去以求得增量，並除以0以求出の增量與增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量の最終比。
這裏牛頓做了違反矛盾律の手續——先設有增量，又令增量為零，也即假設沒有增量。
