【非】2016高三大一轮复习教师用书全书可编辑WORD文档基础案-第12章

第一篇教材复习讲义篇第1节集合◆考纲·了然于胸◆1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．[要点梳理]1．集合的概念与表示(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或∉.(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图．(4)常见集合的符号表示2．集合间的基本关系或∅⊆A，∅∅) 3．集合的基本运算提示：因为A∪B⊆A∩B，从而有A∩B＝A∪B，所以必有A＝B.4．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[小题查验]1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}[解析]∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁U M＝{3,5,6}．[答案] C2．(2016·宁德质检)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1[解析]∵A⊆B，∴a＋2＝1，∴a＝－1.故选B.[答案] B3．(2015·新课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2[解析]A＝{2,5,8,11,14,17，…}，A∩B＝{8,14}，故选D.[答案] D4．给出下列命题：①空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．②a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.③N⊆N*⊆Z④(A∩B)⊆(A∪B)，(∁U A)∪A＝U.其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)[解析]对于①，两元素集合不一定是三元素集合的子集，所以①不正确；对于②，元素与集合的关系是属于和不属于的关系，a在集合A中，应表示为a∈A，所以②不正确；对于③，由正整数集、自然数集、整数集的关系知，N*⊆N⊆Z，所以③不正确；对于④，由交集、并集、补集的意义知④正确．[答案]④5．(2016·中原名校联盟一模)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.[解析]由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0，或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.[答案]0或－2考点一集合的基本概念(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．[题组集训]1．(2016·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[解析] 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．[答案] D2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝______________.[解析] 因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.[答案] 23．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为________．[解析] 因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1. 当m ＝3时，M ＝{1,5,13}； 当m ＝1时，M ＝{1,3,5}；当m ＝－1时，M ＝{1,1,5}不满足互异性． 所以m 的值为3或1. [答案] 3或1考点二 集合间的基本关系(重点型考点——师生共研)【例】 (1)(2016·临沂模拟)已知集合A ＝{x|ax ＝1}，B ＝{x|x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0； 当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D. (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m≤2. 当B≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1＜2m，解得2＜m≤4. 综上，m 的取值范围为m≤4. [答案] (1)D (2){m|m≤4}互动探究 本例(1)中若A ＝{x|ax ＞1(a≠0)}，B ＝{x|x 2－1＞0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．[解析] 由题意，得B ＝{x|x ＞1，或x ＜－1}， 对于集合A ，①当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞1a .因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a ＞0，所以0＜a≤1.②当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a .因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a ＜0，所以－1≤a ＜0，综上所述，0＜a≤1，或－1≤a ＜0. [答案] [－1,0)∪(0,1] 【名师说“法”】(1)由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．(2)解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 跟踪训练(1)若集合A ＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] ∵A ＝{0,1,2，x}，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．[答案] B(2)已知集合A ＝{x|log 2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[解析] 由log 2x≤2，得0＜x≤4，即A ＝{x|0＜x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4. [答案] 4考点三 集合的基本运算(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]角度一 求交集1．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}[解析] 由已知得B ＝{x|－2＜x ＜1}，所以A∩B ＝{－1,0}，故选A. [答案] A 角度二 求并集2．(2016·南昌模拟)集合M ＝{x|x 2＋px ＋2＝0}，N ＝{x|x 2＋x －q ＝0}，M∩N ＝{2}，则M ∪N ＝( )A ．{1,2，－3}B ．{1,2,3}C ．{1，－2,3}D ．{－1,2,3}[解析] 选A.因为M∩N ＝{2}，所以2∈M 且.2∈N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2p ＋2＝0，4＋2－q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝6，所以M ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，故M ∪N ＝{1,2，－3}．[答案] A角度三 集合的交、并、补的综合运算3．(2016·湖州模拟)已知全集为R ，集合A ＝{x|e x ≥1}，B ＝{x|x 2－4x ＋3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x＜1或x＞3} D．{x|0＜x≤1或x≥3}[解析]选C.由A中不等式变形得：e x≥1＝e0，得到x≥0，即A＝{x|x≥0}，由B中不等式变形得：(x－1)(x－3)≤0，解得1≤x≤3，即B＝{x|1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x＜1或x＞3}，则A∩(∁B)＝{x|0≤x＜1或x＞3}．R[答案] C角度四利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．(2016·宁波模拟)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是________．[解析]∁R B＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.[答案][2，＋∞)[通关锦囊]集合基本运算的常见题型与破解策略：[题组集训]1．(2016·广东七校联考)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝() A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2][解析]选D.由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得1＜x＜4，即A＝(1,4)，∵B＝(－∞，2]，∴A∩B＝(1,2]．故选D.[答案] D2．