2020版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例第3讲变量间的相关关系与统计案例理解析版

1 第3讲 变量间的相关关系与统计案例

[考纲解读]

1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；根据最小二乘法求出回归直线方程．(重点)

2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用．

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点考查内容．预测2020年将会考查：①回归直线方程的判断、求解及相关系数的意义，并用其解决实际问题；②独立性检验思想在实际问题中的应用．试题以解答题的形式呈现，难度为中等．此外，也可能出现在客观题中，此时试题难度不大，属中、低档题型.

1．相关关系与回归方程

(1)相关关系的分类

①正相关：从散点图上看，点散布在从□01左下角到□02右上角的区域内，如图1；

②负相关：从散点图上看，点散布在从□03左上角到□04右下角的区域内，如图2.

(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在□05一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做□06回归直线．

(3)回归方程

①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的□07距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， 2 yn)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝i＝1n

xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.其中，b^是回归方程的□08斜率，a^是在y轴上的□09截距，x－＝1n∑ni＝1xi，y－＝1n∑ni＝1yi，□10(x－，y－)称为样本点的中心．

说明：回归直线y^＝b^x＋a^必过样本点的中心(x－，y－)，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．

(4)样本相关系数

r＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2i＝1n yi－y2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

①当r>0时，表明两个变量□11正相关；

②当r<0时，表明两个变量□12负相关；

③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性□13越强；r的绝对值接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

2．独立性检验

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的□01不同类别，像这类变量称为分类变量．

(2)列联表：列出两个分类变量的□02频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表

3 构造一个随机变量K2＝□03nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝□04a＋b＋c＋d为样本容量．

(3)独立性检验

利用随机变量□05K2来判断“两个分类变量□06有关系”的方法称为独立性检验．

1．概念辨析

(1)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )

(2)通过回归方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( )

(3)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( )

(4)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

2．小题热身

(1)设回归方程为y^＝3－5x，则变量x增加一个单位时( )

A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位

C．y平均增加5个单位 D．y平均减少3个单位

答案 B

解析 因为－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．故选B.

(2)在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

答案 D

解析 ①为函数关系；②显然成正相关；③显然成负相关；④没有明显相关性．

(3)下面是一个2×2列联表 4

则表中a，b处的值分别为________．

答案 52,54

解析 因为a＋21＝73，所以a＝52.又因为a＋2＝b，所以b＝54.

(4)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝________.

答案 2.6

解析 ∵回归直线必过样本点的中心(x，y)，又x＝2，y＝4.5，代入回归方程，得a^＝2.6.

题型 一 相关关系的判断

1．下列两变量中不存在相关关系的是( )

①人的身高与视力；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③某农田的水稻产量与施肥量；④某同学考试成绩与复习时间的投入量；⑤匀速行驶的汽车的行驶距离与时间；⑥商品的销售额与广告费．

A．①②⑤ B．①③⑥ C．④⑤⑥ D．②⑥

答案 A

解析 根据相关关系的定义知，①②⑤中两个变量不存在相关关系．

2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程， 5 分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；

②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；

④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.

其中一定不正确的结论的序号是( )

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案 D

解析 由回归方程y^＝b^x＋a^知当b^>0时，y与x正相关，当b^<0时，y与x负相关，∴①④一定错误．

3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(

)

A．r2

C．r4

答案 A

解析 易知题中图①与图③是正相关，图②与图④是负相关，且图①与图②中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2

判定两个变量正、负相关性的方法 6 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．见举例说明3.

(3)线性回归直线方程中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关．

1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )

A．－1 B．0 C.12 D．1

答案 D

解析 所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D.

2．x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．

①x，y是负相关关系；

②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数的平方为r21，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关系数的平方为r22，则r21>r22；

③x，y之间不能建立线性回归方程．

答案 ①②

解析 ①显然正确；散点图趋向于曲线而非直线，所以用y＝c1ec2x拟合的效果比用y^＝b^x＋a^拟合的效果要好，故②正确；x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确．

题型 二 回归分析

角度1 线性回归方程及应用

1．(2018·福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表： 7

使用年数x/年 1 2 3 4 5

维修总费用y/万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5

根据上表可得y关于x的线性回归方程y^＝b^x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)( )

A．8年 B．9年 C．10年 D．11年

答案 D

解析 由y关于x的线性回归直线y^＝b^x－0.69过样本点的中心(3,2.34)，得b^＝1.01，即线性回归方程为y^＝1.01x－0.69，由y^＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年．故选D.

2．某兴趣小组欲研究昼夜温差与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

参考公式：b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.

参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092,112＋132＋122＋82＝498. 8 解 (1)设选到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P(A)＝515＝13.

(2)由表中2月份至5月份的数据可得x＝11，y＝24，

∑4i＝1xiyi＝1092，i＝14x2i＝498，所以b^＝i＝14xiyi－4x－y－i＝1nx2i－4x2＝187，则a^＝y－b^x＝－307，所以y关于x的线性回归方程为y^＝187x－307.

(3)当x＝10时，y^＝1507，1507－22＝47<2；

当x＝6时，y^＝787，787－12＝67<2.

所以，该小组所得线性回归方程是理想的．

角度2 非线性回归模型的应用

3．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．