2020-2021中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附详细答案

2020-2021中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附详细答案

一、二次函数

1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或． 故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O

A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.

【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

3．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.

（1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式；

（2）当 AE：EP=1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D、C′B，求

C ′B+ 23C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D的最小值为4103．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A ，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32， 即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．

令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP=AGAF=EGPF=15．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．

∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3＝973．

∵423'23OMOC，'23OCOD，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCCD，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．

（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

【分析】

(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．

【详解】

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴点A(1，0)，

∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，

∴309330abab＝＝ ，解得：12ab＝，＝

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，

∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，

∴2231yxxyx＝＝ ，解得：1145xy＝＝，2210xy＝，＝

∴点B(﹣4，﹣5)，

如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，

则点F(m，m﹣1)， ∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，

∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-52（m+32 ）2+ 1258 ，

∴当m＝32时，P最大，

∴点P(32，154).

(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴点E(﹣1，﹣2)，

如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，

联立533yxyx＝＝ 得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．