空间中直线与平面之间的位置关系
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空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要,用于解决许多实际问题,比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系,以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况:1. 相交当空间直线与平面交于一点时,它们的位置关系是相交。
此时,交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言,假设空间直线的参数方程为:$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标,$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为:$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标,$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中,可得到:$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组,即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时,它们的位置关系是平行。
此时,两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同,则直线和平面不相交,否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时,它们的位置关系是垂直。
此时,它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先,需要判断直线和平面是否相交或平行,从而决定是否存在交点。
其次,如果相交,则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$,经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为:$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先,需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算,直线的方向向量和平面的法向量的点积为:$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$,所以直线和平面垂直,相交于一点。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α=A a∥α图形暗示2.两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β=l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法:①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个[解析]对于①,直线a在平面α外包孕两种情况:a∥α或a与α相交,∴a和α纷歧定平行,∴①说法错误.对于②,∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误.对于③,∵a∥b,b⊂α,∴a⊂α或a∥α,∴a与平面α内的无数条直线平行.∴③说法正确.[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.【对点训练】1.下列说法中,正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条必然与这个平面平行.A.0 B.1C.2 D.3解析:选C①正确;②错误,如图1所示,l1∥m,而m⊂α,l1⊂α;③正确,如图2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与直线BD异面,A1C1⊂平面A1B1C1D1,且BD∥平面A1B1C1D1,故③正确;④错误,直线还可能与平面相交.由此可知,①③正确,故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行,问α∥β是否正确,为什么?(2)平面α内的所有直线与平面β都平行,问α∥β是否正确,为什么?[解](1)不正确.如图所示,设α∩β=l,则在平面α内与l平行的直线可以有无数条:a1,a2,…,a n,…,它们是一组平行线,这时a1,a2,…,a n,…与平面β都平行(因为a1,a2,…,a n,…与平面β无交点),但此时α与β不平行,α∩β=l.(2)正确.平面α内所有直线与平面β平行,则平面α与平面β无交点,符合平面与平面平行的定义.【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似,可以从有无公共点区分:如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系:①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面α与β平行,记作α∥β;若平面α与β相交,且交线为l,记作α∩β=l.【对点训练】2.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平行的面.与其中一个侧面相交的面共有________个.解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共有8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.答案:4 63.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系?解:∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点,∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB,∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.【练习反馈】1.M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能解析:选C由符号语言知,直线l上有一点在平面α内,另一点在α外,故l与α相交.2.如图所示,用符号语言可暗示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α解析:选D显然图中α∥β,且l⊂α.3.平面α∥平面β,直线a⊂α,则a与β的位置关系是________.答案:平行4.经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________.解析:若平面外两点所在直线与该平面相交,则过这两个点不存在平面与已知平面平行;若平面外两点所在直线与该平面平行,则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行.答案:0或15.三个平面α、β、γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.解:(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,所以a,b没有公共点.由于a、b都在平面γ内,因此a∥b,又c∥b,所以c∥a.。
§14.3空间直线与平面的位置关系(夹角)【知识解读】1、线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.2、线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.3、平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行.4、推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.5、平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.6、面面平行的另一性质:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面.7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角FEDCBA【例题讲解】例1 、简述下列问题的结论,并画图说明:(1)直线⊂a 平面α,直线A a b = ,则b 和α的位置关系如何?(2)直线α⊂a ,直线a b //,则直线b 和α的位置关系如何?例2、已知:空间四边形ABCD 中,,E F 分别是,AB AD 的中点,求证://EF BCD 平面.例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,M ∈AC ,N ∈FB ,且AM =FN ,求证 MN ∥平面BCE_ CBM HS CAA例4、在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a .求:(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角;(2)直线1DB 与面1111D C B A ;例5、四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点, 求(1)BC 与平面SAB 所成的角。