(2016·济南模拟)已知集合P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，若P∩Q＝{2}，则P∪Q等于()A．{2,3} B．{1,2,3}C．{1，－1,2,3} D．{2,3，x，y}[解析]选B.∵P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，∴若P∩Q＝{2}，则log2x4＝2，即2x＝2，解得x＝1，则P＝{2,3}，Q＝{1，y}，则y＝2，即Q＝{1,2}，则P∪Q＝{1,2,3}，故选B.[答案] B3．(2016·宜宾模拟)已知集合M＝{y|y＝x2－2}，集合N＝{x|y＝x2－2}，则有() A．M＝N B．M∩(∁R N)＝∅C．N∩(∁R M)＝∅D．N⊆M[解析]选B.由集合N中的函数y＝x2－2，得到x∈R，所以集合N＝(－∞，＋∞)，由集合M中的函数y＝x2－2≥－2，得到集合M＝[－2，＋∞)，∴M≠N，M⊆N，M∩(∁R N)＝∅，故选B.[答案] B创新探究1以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．典例(2016·揭阳校级三模)对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：(Ⅰ)∀a，b∈A，都有a⊕b∈A(Ⅱ)∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；(Ⅲ)∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；(Ⅳ)∀a，b，c∈A，都有(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”；①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法；③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()A．①②B．①③C．②③D．①②③审题视角根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论．[解析]①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e ＝0，a、a′互为相反数；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e＝1，a、a′互为倒数．故选B.[答案] B方法点睛解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．即时突破(2016·潍坊模拟)设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a#b)#c＝a#(b#c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M.则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为______________．①{－2，－1,1,2}，②{1，－1,0}，③Z，④Q.[解析]①中，当a＝－1，b＝1时，a＋b＝0∉{－2，－1,1,2}，当a＝－2，b＝2时，a×b ＝－4∉{－2，－1,1,2}，故①中集合加法和乘法都不封闭．②中集合M＝{1，－1,0}满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故②中集合对加法运算和乘法运算都封闭．③中集合M＝Z满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭．④中集合M＝Q满足：(Ⅰ)对M中任意元素a，b，c都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(Ⅱ)对M中任意两个元素a，b，满足a×b∈M.故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭．[答案]②③④[课堂小结]【方法与技巧】1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．【失误与防范】1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．课时活页作业(一)[基础训练组]1．(2016·赤峰模拟)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝() A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}[解析]∵A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，∴A∩B＝{2}．故选B.[答案] B2．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁U B＝()A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}[解析]∵A＝{2,3,5}，∁U B＝{2,5}，∴A∩∁U B＝{2,5}．[答案] B3．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于() A．R B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．∅[解析] 由|x|≤2得－2≤x≤2，所以集合A ＝{x|－2≤x≤2}；由－1≤x≤2得－4≤－x 2≤0，所以集合B ＝{y|－4≤y≤0}，所以A∩B ＝{x|－2≤x≤0}，故∁R (A∩B)＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)，选B.[答案] B4．(2016·西安一模)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y)|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A∩B)的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 选C ，由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x－y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A∩B ＝{(2，－1)}，M 为A∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A∩B)的集合M 的个数是2，故选C.[答案] C5．(2016·济南模拟)已知集合A ＝{x||x －1|＜2}，B ＝{x|y ＝lg(x 2＋x)}，设U ＝R ，则A∩(∁U B)等于()A ．[3，＋∞)B ．(－1,0]C ．(3，＋∞)D ．[－1,0][解析] 化简集合后利用集合的运算法则求解．解不等式|x －1|＜2得－1＜x ＜3，所以A ＝{x|－1＜x ＜3}．要使函数y ＝lg(x 2＋x)有意义，则x 2＋x ＞0，解得x ＜－1或x ＞0，所以B ＝{x|x ＜－1或x ＞0}，∁U B ＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩(∁U B)＝(－1,0]，故选B.[答案] B6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y)|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A∩B ＝________.[解析] A 、B 都表示点集，A∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．[答案] {(0,1)，(－1,2)}7．已知集合A ＝{x|x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵1∉{x|x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x|x 2－2x ＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1. [答案] (－∞，1]8．(2016·南充调研)已知集合A ＝{x|4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是______________．[解析] 集合A ＝{x|4≤2x ≤16}＝{x|22≤2x ≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a≤2，b≥4，所以a －b≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]9．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A∩B)； (2){9}＝A∩B.[解] (1)∵9∈(A∩B)， ∴9∈A 且9∈B. ∴2a －1＝9或a 2＝9. ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3. 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3. 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.10．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．