集合知识点总结精编版

集合知识点总结精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】第一章集合集合知识点总结： 一、集合1、集合的概念集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母,,...A B C 表示。

集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），通常用小写写英文字母,,...a b c 表示。

2、元素与集合的属于关系：∈∉、若a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：a A ∈，读作“a 属于A ”若a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：a A ∉，读作“a 不属于A ”。

3、空集∅：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。

6、常用数集的表示------------牢记，熟记自然数集（非负整数集）N ；正整数集N +或N *；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ；正实数集R +，均是无限集。

二、集合的表示法1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“⋅⋅⋅”代替。

2、描述法：元素的特征性质：如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素都具有性质()p x ，而不属于A 的元素都不具有性质()p x ，则()p x 叫做集合A 的一个特征性质。

()p x 是集合A 的一个特征性质，集合A 可以表示为(){}|x I p x ∈，它表示的集合A 为在集合I 中具有性质()p x 的所有元素构成的。

注意：若元素的范围为R 时，R ∈可以省略。

★经典例题：例一、现已知一个集合为{}21,,x x ，则实数x 满足的条件为。

【1,1,0x ≠-】 解：由于元素的互易性，因此得到关系221;1;x x x x ≠≠≠，从而解得1,1,0x ≠-。

例二、用适当的符号填空：0∈{}0；0∉∅；∅∈{}∅；0∉N +；{}0≠∅。

例三、给定集合A B 、，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈。

若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *的所有元素之和为。

【15】解：题意为从集合A 中任意选取一个元素，与集合B 中的任意一个元素作差，所得元素为集合A B *的元素，这里要注意元素的互异性。

故41,42,43,51,52,53,61,62,631,2,3,4,5x =---------=即{}1,2,3,4,5A B *=，元素之和为15。

例四、设集合{}{}22,3,23,3,2A a a B a =+-=+若已知5A ∈，且5B ∉，求实数a 。

解：由于5A ∈，故有2235a a +-=，解得4a =-或2。

但题目要求5B ∉，因此35a +≠，即2a ≠。

因此4a =-。

例五、实数集A 满足条件：1A ∉，若a A ∈，则11A a∈-。

（1）若2A ∈，求A ；（2）集合A 能否为单元素集合？若能，求出A ；若不能，说明理由；（3）求证：11A a-∈。

解：（1）由题意知，若a A ∈，则11A a ∈-。

因此2A ∈，则有1112A =-∈-。

由1A -∈，则111(1)2A =∈--。

由12A ∈，则12112A =∈-。

因此12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭（2）若让集合A 为单元素集合，必须满足11a a=-。

整理得到210a a -+=， 验证140∆=-<，因此没有a 满足上述方程，即集合A 不能为单元素集合。

（3）由于题意有若a A ∈，则11A a∈-。

因此当11A a ∈-时，可有1111111a A a a a-==-∈--。

例六、以下集合各代表什么：①{}2,M m m k k Z ==∈——偶数②{}21,X x x k k Z ==+∈——奇数这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。

③{}41,Y y y k k Z ==+∈——奇数④{}(,)1,P x y y x x R ==+∈——点集（有序数对集合） 几何意义：满足直线1y x =+图像上所有的点； 代数意义：满足二元一次方程1y x =+的解。

例七、若集合{}2(1)0A x x a x b =+-+=中，仅有一个元素a ，则a =【13】b =【19】解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。

其二为单元素即为a 。

因此得到两个关系式：将a 代入方程有()210a a a b +++=和()2140a b ∆=--=，从中求出11,39a b ==。

例八、已知集合{}2320A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈。

（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的范围； （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的范围。

解：（1）因为A 是空集，则必须要求方程2320ax x -+=无实根，即980a ∆=-<，因此98a >。

（2）若A 中只有一个元素，此时需要讨论a 是否为0。

当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =，符合题意；当0a ≠时，方程为2320ax x -+=，要求980a ∆=-=，即98a =。