(2)SC 与平面ABC 所成的角。
例6、如图,几何体ABCDE 中,△ABC 是正三角形,EA 和DC 都垂直于平面ABC ,且a AB EA 2==,a DC =,F 、G 分别为EB 和AB 的中点.(1)求证:FD ∥平面ABC ;(2)求证:AF ⊥BD ;【课堂练习】1、在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=4,BC=3,1CC =2 (1)求B A 1与面ABCD 所成的角; (2)求D A 1与面ABCD 所成的角;(3)求C A 1与长方体的各个面所成的角的大小; (4)求C A 1与长方体的各条棱所成的角的大小;2、.在正方体1111D C B A ABCD -中,求B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小;3、如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证:(1)BF ∥HD 1;(2)EG ∥平面BB 1D 1D ;(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H.D 1C 1B 1A 1D C BA。
直线与平面的关系及应用一、直线与平面的空间位置关系公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
1. 线面平行定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行。
判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
拓展:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
2. 线面垂直定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。
如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a垂直于平面α判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
二、空间两直线的位置关系:空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面1. 两条直线平行定义:在同一平面内,不相交的两条直线互相平行。
判定定理:(1)如果两直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行(2)如果两直线同时垂直于同一个平面,那么这两条直线平行性质定理: 两直线平行,同位角相等。
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
拓展:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点,直线和平面的位置关系一,线在面内的性质:定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内。
二,平面确定的判定定理:定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3.经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三,两面相交的性质:定里6. 如果两个平面有一个公共点,那么还有其它公共点,则这些公共点的集合是一条直线。
四,直线平行的判定定理:定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五,等角定理:定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向,那么这两个角相等。
六,异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
(异面直线间的夹角只能是:锐角或直角)七,直线和平面平行的判定定理:定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
符合表示:βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
符号表示:b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八,平面与平面平行判定定理:定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
符号表示:βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。
九,平面与平面平行的性质:定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交,那它们的交线平行。
符号表示:d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十,线与面垂直的判定定理:定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行,那么这条直线垂直这个平面。
平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形,它们在空间中的位置关系有以下几种情况:
1. 直线在平面内:当一条直线完全位于一个平面内时,我们称这条直线在这个平面内。
这种情况下,直线与平面有唯一的交点,也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。
2. 直线与平面相交:当一条直线与一个平面有交点时,我们称这条直线与这个平面相交。
这种情况下,直线与平面有无限多个交点,交点的数量取决于直线与平面的相对位置。
3. 直线与平面平行:当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时,我们称这条直线与这个平面平行。
这种情况下,直线与平面之间没有交点。
4. 直线与平面垂直:当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时,我们称这条直线与这个平面垂直。
这种情况下,直线与平面有唯一的交点,交点位于直线与平面的垂线上。
总之,平面和直线的位置关系有多种情况,要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。
在实际应用中,我们需要根据需要来选择适当的位置关系,以便更好地解决问题。
直线与平面的位置关系知识点总结直线与平面之间的位置关系是几何学中重要的内容之一,涉及到直线与平面的相交、平行以及垂直等相关概念与性质。
本文将对这些知识点进行总结,以帮助读者更好地理解并应用于实际问题。
一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的基本条件是直线不在平面内,即直线与平面不能共面。
2. 直线与平面相交有三种情况:a. 直线与平面相交于一点,此时直线称为平面的切线,而平面称为直线的切平面。
b. 直线与平面相交于一条直线,此时直线与平面互相交于一个点,该直线称为平面的截线,平面也称为直线的截面。
c. 直线与平面相交于无穷多个点,此时称为直线与平面的交。
3. 根据欧氏几何的公理,一条直线与平面交于一点后,该直线在平面上的每一点都与该平面有且只有一个交点。
二、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的基本条件是直线与平面不相交,即两者没有任何公共点。
2. 直线与平面平行有以下情况:a. 直线与平面在空间中没有交点,此时称直线与平面平行。
b. 直线在平面上,但不在平面内,此时称直线与平面平行。
3. 欧氏几何的公理表明,两条直线分别与同一个平面平行,则这两条直线之间平行。
三、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的基本条件是直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段互相垂直。
2. 直线与平面垂直有以下情况:a. 直线与平面相交,并且直线上的每一条线段都与平面上的每一条线段垂直,则称直线与平面垂直。
b. 直线在平面内,但不在平面上。
此时,直线与平面射线是互相垂直的。