[解] 由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m ＋2}．(1)∵A∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 因此实数m 的取值范围是{m|m ＞5或m ＜－3}．[能力提升组]11．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x|x 2＝x}，B ＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}[解析] 由题意得集合A ＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是不在集合A 中，但在集合B 中的元素的集合，即(∁U A)∩B ，易知(∁U A)∩B ＝{－1,2}，故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．正确选项为A.[答案] A12．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P*Q ＝{z|z ＝a÷b ，a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P*Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P*Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．[答案] B13．(2016·广东二模)已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，那么M －(M －N)等于( )A ．M ∪NB ．M∩NC ．MD ．N[解析] 如图(1)为M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，则图(2)为M －(M －N)，特别的，当N ⊆M 时，图(3)为M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉N}，则图(4)为M －(M －N)，∴M －(M －N)＝M∩N.[答案] B14．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m)(x －2)＜0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________.[解析] A ＝{x ∈R||x ＋2|＜3}＝{x ∈R|－5＜x ＜1}， 由A∩B ＝(－1，n)，可知m ＜2，则B ＝{x|m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案] －1 115．(2016·福州月考)已知集合A ＝{x|1＜x ＜3}，集合B ＝{x|2m ＜x ＜1－m}． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x|－2＜x ＜2}， 则A ∪B ＝{x|－2＜x ＜3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，解得m≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A∩B ＝∅，得①若2m≥1－m ，即m≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第2节命题与命题的四种形式、充分条件与必要条件◆考纲·了然于胸◆1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．[要点梳理]1．命题的概念能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．质疑探究：一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．充分条件、必要条件与充要条件[小题查验]1．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x≥y ，则x 2≥y 2”[解析] 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y”的逆否命题是“若x≤y ，则x 2≤y 2”．[答案] C2．(2015·高考浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 利用特值法；当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故不是充分条件；当a ＝－3，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，故不是必要条件，所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件，故选D.[答案] D3．给出命题：“若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] 原命题显然正确，其逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题．故选D.[答案] D4．“x ＞2”是“1x ＜12”的________条件．[解析] ①x ＞2⇒2x ＞0⇒x 2x ＞22x ⇒1x ＜12， ∴“x ＞2”是“1x ＜12”的充分条件．②1x ＜12⇒x ＜0或x ＞2/⇒x ＞2. ∴“x ＞2”是“1x ＜12”的不必要条件．[答案]充分不必要5．下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．[解析]对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°/⇒30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．[答案]①③④考点一命题的四种形式及其关系(基础型考点——自主练透)[方法链接]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[题组集训]1．命题“若a＜0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．2C．4 D．不确定[解析]当a＜0时，Δ＝1－4a＞0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a ＜0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤14，显然a ＜0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．[答案] B2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确的命题的序号)． ①“若log 2a ＞0，则函数f(x)＝log 2x(a ＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M”与命题“若b ∈M ，则a ∉M”等价．[解析] 对于①，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f(x)＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M”与命题“若b ∈M ，则a ∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.[答案] ②④考点二 充分条件、必要条件与充要条件的判断(高频型考点——全面发掘)[考情聚焦]充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面，如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.角度一 与不等式相关的充分必要条件的判断1．(2015·高考天津卷)若x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由|x －2|<1得－1＜x －2＜1，∴1＜x ＜3 由x 2＋x －2>0，得(x ＋2)(x －1)>0，∴x<－2或x>1∴由|x －2|＜1⇒x 2＋x －2＞0，由x 2＋x －2＞0/⇒|x －2|＜1，∴“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件．[答案] A角度二 与平面向量相关的充分必要条件的判断2．(2016·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b”的充分而不必要条件．[答案] A角度三 与三角相关的充分必要条件的判断3．(2016·石家庄一模)若命题p ：φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，命题q ：f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当φ＝π2＋kπ，k ∈Z 时，f(x)＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.[答案] A角度四 与立体几何相关的充分必要条件的判断4．