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一、单选题二、多选题1.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点，若则曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，则（C R A ）∩B ＝A．B．C．D．7. 已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（ ）A ．-4B ．3C ．-2D ．19. 已知，且，则（ ）A ．当时，必有B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆C．D．10. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A ．AB 与平面BCD所成的角为B．C ．与AB所成的角是的棱共有16条D．该半正多面体的外接球的表面积为广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（二）(2)广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（二）(2)三、填空题四、解答题11. 某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：年份x2016201720182019包装垃圾y （万吨）46913. 5（1）有下列函数模型：①；②；③（参考数据：，），以上函数模型（ ）A ．选择模型①，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系B．选择模型②，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨12.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则（ ）A．B．是图像的一个对称中心C ．当时，取得最大值D ．函数在区间上单调递增13.函数，的值域是______．14. 菱形ABCD 中，，，将沿BD 折起，点变为E 点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为___________.15.在二项式的展开式中，含项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）16.已知数列中，，且，设数列.（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：.17.已知数列满足，，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.18. 已知直线与抛物线相切于点，动直线与抛物线交于不同两点异于点，且以为直径的圆过点．(1)求抛物线的方程及点的坐标；(2)当最小时，求直线的方程．19. 设m 为实数，函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）20. 已知函数.(1)若，求的最值；(2)若有两个零点，求a的取值范围.21. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点.(1)证明：；(2)求DF与平面BDE所成角的正弦值.。
一、单选题1. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径作圆，再以为直径作圆，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2.设函数，则满足的的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 设分别是双曲线的左右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且，则（ ）A ．4B ．6C．D．4. 欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）A ．的实部为B．在复平面内对应的点在第一象限C．D ．的共轭复数为5. 已知是角终边上一点，则（ ）A．B．C．D．6. 若，，，则（ ）A．B．C．D．7. 函数的图像关于（ ）对称．A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D．直线8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．9. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 已知函数，，与的最小正周期分别是（ ）A．B．C．D．11. 已知为锐角，若，则（ ）A．B．C．D．12.若复数，则（ ）A．B．C．D．广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（三）二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题13. 若，，则（ ）A．B．C．D．14. 已知是的导函数（ ）A ．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的B ．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的C ．的对称中心坐标是D ．是的一条切线方程.15. 已知点P 在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）A ．点P 到x轴的距离为B．C ．为钝角三角形D．16. 下列结论正确的是（ ）A ．数据20，21，7，31，14，16的50%分位数为16B．若随机变量服从正态分布，则C．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D．以拟合一组数据，经代换后的线性回归方程为，则17. 已知等腰三角形ABC 的顶点A 的坐标为，底边，且圆A ：与直线BC 相切，则点B 到原点O 的最大距离为___________.18. 设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．19.平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为___________.20. 我国古代数学著作（张邱建算经）记载织布问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五末日织一尺，今三十织迄，问织几何？”该女子第天的织布数为尺，且为等差数列，，，则公差为_____，前项的和为_____.21. 如图，一幅壁画的最高点A 处离地面12m ，最低点B 处离地面7m ，现在从离地高4m 的C处观赏它．①若C 处离墙的距离为6m，则______；②若要视角最大，则离墙的距离为______m ．22.化简：．六、解答题七、解答题23. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：24. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式:，期中，25. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，，，，．(1)若是线段上的点且满足，求证：平面平面；八、解答题九、解答题(2)求二面角的平面角的余弦值．26. 如图所示，已知平行四边形和矩形所在平面互相垂直，，，，，是线段的中点.(1)求证：；(2)设点为一动点，若点从出发，沿棱按照的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.27. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷次，乙抛掷n 次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．28. 《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动､质量为先､绿色发展､结构优化､人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列.为此，我国在基础教育阶段鼓励中学生开展科技发明活动，为了解某校学生对科技发明活动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对科技发明活动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对科技发明活动没有兴趣.(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男60女合计参考表格、公式如下：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635.(2)从样本中对科技发明活动没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为，求的分布列和期望.。