综上所述，0a =或98。

（3）若A 中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。

只要综合（1）（2）的答案即可。

故a 的取值范围是0a =或98a ≥。

三、子集和真子集1、子集：集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集。

记作：A B ⊆或B A ⊇读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”若集合P 中存在着不是集合Q 的元素，则集合P 不是集合Q 的子集。

记作：P ⊆Q 或Q ⊇P注意：（1）自身性：A A ⊆，任何集合是它本身的子集。

（2）规定：A ∅⊆，空集是任何子集的真子集。

（3）∈与⊆区别：∈是从属关系，表示元素与集合之间的关系，⊆是包含关系，表示集合与集合之间的关系。

2、真子集：若集合A 是集合B 的子集（简化：若A B ⊆，数学语言的简洁），并且集合B 中至少含有一个元素不属于集合A ，则集合A 是集合B 的真子集。

记作：AB 或B A读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”注意：（1）空集∅是任何非空集合的真子集。

（2）A B ⊆A B = 3、韦恩图：包含关系的传递性,A B B C ⊆⊆，则A C ⊆；维恩图表示,A B B C ≠≠⊂⊂，则A C ≠⊂集合,,,,N N Z Q R +之间的关系，用维恩图表示 4、个数规律：（()card A 表示集合A 的元素个数） 元素 子集 真子集 非空子集 非空真子集,A B B A ⊆⊆，则A B =★经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合①{}(){}1,2,1,2A B ==--------------不是，一个是点集，一个是数集②{}{}|05,|05A x N x B x R x =∈<≤=∈<≤--------------不是，元素范围不同 ③{}(){}|21,,|21A y y x B x y y x ==+==+----------不是，一个是点集，一个是数集 ④{}{}|5,|5A x x B y y =>=>------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关 例二、用适当的符号填空：∅⊆{}a ；{}a ≠⊂{},a b ；{}a ⊆{}a ；∅≠⊂{}a ；{}1,2,3≠⊂{}1,2,3,4；∅⊆∅ 例三、若集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，且B A ⊆，则x =【0或3】 解：依题B A ⊆，则2x x =，或23x =，解出0,1,3x =；由于元素具有互异性，故舍去1。

例四、已知集合{}{}14,A x x B x x a =≤<=<，若A B ≠⊂，则实数a 的取值集合为【{}4a a ≥】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果； ④验证端点。

试验得到：4a >，当4a =时，由于A 集合也不含有4，故满足A B ≠⊂。

综上所述，{}4a a ≥。

例五、满足{}{}11,2,3M ≠⊆⊂的集合M 为【{}{}{}1,1,2,1,3】解：因为{}1M ⊆，因此M 中必须含有1这个元素。

又知道{}1,2,3M ≠⊂故得到{}{}{}1,1,2,1,3。

（{}1,2,3不满足真子集的要求） 四、集合的运算1、交集：一般地，对于两个给定集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集。

核心词汇：共有。

记作：A B 读作“A 交B ”{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==，{}3,4,5A B =交集为∅在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！ 2、交集的性质：A A A =；如果A B ⊆，则A B A =。

3、并集：一般地，对于两个给定集合,A B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B的并集。

核心词汇：全部。

记作：A B读作“A 并B ”只要是线下面的部分都要！ 4、并集的性质：A A A =；如果A B ⊆，则A B B =5、补集：如果给定的集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集。

核心词汇：剩余。

记作“UA ”读作：“A 在U 中的补集”6、补集的性质： ★经典例题：例一、已知集合{}{}{}0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9M N P ===，则()()MN M P 等于【{}1,4,7】解：{}{}1,4,4,7M N M P ⋂=⋂=，故()(){}1,4,7M N M P =。

例二、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n =∈-Z ≤≤，则MN =【{}101-，，】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。

其次范围均为整数，故{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3M N =--=-，因此取交集后，得到的结果应为{}101-，，。

例三、{}|13A x x =-≤<，{}|B x x a =≥，若A B =∅，则实数a 的取值范围是【3a ≥】 解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果； ④验证端点。