3. 欧氏几何的公理表明,直线与平面垂直,则平面上的任意一条线段与直线上的任意一条线段皆垂直。
四、其他相关知识点1. 平面同时和一条直线的两个点重合,则称该直线在平面上。
2. 平面同时和一条直线的一个点重合,则称该直线在平面内。
3. 平面绕着一条直线旋转,可以得到一组平行于原平面的平面,这个过程叫做平面的旋转。
总结:直线与平面的位置关系包括相交、平行和垂直等几种情况。
第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理:<1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内公理1作用:判断直线是否在平面内<2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
公理2作用:确定一个平面的依据。
<3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
3.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补5.注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0, >;③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
6.直线与平面有三种位置关系:<1)直线在平面内——有无数个公共点<2)直线与平面相交——有且只有一个公共点<3)直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
8.两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
9.定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
10.定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类(1)直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交统称直线在平面外,我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形.(3)直线与平面位置关系的图形画法:①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形之外,这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的,因而这条直线不可能有某部分在某外;②在画直线a 与平面α相交时,表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感;③画直线与平面平行时,最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线,则lααααbα⊂答案:B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系.图3解:直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.解:如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为:若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析:如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为:若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析:如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交,直线AB、CD在平面ABCD内,直线AB与直线A′B 相交,直线CD 与直线A′B 异面,所以A 、B 都不正确;平面ABCD内不存在与a 平行的直线,所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等,且A ∉α,以下三个命题:①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析:如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧,也可能在α两侧,图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析:∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案:A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、 直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点,那么这条直线和这个平而平行。
2、 直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类[直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中,亶线和平面平行,直线和平面相交统称亶线在平而外,我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法:① 画直线a 在平而a 内时,裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内,而 不能有部分在这个平行四边形之外,这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无 限延伸而没有边界的,闵而这条直线不可能有某部分在某外;② 在画宜线a 与平而&相交时,表示直线;1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边 形之外,这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来,又具有较强的立体感;③ 画亶线与平面平行时,晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之 外,且与某一边平行。
例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如栗一 条亶线与一平面相交,那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直;③过平而外一点有且只有 一条宜线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平而的距离相等,则这条克线平行于这个 平面。
炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线,则〃/a ;② 若宜线Q 在平面a 外,则a//a ;③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ;宜线和平面相交 宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。
变式2、下列命题中正确的个数是()①若直线1上有无数个点不在平而a内,则l//a②若直线1与平而a平行,则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行,那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行,则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析:如图2,图2我们借助长方体模型,AA,所在直线有无数点在平面ABCD外,但AA,所在直线与平面ABCP相交,所以命题①不正确;A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确;所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确;1与平面0C平行,则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等,讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解:直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况(如图3),直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內,讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为:若arib=A,bC:a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内,讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为:若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交,恵线AB 、CD 在平而ABCP 内,直线AB 与直线?/ B 相交,賣线CD 与直线工B 异面,所以A. B 都不正确;平面ABCP 內不存在与a 平行的 直线,所以应选D ・ 变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等,且Aga,以下三个命题: ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ;③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交 內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析:丁 直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例,所以应选A.咎案:A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理:如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平而平行。