一、单选题二、多选题1.若将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，则关于函数的四个结论的是（ ）A．的最小正周期为B ．在区间上的最小值为C．在区间上单调递减D ．的图象对称中心为不正确2. 若，且是第二象限角，则的值为A．B．C．D．3. 设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（ ）A ．12B ．24C ．42D ．1265. 定义域为R的奇函数满足，当时，，则（ ）A．B．C．D ．06.在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 将函数向左平移个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ）A．B．C．D．8. 已知角的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）A．B ．2C ．-2D ．-79. 设，，，则等于（ ）A．B ．0C．D．10. 设的内角的对边分别为，已知，则（ ）A．B．C．D．11. 据中国汽车工业协会统计分析，2022年10月份，我国国产品牌乘用车销售了118.7万辆，市场占有率延续良好势头，份额超过50%.下图是2021年1月份至2022年10月份这22个月我国国产品牌乘用车月度销量及增速变化情况的统计图，则（同比：和去年同期相比）（ ）广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（二）三、填空题A ．2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆B ．2022年前10个月国产品牌乘用车月度销量的同比增长率均为正数C ．2022年前9个月国产品牌乘用车月度销量的中位数为5月份的销量数据D ．2022年前10个月我国国产品牌乘用车月度销量的极差超过58.7万辆12. 2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．以下关于我国2020年上半年经济数据的说法正确的是（ ）A ．第一产业的生产总值不超过第三产业中“房地产业”的生产总值B ．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平C ．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D ．若“金融业”生产总值为45600亿元，则第二产业生产总值为185000亿元13. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（ ）A ．如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B ．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C ．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D ．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等14. 某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据，，成等差数列，成绩落在内的人数为40.从分数在和的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在内的人数为，设事件“至少1人成绩在内”，事件“3人成绩均在内”.则下列结论正确的是（）A．B．C．与是互斥事件，但不是对立事件D ．估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题15. 已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.16.若的展开式中第5项的二项式系数最大，则___________．（写出一个即可）17.已知是等差数列的前n 项和，，则______．18. 已知为实数，直线，直线，若，则__________；若，则__________．19.双曲线：的离心率为，则______；焦点到渐近线的距离为______.20. 化简（I）（Ⅱ）．21. 已知F 是抛物线C ：（）的焦点，过点F 作斜率为k 的直线交C 于M ，N两点，且.(1)求C 的标准方程；(2)若P 为C 上一点（与点M 位于y 轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.22. 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数经过分析整理后画出了评论分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中的值；(2)规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人取参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率．23. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 83 79 78 95 88 91 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.八、解答题九、解答题24. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，(1)证明：，，，四点共面；(2)如果，，为的中点，求二面角的正弦值．25. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日举行，国球再创辉煌，某校掀起乒乓球运动热潮，组织乒乓球运动会.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分．(1)己知某局比赛中双方比分为，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为0.4．乙发球时乙得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以获胜的概率；(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了X 局后比赛结束，求X 的分布列与数学期望．26.据调查显示，某高校万男生的身高服从正态分布，现从该校男生中随机抽取名进行身高测量，将测量结果分成组：，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这名男生中身高在（含）以上的人数；(2)从这名男生中身高在以上（含）的人中任意抽取人，该人中身高排名（从高到低）在全校前名的人数记为，求的数学期望.（附：参考数据：若服从正态分布，则，，.）。
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A ．1B．C．D．2. 设复数满足，则的虚部为（ ）A．B．C．D ．23.设，若，则（ ）A．B．C．D．4. 在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项5. 已知复数满足，则在复平面所对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．7.已知数列，若，则（ ）A ．9B ．11C ．13D ．158.若向量、满足，，且，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．9.已知，则（ ）A．B．C．D．10. 给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）A ．若线段，则向量B．若向量，则线段C ．若向量与共线，则线段D ．若向量与反向共线，则11.下列函数中，在上是减函数的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数的图象经过点，且在上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．在上单调递增D ．在上有3个极小值点广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（二）(1)广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（二）(1)四、解答题13. