广东省广州市二中、广雅、执信、六中四校2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题
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2020-2021学年度第二学期
高二级数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再4写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整清和平整．
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题
1．已知集合{2}Axx，{0,1,2,3,4}B，则RAB（ ）
A．{3,4} B．{2,3,4} C．{0,1} D．{0,1,2}
2．若复数31izi，则||z（ ）
A．2 B．2 C．3 D．5
3．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排，若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
4．设,,为三个不同的平面，若，则“//”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知定义在R上的函数||()2xfxx，3log5af，31log2bf，(ln3)cf，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．cba B．bca C．abc D．cab
6．已知某年级有4个班级，在一次数学学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（ ）
A．13 B．14 C．16 D．38
7．已知函数2cos()lg1xfxxx，则其图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．刘徽（约公元225年295年）魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6的近似值为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
9．如图，点B，P，Q为边长为33的正六边形BCDEFG（中心为坐标原点O，//FGx轴）与函数()sin()0,0,||2fxAxA的图象的三个交点，函数()fx的图象与FG相切于点Q，且FG与y轴交于点M，函数()fx的图象与y轴交于点N，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数()fx的最小正周期为2
B．函数()fx的图象向右平移3个单位长度后关于点O对称
C．函数()fx的图象关于直线1312x对称
D．12MN
10．若关于x的方程22ln2(ln)axxxx恰有4个不相等实根，则实数a的取值范围是（ )
A．22,ee B．212,8ee C．22,0ee D．1,08
11．已知双曲线222:1(0)3xyCaa的离心率等于233，3过C的右焦点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若以OA为直径的圆M过点B（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为33yx
B．直线AB的倾斜角为6
C．圆M的面积等于9
D．OAF与OBF的面积之比为2:1
12．如图，点M是正方体1111ABCDABCD中的侧面11ADDA上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点M存在无数个位置满足1CMAD
B．若正方体的棱长为1，三棱锥1BCMD的体积最大值为13
C．在线段1AD上存在点M，使异面直线1BM与CD所成的角是30
D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线11CD的距离相等
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答卷的相应位置）
13．在622xx的二项展开式中，2x的系数为______；所有二项式系数和为__________．
14．若,ab是两个不共线的向量，已知2,2,3MNabPNakbPQab，若M，N，Q三点共线，则k___________．
15．已知三棱锥ABCD中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，4ADCD．若135CBD，则三棱锥ABCD的外接球的体积为____________．
16．已知实数a，b，c成等差数列，记直线0aybxc与曲线2111822yxx的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线22102250xyxy与x轴上的动点，则||||PAPB的最小值是_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知函数()2sin(2)||2fxx部分图象如图所示．
（1）求值及图中0x的值；
（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7,()2cfC，sin2sinBA，求a的值．
18．（本小题满分12分）已知：递增等差数列na满足1510aa，2421aa，数列nb满足*22log1nnbanN．
（1）求nb的前n项和nS；
（2）若12(1)nnTnbnbb，求数列nT的通项公式．
19．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角ACDF为60，//DECF，CDDE，2AD，3DEDC，6CF．
（1）求证：//BF平面ADE；
（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角BEGD的余弦值为14．
20．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，122nnS，数列nb满足12b，326bb，数列nbn为等差数列．
（1）求na与nb的通项公式；
（2）设(1)1nnnncab，数列nc的前n项和为nT，若对于任意*nN均有knTT，求正整数k的值．
21．（本小题满分12分）如图，已知(1,2)M为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，过点(2,2)D的直线
与抛物线C交于A，B两点（A，B两点异于M），记直线AM，BM的斜率分别为12,kk．
（1）求12kk的值；
（2）记,AMDBMD的面积分别为12,SS，当1[1,2]k，求12SS的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数2()ln2(1ln)fxaxxx，aR．
（1）讨论函数()fx的单调性；
（2）若函数22()()2gxefxa有且仅有3个零点，求a的取值范围（其中常数2.71828…）