空间直线与平面位置关系的判定方法及其应用空间直线和平面的位置关系是三维几何中重要的问题之一,判定空间直线和平面的位置关系有许多方法和应用。
以下是一些常见的方法和应用:
1. 点法式判定法:该方法利用平面上一点和平面的法向量判断
空间直线和平面的位置关系。
当直线上任意一点到平面的距离与直线的方向向量垂直时,即为直线和平面相交;当直线的方向向量与平面法向量垂直时,即为直线和平面平行;当直线上任意一点到平面的距离与直线的方向向量平行时,即为直线和平面重合。
2. 截距式判定法:该方法利用平面的截距式方程和直线的参数
式方程,求得直线交平面的点,若该点位于直线的定义域内,则判定直线和平面相交;若该点在直线的定义域外,则判定直线和平面平行或不相交。
3. 空间向量叉积判定法:该方法利用直线的方向向量和平面的
法向量的向量叉积判断直线和平面的位置关系。
若向量叉积为零向量,则判定直线和平面平行;若向量叉积不为零向量,则判定直线和平面相交。
4. 应用:空间直线和平面的位置关系在计算机图形学、机械设计、物理学等领域都有广泛的应用。
例如在计算机图形学中,通过判定光线与物体表面的位置关系,可以实现光线追踪算法,生成逼真的三维图像;在机械设计中,通过判断机械零件的位置关系,可以实现机械装配与拆解的自动化;在物理学中,通过判定杆、板、球等物体
的位置关系,可以实现力的分析和运动的预测等。
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类(1)直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交统称直线在平面外,我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形.(3)直线与平面位置关系的图形画法:①画直线a 在平面α内时,表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形之外,这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的,因而这条直线不可能有某部分在某外;②在画直线a 与平面α相交时,表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外,这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强的立体感;③画直线与平面平行时,最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外,且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l 平行于平面α内无数条直线,则l //α;②若直线a 在平面α外,则a//α;③若直线a//b ,直线α⊂b ,则a//α;④若直线a//b ,直线α⊂b ,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。
变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析:如图2,图2我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;A1B1所在直线平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确;l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案:B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等,讨论直线l与平面α的位置关系.图3解:直线l与平面α的位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.解:如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为:若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析:如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为:若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析:如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交,直线AB、CD在平面ABCD内,直线AB与直线A′B 相交,直线CD与直线A′B异面,所以A、B都不正确;平面ABCD内不存在与a平行的直线,所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,且A∉α,以下三个命题:①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析:如图8,三点A、B、C可能在α的同侧,也可能在α两侧,图8其中真命题是①.变式2、若直线a⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.3分析:∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案:A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
⑴定理可简述为“线线平行,则线面平行”,可以用符号表示为αα//αa⇒⊂b⊄;,,//aba⑵该定理判断直线a 与平面α平行时,必须具备三个条件:① 直线a 在平面α外,即α⊄a ;②直线b 在平面α内,即α⊂b ;③直线a ,b 平行,即a ∥b ,这三个条件缺一不可。
⑶定理的作用:将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定。
2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
用符号表示为:若a//α,,,b =⊂βαβα 则a//b ,即“线面平行,则线线平行”。
(1)定理的作用线面平行的性质定理的作用在于:把线线平行的判定转化为线面平行的判定,因此,我们要证明(或判定)两条直线平行时,若直线证明难以成功,此时,不妨考虑转化为证明(或判定)线面平行的问题.(2)直线和平面平行时,注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系.直线和平面平行的性质在应用时,要特别注意“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面的一切直线”的错误结论.(3)线面平行的其他性质:①平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面; ②若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,则此直线在这个平面内。
例4、如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上,点M 在B 1C 上,且CM =DN ,求证:MN//平面AA 1B 1B 。
变式1、已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段,E、F、G分别是AB、BC、CD的中点,求证:平面EFG和AC平行,也和BD平行。
例5、过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,求证:BB1//EE1。
变式1、ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP//GH。