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为，，则__________.14. 已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．15. 已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则______．16. 某超市计划销售某种产品，先试销该产品天，对这天日销售量进行统计，得到频率分布直方图如图．(1)若已知销售量低于50的天数为23，求；(2)厂家对该超市销售这种产品的日返利方案为：每天固定返利45元，另外每销售一件产品，返利3元；频率估计为概率．依此方案，估计日返利额的平均值．17. 如图，在四棱锥中，平面，，点E 是棱上靠近P 端的三等分点，点是棱上一点.(1)证明：平面(2)求点F 到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值.18. 漳州布袋木偶戏是传统民俗艺术，2006年被列入首批国家非物质文化产保护，据《漳州府志》记载，漳州地区在宋代就已经有布袋木偶戏了，清朝中叶后，布袋木偶戏开始进入兴盛时期，一直到抗日战争前，漳州的龙溪、漳浦、海澄、长泰等县，几乎乡乡都有布袋木偶戏，在传承的基础上，不断创新和发展壮大，走向更广阔的世界，为了了解民众对布袋木偶戏的了解程度，某单位随机抽取了漳州地区男女各100名市民，进行问卷调查根据调查结果绘制出得分条形图，如图所示不够了解相对了解合计男女合计(1)若被调查者得分低于60分，则认为是不够了解布袋木偶戏，否则认为是相对了解布袋木偶戏．根据条形图，完成联表，并根据列联表，判断能否有90%的把握认为对布袋木偶戏的了解程度与性别有关？(2)恰逢三八妇女节，该单位对参与调查问卷的女市民制定如下抽奖方案；得分低于60分的可以获得1次抽奖机会，得分不低于60分的可以获得2次抽奖机会，每次抽奖结果相互独立，在一次抽奖中，获得一个木偶纪念品的概率为，获得两个木偶纪念品的概率为，不获得木偶纪念品的概率为，在这100名女市民中任选一人．记X为她获得木偶纪念品的个数，求X的分布列和数学期望．参考公式：参考数据．0.1000.05000.0100.0012.7063.841 6.63510.82819. 某集市上有摸彩蛋的游戏，在不透明的盒中装有9个大小､形状相同的彩蛋，其中黄色､红色､蓝色各3个.游戏规则如下：玩游戏者先交10元游戏费，然后随机依次不放回地摸3个彩蛋，根据彩蛋的颜色决定是否得到奖励，若摸到的3个彩蛋颜色都相同，获得奖金100元，若摸到3个彩蛋颜色各不相同，获得奖金10元，其他情况没有奖励.(1)记某游戏者第一次摸到黄色彩蛋为事件，该游戏者这次游戏获奖100元为事件，求，并判断事件是否相互独立；(2)判断是否应该玩这个游戏，并说明理由.20.如图，在中，的对边分别是，，为的平分线，.（1）若，求；（2）求面积的最小值.21. 已知数列满足：，且对任意，都有．(1)若，，，成等比数列，求的值；(2)设，求数列的前n项和．。
一、单选题二、多选题1. 有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）A ．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B ．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C ．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D ．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．2. 近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产品牌汽车销量得到了较大的提升．如图是2021年1－7月和2022年1－7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022年1－7月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1－7月我国汽车销量与2021年1－7月相比，下列说法正确的是（）A ．日系汽车销量占比变化最大B ．国产汽车销量占比变大了C ．德系汽车销量占比下降最大D ．美系汽车销量变少了3. 已知都是实数，且，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 小明同学决定在暑假期间花两个月的时间学习5本书，且每个月最多学习3本，至少学习2本，每次学完1本完整的书籍后，再学习下一本，则小明同学恰好在同一个月学习《三国演义》和《水浒传》的概率为（ ）A．B．C．D．5.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 设集合，集合，则（ ）A．B．C．D．7. 已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（ ）A．B ．2C．或D ．2或38. 复数的虚部是A ．B．C．D．9. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（三）(1)广东省2024届高三第一次学业水平考试（小高考）数学模拟试题（三）(1)A．小球运动的最高点与最低点的距离为B．小球经过往复运动一次C．时小球是自下往上运动D．当时，小球到达最低点10. 如图，正四棱锥S－BCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥A－SBE底面边长与侧棱长均为a，则下列说法正确的是（）A．AS⊥CDB．正四棱锥S－BCDE的外接球半径为C．正四棱锥S－BCDE的内切球半径为D．由正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱11. 为了解某地夜间居民区噪声污染情况，某检测机构对当地一小区夜间30分钟内的声音强度进行监测，并得到如下折线图，则下列说法正确的是（）A．第17分钟的声音强度最大B．前15分钟声音强度的平均值小于后15分钟声音强度的平均值C．前15分钟声音强度的标准差小于后15分钟声音强度的标准差D．前15分钟声音强度的极差大于后15分钟声音强度的极差12. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（）（参考数据：）A．这两碗馅料最多可包三角粽35个B．这两碗馅料最多可包三角粽36个三、填空题四、解答题C ．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D ．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个13.抛物线的准线方程为__________．14. 设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.15. 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 交于点D ，M 是AD 的中点，延长BM 交AC 于点H ，，，则___________，___________.16. 已知函数.(1)若在上单调递增，求a 的取值范围；(2)若存在零点且零点的绝对值小于2，求a 的取值范围17.已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数的最小值；(3)函数，证明：．18. 已知椭圆C ：的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线x ＝4于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究△BMO 与△NMO 的面积之比是否为定值．19. 为加强环境保护，治理空气污染，某环境监测部门对某市空气质量状况进行调研，随机抽查了该市100天空气中的PM 2.5浓度和浓度（单位：）的数据，得到如下表格：PM2.518910710144820(1)分别估计该市一天的空气中PM 2.5浓度在内和浓度在内的概率.(2)根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该市一天的空气中PM 2.5浓度与浓度有关.PM2.5合计合计附：，其中..0.0500.0100.0053.841 6.6357.87920. 已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．21.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．(1)证明：；(2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．。