已知a ，b ，c 是实数，则b 2≠ac 是a ，b ，c 不成等比数列的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为命题“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”的逆否命题为“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac”是真命题，所以b 2≠ac 是a ，b ，c 不成等比数列的充分条件；因为“若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列”是假命题，所以“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac”是假命题，即b 2≠ac 不是a ，b ，c 不成等比数列的必要条件．故选A.[答案] A角度五 与立体几何相关的充分必要条件的判断5．(2014·浙江高考)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD.当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的充分不必要条件．[答案] A[通关锦囊]充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：[题组集训]1．(2016·济南模拟)设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若“N⊆M”，则有a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．[解析] 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x －a|在区间[－2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案] ①④考点三 利用充要条件求参数的取值(范围)(重点型考点——师生共研)【例】 (1)(2016·临沂模拟)已知p ：－2≤x≤10，q ：(x －a)(x －a －1)＞0，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(2)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[－1,2]D.⎝⎛⎦⎤2，12∪[2，＋∞) 思路点拨 (1)把问题转化为集合之间的关系，列关于a 的不等式求解．(2)¬q 的充分不必要条件是¬p ，等价于p 是q 的必要不充分条件，化简p 和q 后，借集合间的包含关系即可求得a 的范围．[解析] (1)由(x －a)(x －a －1)＞0，得x ＞a ＋1或x ＜a ，由题意，得{x|－＞a ＋1或x ＜a}．所以a ＋1＜－2或a ＞10，即a ＜－3或a ＞10. (2)由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f(x)＝x 2＋x －a 2＋a ，如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧－＝－a 2＋a ＋6＞0＝－a 2＋a ＋2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a≤2， ∴－1≤a≤2，故选C.[答案] (1)(－∞，－3)∪(10，＋∞) (2)C互动探究 本例(1)中，若p ：－2＜x ＜10，q ：(x －a)(x －a －1)≥0，其他条件不变，则a 的取值范围是________．[解析] 由(x －a)(x －a －1)≥0， 得x≥a ＋1或x≤a ，由题意得{x|－2＜x ＜＋1或x≤a}．所以a ＋1≤－2或a≥10，即a≤－3或a≥10. [答案] (－∞，－3]∪[10，＋∞) 【名师说“法”】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若¬p 是¬q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a≤－1或a≥6[解析] 设q ，p 表示的范围分别为集合A 、B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3所以－1≤a≤6.故选B. [答案] B思想方法1 等价转化思想在充要条件关系中的应用典例 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． [解析] 法一：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m≤x≤1＋m ，∴¬q ：A ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}， 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴¬p ：B ＝{x|x ＞10或x ＜－2}． ∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件． ∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜21＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m≤－2，1＋m ＞10，即m≥9或m ＞9. ∴m≥9.法二：∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m≤x≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴p ：P ＝{x|－2≤x≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜21＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m≤－21＋m ＞10即m≥9或m ＞9.∴m≥9. [答案] [9，＋∞)方法点睛 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．即时突破 已知不等式|x －m|＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则m 的取值范围是________．[解析] 由题意知：“13＜x ＜12”是“不等式|x －m|＜1”成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12是{x||x －m|＜1}的真子集． 而{x||x －m|＜1}＝{x|－1＋m ＜x ＜1＋m}，所以有⎩⎨⎧－1＋m≤13，1＋m≥12，解得－12≤m≤43.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. [答案] ⎣⎡⎦⎤－12，43[课堂小结]【方法与技巧】1．当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性．(2)等价法：p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件．(3)利用集合间的包含关系判断：建立命题p ，q 相应的集合：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，转化为判定A 与B 间的关系．【失误与防范】(1)判断命题的真假及写命题的四种形式时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q”的形式．(2)判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q”等语言．课时活页作业(二)[基础训练组]1．(2015·高考山东卷)若m ∈R ，命题若“m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由逆否命题定义可得答案为D. [答案] D2．(2016·温州调研)已知a ，b ∈R ，则“a ＝b”是“a ＋b 2＝ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 已知a ，b ∈R ，若a ＝b ＝－1，则a ＋b 2＝－1，ab ＝1，∴a ＋b2≠ab ；反过来，若a ＋b 2＝ab ，则⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝ab ，(a ＋b)2＝4ab ，∴(a －b)2＝0，∴a ＝b ，因此，“a ＝b”是“a ＋b 2＝ab ”的必要不充分条件．故选B.[答案] B3．(2014·新课标高考全国卷Ⅱ)函数f(x)在x ＝x 0处导数存在．若p ：f′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f(x)的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件[解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] C4．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a≥4 B ．a≤4 C ．a≥5D ．a≤5[解析] 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.[答案] C5．(2016·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a≠1且a≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a≠1或a≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a≠1或a≠－1，则直线l 1与l 2平行[解析] 命题“若A ，则B”的否命题为“若¬A ，则¬B”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．