知识点三直线与平面垂直1、直线与平面垂直的概念如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.(1)若直线a与平面α互相垂直,记作α⊥a(2要注意“任何一条直线”这个词语,它与“所有直线”是同义词,但与“无数条直线”不同,即当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线。
(3)画法:画直线与平面垂直时,一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直,如下图所示,2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
简记为:“线线垂直,则线面垂直。
”(1)判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性词语,一定要记准。
(2)命题1:如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面;命题2:如果一条直线垂直于平面的无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的,因为对于这两个命题,都没有体现出两直线相交这一特性,(3)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的。
(4)其他判定直线和平面垂直的方法:两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面。
3、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
直线与平面垂直还有如下性质:(1)如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于同一个平面。
(3)若αAP。
⊂⊥⊥,则αl于A,AP l例6、给出以下结论:①若直线a垂直平面α内的无穷多条直线,则直线a垂直平面α;②无论直线a与平面α是否垂直,a总垂直平面α内的无穷多条直线;③若直线a垂直平面α内的两条直线,则直线a垂直平面α;④若直线a垂直平面α内的所有直线,则直线a垂直平面α其中正确的结论为。
(写出序号即可).例7、如右图,已知空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证:AH⊥平面BCD。
变式1、如右图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,H是△AC的垂心,求证:PH⊥平面ABC。
例8、如右图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F,(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF 交SD 于G ,求证:AG ⊥SD 。
变式1、如右图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,11111,0O D B C A BD AC == ,求证:OO 1⊥平面ABCD 。
巩固练习一:一、 选择题1、下面四种说法中:(1)两条平行直线中的一条平行于一个平面,则另一条也平行于这个平面;(2)平行于平面内一条直线的直线平行于该平面;(3)过平面外一点只有一条直线和这个平面平行;(4)若一条直线和一个平面平行,则这条直线和这个平面内所有直线都平行、正确说法的个数为( )A、0;B、1;C、2;D、32、下列命题中正确的是( )A、平行于同一平面的两条直线平行;B、垂直于同一条直线的两条直线平行;C、若直线a于一个平面内的一条直线b平行,则a平行于这个平面;D、若一条直线平行于两相交平面的交线,则这条直线至少平行于两个平面中的一个3、 异面直线a ,b 分别在平面βα,内,若l =βα ,则直线l 必定与A、分别与a ,b 相交B 、与a ,b 都不相交C 、至少与a ,b 中之一相交D 、至多与a ,b 中之一相交4、下列命题中有几个是正确的?其个数为( )(1) 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线(2) 在空间不相交的两条直线一定是异面直线(3) 不同在一个平面内的两条射线所在直线一定是异面直线(4) 既不平行也不相交的两条线段所在直线一定是异面直线A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个5、如果点P 在直线l 上,而直线l 又在平面内,则可记作( )A 、α⊂⊂l PB 、α∈∈l PC 、α⊂∈l PD 、α∈⊂l P6、已知相交直线AB 、AC 确定的平面,则下列说法不正确的是( )A、直线AB 、AC 都不在平面内B 、平面经过直线AB 、ACC 、只有A 、B 、C 三点在平面内D 、直线AB 、AC 上所有的点都在平面内7、下列命题中,真命题是( )A、两条相交直线上的三个点确定一个平面 B 、两两相交的三条直线共面C、不共面的四点中可以有三点在同一直线上 D 、三角形和梯形一定是平面图形8、 不共面的四个点中,( )A、可能有三个点共线 B 、至少有三个点共线C、任何三个点都不共线 D 、只有三个点不共线9、 用斜二测法画平面图形的直观图,对其中三条线段结论错误的是( )A 、 原相交的仍相交B 、原垂直的仍垂直C 、原平行的仍平行D 、原共点的仍共点10、两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个11、平面α过△ABC的重心,B、C在α的同侧,A在α的另一侧,若A、B、C到平面α的距离分别为a、b、c,则a、b、c间的关系为( )A、2a=b+cB、a=b+cC、2a=3(b+c)D、3a=2(b+c).二、填空题12、不共线的三个平面两两相交,可将空间分成的部分可能是________________个13、已知a,c异面,b,c异面,则a,b的位置关系是__________________14、已知αα⊂,则ba,=bAa,的位置关系是_______________答案:一、选择题1、A;2、D;3、C;4、D;5、C;6、A;7、D;8、C;9、B;10、C;11、A二、填空题12、4,7,813、平行,异面或相交14、相交或异面巩固练习二:一、选择题1、下列命题正确的个数是()(1)若直线l上有无数个点不在平面内,则l平行这个平面;(2)若一条直线与一个平面平行,则这条直线与这个平面内的所有直线都平行;(3)两条平行线中的一条与一个平面平行,则另一条也和这个平面平行;(4)若一条直线与一个平面内的无穷多条直线都平行,则这条直线与这个平面平行A、0个; B、1个; C、2个; D、3个、2、直线在平面外指的是( )A、直线与平面没有公共点; B、直线与平面相交;C、直线与平面平行; D、直线与平面最多只有一个公共点3、设有如下三个命题:甲:相交两直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内乙:l、m之中至少有一条与平面β相交 丙:α和β相交 当甲成立时 A、乙是丙的充分而不必要条件; B、乙是丙的必要而不充分条件;C、乙是丙的充分且必要条件; D、乙既不是丙的充分条件又不是必要条件4、一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,则两角的关系是( )A 、 相等B 、互补C 、互余D 、不能确定5、 空间四边形ABCD 中,M ,N 分别是AB ,CD 的中点,设1)(21=+AD BC ,那么( ) A、MN>1 B 、MN<1 C 、MN=1 D 、MN与1的大小关系不能确定6、 在正方体的棱所在的12条直线中,取定一条,那么,其它的11条直线可与它构成异面直线的共有A 、4条 B 、5条 C 、6条 D 、7条7、下面四个条件中能得出∥b 的是( )A 、,,,c b a =⊂⊂βαβα 且和c ,b 和c 均无公共点B 、和b 无公共点C 、和b 与c 成等角D 、c b c a ⊥⊥,8、过平面内一点及平面外一点的直线与平面内的任一条直线的位置关系是( )A 、相交B 、平行C 、异面D 、相交或异面9、已知a,b 是异面直线,直线c 平行于直线a ,那么c 与b ( )A 、 定是异面直线B 、定是相交直线C 、不可能是平行直线D 、不可能相交直线10、四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数有( )A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 11、A,B,C,D 是空间四点,AB 与CD 是异面直线,则必有( )A 、AC 与BD 异面,AD 与BC 共面B 、 AC 与BD 共面,AD 与BC 异面C 、AC 与BD 异面,AD 与BC 异面 D 、 AC 与BD 共面,AD 与BC 共面二、填空题12、若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,且EG=3,FH=4,则AC 2+BD 2= .13、已知B b A a ==αα ,,且A,B不重合,则b a ,位置关系是______________14、平面和β相交,在,β内各取两点,这四点都不在交线上,则这四个点能确定______平面。