2017年1月广东省学业水平考试数学试题满分100分一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分） 1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()MN P =（ ）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0} 2.函数lg(1)y x =+的定义域是（ ）A.(,)-∞+∞B. (0,)+∞C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞ 3.设i 为虚数单位,则复数1ii-= （ ） A. 1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i4.命题甲：球的半径为1cm ，命题乙:球的体积为43πcm 3，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 1522y x =+6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）A.28y x = B. 28y x =- C. 28x y = D. 28x y =- 7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),则|+|=（ ）8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P)2-,下列等式不正确的是A. 2sin 3α=-B. 2sin()3απ+= C. cos α= D. tan α=9.下列等式恒成立的是（ ）23x -= (0x ≠) B. 22(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+ D. 31log 3xx =-10.已知数列{}n a 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ）A. 21n + B. 2n C. 21n - D. 12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)x y +++=B. 22(2)(5)18x y +++=C. 22(2)(5)x y -+-=22(2)(5)18x y -+-=13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠) B. 22111x x +≥+ (x R ∈) C. 212x x +≤ (x R ∈) D. 2560x x ++≥ (x R ∈)14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =-,则当[0,)x ∈+∞时, ()f x =（ ）A. 2sin x x + B. 2sin x x -- C. 2sin x x - D. 2sin x x -+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．） 20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC ∆为等腰三角形; (2)若a =2, c=3,求sin C 的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明: PA CD ⊥;(2)求三棱锥P-ABC 的体积; (3) 证明: AE PCD ⊥平面PBCD AE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B 【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C 【解析】对数函数要求真数大于0,∴x+1>0即x>-1.3.D 【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C 【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B 【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.6.A 【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A 【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D 【解析】r===3,sinα=,cosα=,tanα=∴A,B,C正确,D错误,tanα===-.9.D 【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B 【解析】{a n}为公差为2的等差数列,由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C 【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D 【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B 【解析】A选项:错在x可以小于0;B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A 【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C 【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5 【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1 【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V P-ABC =S △ABC ·AP=×AB ·BC ·sin ∠ABC ·AP =××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD ⊥AP ,CD ⊥AC ,AP ⊂平面APC ,AC ⊂平面APC ,AP ∩AC=A ∴CD ⊥平面APC , 又∵AE ⊂平面APC ∴CD ⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得 △ABC 为等边三角形,且AC=2 又∵AP=2且E 为PC 的中点, ∴AE ⊥PC又∵AE ⊥CD ,PC ⊂平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,PC ∩CD=C∴AE ⊥平面PCD.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则MN =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10xx =3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ）A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,a b c ===则C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =则12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 .17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B 解析：{}101MN =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C.4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A.13、B 解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=--- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒=222916255c ab c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17 解析：2s i n ()c o s23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴===sin 3tan cos 322θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯.19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥ DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥ 又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E∴⊥平面又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 BD AC ∴⊥感恩和爱是亲姐妹。