[答案] A6．若“x 2＞1”是“x ＜a”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．[解析] 由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a”的必要不充分条件，知由“x ＜a”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a≤－1，即a 的最大值为－1.[答案] －17．若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________． [解析] x ∉[2,5]且x ∉{x|x ＜1或x ＞4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞51≤x≤4，得1≤x ＜2. [答案] [1,2)8．(2016·保定模拟)设命题p ：2x －1x －1＜0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若p 是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[解析]2x －1x －1＜0⇒(2x －1)(x －1)＜0⇒12＜x ＜1，x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0⇒a≤x≤a ＋1. 由题意，得⎝⎛⎭⎫12，1，a ＋1]．。

第十二章 选修4系列(1)[a 11 a 12] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22， 则MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2．矩阵的变换 (1)矩阵变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)，或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(2)几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．[例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1，计算AB ，AC . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1，计算AB .(3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.[解] (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. (3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.[方法技巧]矩阵运算的规律(1)一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵的乘法不满足消去律．矩阵的变换[例2] (2017·南京、盐城二模)设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．[解] 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1. 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0. 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.[方法技巧] 1．变换的复合在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．2．矩阵乘法MN 的几何意义对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换． 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，β＝⎣⎢⎦⎥－3，求M (2α＋4β)．解：2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，则M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26. 2.[考点二]曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，则有(x －2y 2)＋y 2＝1，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1，即x 2－4xy ＋6y 2＝1.3.[考点二](2018·徐州市高三期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，若直线y ＝kx ＋1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点P (2,6)，求实数k 的值．解：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－12 12， 所以A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，将点(2,2)代入直线y ＝kx ＋1得k ＝12.4.[考点一、二]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 230⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫x ′22＋⎝⎛⎭⎫y ′32＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．二阶行列式 我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝ad －bc .3．特征值与特征向量(1)设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．[例1] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 6，求矩阵A －1B .[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [方法技巧]1．求逆矩阵的三种常用方法：(1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA －1＝A －1A ＝E (E 为单位矩阵)．(2)公式法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，记为det A ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A ，当且仅当detA ＝ad －bc ≠0.(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵． 2．对于矩阵A 和B ，若都存在逆矩阵，则 (1)若A 是B 的逆矩阵，则B 也是A 的逆矩阵； (2)可逆矩阵的逆矩阵唯一； (3)(A －1)－1＝A ；(4)E －1＝E ；(5)(AB )－1＝B －1A －1；(6)若A 是可逆矩阵，B 、C 是任意矩阵，则由AB ＝AC 可得B ＝C .特征值与特征向量[例2] 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎦⎥12.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)因为矩阵A 是矩阵A－1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－13 23.(2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．[方法技巧]矩阵A 的特征值与特征向量的求解策略(1)求矩阵A 的特征值与特征向量先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．(2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据Aα＝λα构建关于a ，b ，c ，d 的方程求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤acb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.[考点二] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.3.[考点二] (2018·苏北四市期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．解：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6,由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4.[考点二]已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 130.1. (2018·苏北四市摸底)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，得x ＝－12， y ＝4.2. (2018·南京、盐城、连云港、徐州模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解： (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)． 则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ′―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B ′的坐标为(－1,4)．4．(2018·南京、盐城模拟)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解： 由题意，矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )·(λ－1)，因为矩阵M 有一个特征值为2，所以f (2)＝0，所以a ＝2.设曲线C 上任意一点坐标为(x ，y )，在矩阵M 变换下得到的点为(x ′，y ′)，所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 2x ＋y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ， 代入方程x ′2＋y ′2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.5．(2017·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.6. (2018·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n 1的两个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2, 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 7. (2018·苏州期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36.突破点(一) 极坐标系(1)极坐标系如图所示，在平面上取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化3.1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． [解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. [易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2， 由坐标变换公式得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1， 即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22. 2.[考点一、二](2018·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 3.[考点二]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.[考点一、二](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点(二) 参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在这曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变数t 是参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).1.基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1. ∵t 2－1≥0， ∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，0≤y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1.第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·无锡联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0＜y ＜6， 所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0＜y ＜6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2.[考点二](2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3.[考点二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4.[考点二](2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.突破点(三) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意选择极点、极轴的位置，注意“点和极坐标”的“一对多”特性.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用．圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切， 当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d ＜1，直线l 与曲线C 1相交．(2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简， 得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0. (2)因为直线l 与圆C 恒有公共点， 所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞. 3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.1. (2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B ，求线段AB 的长． 解：曲线C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3，0)为圆心，2为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ，所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝⎛⎭⎫322＝13.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3. (2018·南京模拟)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解：M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，故直角坐标为M (0,1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝－3sin 2θ－2sin θ＋5 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin θ＋132＋163，sin θ∈[－1,1]． 所以当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223.所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫±423，－13.4．(2018·盐城模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －2)2＝4，它表示以(0,2)为圆心，半径是2的圆． 由圆心到直线l 的距离d ＝|0－2－2|22＋12＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交． 5．(2018·泰州期中)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.7．(2018· 扬州期初)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1∶x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.突破点(一) 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 2．绝对值不等式的性质(1)性质1：|a |＋|b |≥|a ＋b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)性质2：|a |－|b |≤|a ＋b |. (3)性质3：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.(4)推论：|a －b |≤|a －c |＋|b －c |，当且仅当(a －c )(b －c )≤0时，等号成立.绝对值不等式的解法[例1] (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0. (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.(2)①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．证明绝对值不等式[例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例3] (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立时a 的取值范围． [解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 017，x ≥2 017，2 017，x ＜2 017.因为f (x )在[2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为[2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |＞2恒成立， 即(|x ＋1|＋|x －a |)min ＞2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |＞2，解得a ＞1或a ＜－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞).能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[解：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，－(x －1)＋(x －5)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2。

第1节磁场及其对电流的作用[精题对点诊断]1．[磁感线的特点]下列关于磁场和磁感线的描述中正确的是()A．磁感线可以形象地描述各点磁场的方向B．磁感线是磁场中客观存在的线C．磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止D．实验中观察到的铁屑的分布就是磁感线【解析】磁感线可以形象地描述磁场的强弱和方向，但它不是客观存在的线，可用细铁屑模拟；在磁铁外部磁感线由N极到S极，但内部是由S极到N极，故只有A正确．【答案】 A2．[认识地磁场]19世纪20年代，以塞贝克(数学家)为代表的科学家已认识到：温度差会引起电流，安培考虑到地球自转造成了太阳照射后正面与背面的温度差，从而提出如下假设：地球磁场是由绕地球的环形电流引起的．则该假设中的电流方向是(注：磁子午线是地球磁场N极与S极在地球表面的连线) ()A．由西向东垂直磁子午线B．由东向西垂直磁子午线C．由南向北沿磁子午线D．由赤道向两极沿磁子午线【解析】如图所示，考虑地球的自转方向，利用安培定则可以判定磁场是由东向西的环形电流产生的，故选项B 正确．【答案】 B3．[应用安培定则]下列四图为电流产生磁场的分布图，正确的分布图是()图8－1－1A．①③B．②③C．①④D．②④【解析】由安培定则可以判断出直线电流产生的磁场方向，①正确、②错误；③和④为环形电流，注意让弯曲的四指指向电流的方向，可判断出④正确、③错误．故正确选项为C.【答案】 C4．[左手定则]在图中，标出磁场B的方向，通电直导线中电流I的方向，以及通电直导线所受磁场力F的方向，其中正确的是()【解析】根据左手定则，A错误、C正确．电流与磁感线平行时，通电直导线不受安培力，B错误．安培力的方向应和磁感线垂直，D错误．【答案】 C5．[磁通量与条形磁铁的磁场]如图8－1－2所示，条形磁图8－1－2铁竖直放置，一水平圆环从磁铁上方位置Ⅰ向下运动，到达磁铁上端位置Ⅱ，套在磁铁上到达中部Ⅲ，再到磁铁下端位置Ⅳ，再到下方Ⅴ.磁铁从Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ→Ⅴ过程中，穿过圆环的磁通量变化情况是()A．变大，变小，变大，变小B．变大，变大，变小，变小C．变大，不变，不变，变小D．变小，变小，变大，变大【解析】从条形磁铁磁感线的分布情况看，穿过圆环的磁通量在位置Ⅲ处最大，所以正确选项为B.【答案】 B[基础知识回顾]一、磁场、磁感强度1．磁场(1)基本特性：磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用．(2)方向：小磁针的N极所受磁场力的方向．2．磁感线在磁场中画出一些曲线，使曲线上每一点的切线方向都跟该点的磁感应强度的方向一致．3．磁体的磁场和地磁场4．磁感应强度(1)物理意义：描述磁场强弱和方向．(2)定义式：B＝FIL(通电导线垂直于磁场)．(3)方向：小磁针静止时N极的指向．(4)单位：特斯拉(T)5．匀强磁场(1)定义：磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场称为匀强磁场．(2)特点匀强磁场中的磁感线是疏密程度相同的、方向相同的平行直线．6．电流的磁场二、磁通量1．概念在磁感应强度为B的匀强磁场中，与磁场方向垂直的面积S和B的乘积．2．公式：Φ＝BS.(匀强磁场且B⊥S)3．单位：1 Wb＝1_T·m2.三、磁场对电流的作用——安培力1．安培力的大小(1)当磁场B与电流垂直时：F＝BIL.(2)当磁场B与电流平行时：F＝0.2．安培力的方向(1)用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内．让磁感线从掌心进入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向．(2)安培力的方向特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I 决定的平面．[基本能力提升]一、判断题(1)磁场中某点磁感应强度的大小，跟放在该点的试探电流元的情况有关. (×)(2)磁场中某点磁感应强度的方向，跟放在该点的试探电流元所受磁场力的方向一致.(×)(3)垂直磁场放置的线圈面积减小时，穿过线圈的磁通量一定减小．(×)(4)磁感线越密，磁场越强. (√)(5)通电导线放入磁场中，若不受安培力，说明该处磁感应强度为零. (×)(6)安培力一定不做功．(×)二、非选择题如图8－1－3所示，光滑的平行导轨倾角为θ，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨中接入电动势为E、内阻为r的直流电源，电路中有一阻值为R的电阻，其余电阻不计，将质量为m、长度为L的导体棒呈水平放于导轨上，并将导体棒由静止释放，求导体棒在释放的瞬间加速度的大小．图8－1－3【解析】从b向a看，画出侧视图受力如图所示，导体棒受重力mg、支持力FN和安培力F，由牛顿第二定律：mgsin θ－Fcos θ＝ma①F＝BIL②I＝ER＋r③由①②③式可解得a＝gsin θ－LBEcos θm(R＋r)【答案】gsin θ－LBEcos θm(R＋r)第2节磁场对运动电荷的作用[精题对点诊断]1．[洛伦兹力的理解]带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是()A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变【解析】因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝qvB，当粒子速度与磁场平行时F＝0.又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A项错误；因为＋q改为－q 且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小不变，所以B项正确；因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C项错误；因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D项错误．【答案】 B2．[洛伦兹力的方向判断](多选)如下图所示，对应的四种情况中，对各粒子所受洛伦兹力的方向的描述，其中正确的是()A．垂直于v向右下方B．垂直于纸面向里C．垂直于纸面向外D．垂直于纸面向外【解析】由左手定则可判断：A图中洛伦兹力方向垂直于v向左上方，B图中洛伦兹力垂直于纸面向里，C图中垂直于纸面向里，D图中洛沦兹力垂直于纸面向外，故选项B、D正确，选项A、C错误．【答案】BD3．[洛伦兹力的做功特点]带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是 ( )A ．洛伦兹力对带电粒子做功B ．洛伦兹力不改变带电粒子的动能C ．洛伦兹力的大小与速度无关D ．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向【解析】 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，选项A 错、选项B 正确．根据F ＝qvB ，可知洛伦兹力的大小与速度有关，C 错误；洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小，选项D 错误．【答案】 B[基础知识回顾]一、洛伦兹力1．洛伦兹力的方向(1)判断方法：左手定则⎩⎪⎨⎪⎧ 磁感线垂直穿过掌心 四指指向正电荷运动的方向 拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B和v决定的平面．(注意：B和v不一定垂直)．2．洛伦兹力的大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.3．洛伦兹力的特点洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．二、带电粒子在匀强磁场中的运动1．粒子的运动性质(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．2．半径和周期公式[基本能力提升]一、判断题(1)带电粒子在磁场中一定会受到磁场力的作用. (×)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)(3)根据公式T＝2πrv，可知带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比．(×)(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关．(√)二、选择题(多选)如右图8－2－1所示，在匀强磁场中，磁感应强度B1＝2B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区运动到B2磁场区域时，粒子的()图8－2－1A．速率将加倍B．轨迹半径加倍C．周期将加倍D．做圆运动的角速度将加倍【解析】因为洛伦兹力不做功，所以粒子速率不会改变．据r＝mvqB，B减半，r加倍；据T＝2πmqB，B减半，T加倍；据ω＝2πT，T加倍，ω减半．【答案】BC第3节带电粒子在复合场中的运动[精题对点诊断]1．[电子在复合场中的直线运动]一个电子穿过某一空间而未发生偏转，则()A．此空间一定不存在磁场B．此空间一定不存在电场C．此空间可能只有匀强磁场，方向与电子速度方向垂直D．此空间可能同时有电场和磁场【解析】当空间只有匀强磁场且电子的运动方向与磁场方向垂直时，电子受洛伦兹力作用，会发生偏转，选项C 错误；当电子的运动方向与磁场平行时，不受洛伦兹力，不发生偏转，选项A错误；当空间既有电场又有磁场，且两种场力相互平衡时，电子不会发生偏转，选项D正确；当空间只有匀强电场，电子运动方向与电场线平行时，运动方向不变化，选项B错误．【答案】 D2．[速度选择器](多选)图8－3－1为一“滤速器”装置的示意图．a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能沿水平直线OO′运动，由O′射出．不计重力作用．可能达到上述目的的办法是()图8－3－1A．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里B．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里C．使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外D．使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外【解析】电子能沿水平直线运动，则电子所受的电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，当a板电势高于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向里，所以选项A 正确、选项C错误；当a板电势低于b板时，根据左手定则判断，磁场方向应垂直纸面向外，所以选项D正确、选项B 错误．【答案】AD3．[电磁流量计] 图8－3－2是电磁流量计的示意图．圆管由非磁性材料制成，空间有匀强磁场．当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上MN两点的电势差U，就可以知道管中液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体的体积．已知管的直径为d，磁感应强度为B，则关于Q 的表达式正确的是()图8－3－2A ．Q ＝πdU BB ．Q ＝πdU 4BC ．Q ＝πd 2U 4BD ．Q ＝πd 2U B 【解析】 设液体流速为v ，则有：U d q ＝Bvq ，v ＝U Bd，液体的流量Q ＝v·14πd 2＝πdU 4B，故选项B 正确． 【答案】 B[基础知识回顾]一、带电粒子在复合场中的运动1．复合场(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现.2．运动情况分类(1)静止或匀速直线运动．当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态．(2)匀速圆周运动．当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)较复杂的曲线运动．当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．(4)分阶段运动．带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．二、应用实例1．质谱仪(1)构造：如图8－3－3所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等组成．图8－3－3(2)原理：①粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理有qU ＝12mv 2.②粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，qBv ＝mv 2r.③由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＝1B 2mU q ，m ＝qr 2B 22U ，q m ＝2U B 2r 2. 2．回旋加速器(1)构造：如图8－3－4所示，D 1、图8－3－4D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．(2)原理：交变电流的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电场强度方向周期性地发生变化，粒子就会被一次一次地加速．由qvB＝mv2R，得E km＝q2B2R22m，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径R决定，与加速电压无关．3．速度选择器(1)原理图图8－3－5(2)规律若qv0B＝qE，即v0＝EB，粒子做匀速直线运动4．磁流体发电机(1)原理图图8－3－6(2)规律：等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极带电，当q U d＝qv 0B 时，两极板间能达到最大电势差U ＝Bv 0d. 5．电磁流量计(1)原理图图8－3－7(2)规律当q U d ＝qvB 时，有v ＝U Bd ，流量Q ＝Sv ＝πdU 4B. 6．霍尔效应(1)原理图图8－3－8(2)规律在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现了电势差，这种现象称为霍尔效应[基本能力提升]一、判断题(1)带电体在复合场中运动时，必须要考虑重力．(×)(2)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态.(×)(3)带电粒子在一定的条件下，在复合场中可以做匀速圆周运动．(√)(4)当正电荷在速度选择器中做匀速直线运动时，负电荷以同样大的速度不可能做匀速直线运动．(×)(5)电磁流量计测量的是液体的体积．(×)(6)磁流体发电机两极板间的最大电势差为U＝Bvd，其中v为电荷定向移动的速率．(×)二、选择题(多选)一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域．设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示．在下列的几种图中，可能出现的是()【解析】根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定带电粒子带电的正、负．选项A、C、D中粒子带正电，选项B中粒子带负电．再根据左手定则判断粒子在磁场中偏转方向，可以确定选项A、D正确，选项B、C错误．【答案】AD。

课时规范训练[单独成册]1．下列关于有机物的叙述正确的是()A．乙醇可以被氧化为乙酸，二者均能发生酯化反应B．人体内的蛋白质不断分解，最终生成水和二氧化碳排出体外C．我国居民传统膳食以糖类为主，淀粉、脂肪都是糖类物质D．由CH2===CH—COOCH3合成的聚合物为CH2CHCOOCH 3答案：A2．某有机物的结构如图，该有机物不行能具有的性质是()①可以燃烧氧化②能使酸性KMnO4溶液褪色③能跟NaOH溶液反应④能发生一个分子内或n个分子间酯化反应⑤能发生加聚反应⑥它有手性碳原子⑦能被催化氧化成醛⑧该有机物的碳原子存在sp2、sp3杂化A．①④B．④⑥C．⑤⑦D．只有⑥答案：D3．某同学用2 mL 1 mol/L的CuSO4溶液与4 mL 0.5 mol/L的NaOH溶液混合，然后加入0.5 mL 4%的HCHO溶液，加热至沸腾，未见红色沉淀，试验失败的主要缘由()A．甲醛量太少B．硫酸铜量少C．NaOH量少D．加热时间短解析：选C。

醛基和新制的氢氧化铜悬浊液反应必需在碱性条件下才能进行的，所以依据题意可知，氢氧化钠不足，试验不能成功，答案选C。

4．人们已进入网络时代。

常观看显示屏，会使人感到眼睛疲惫，甚至会对眼睛产生肯定的损害。

人眼中的视色素里含有视黄醛(见图a)，作为辅基的蛋白质，而与视黄醛相像结构的维生素A(见图b)常作为保健药物。

从结构上看，维生素A与视黄醛的关系是()A．同分异构体B．同系物C．维生素A是视黄醛的还原产物D．维生素A是视黄醛的氧化产物解析：选C。

从结构上看，a催化加氢得到b，即维生素A是视黄醛的还原产物。

5．有机物A、B均为合成某种抗支气管哮喘药物的中间体，A在肯定条件下可转化为B(如图所示)，下列说法正确的是()A．分子A中全部碳原子均位于同一平面B ．用FeCl 3溶液可检验物质B 中是否混有AC ．物质B 既能发生银镜反应，又能发生水解反应D ．1 mol B 最多可与5 mol H 2发生加成反应解析：选B 。