高一数学复数的乘除运算课后练习题

高中数学选修2－2课后限时训练22 复数代数形式的乘除运算题组1：基础夯实一、选择题1．设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i.答案：C2．在复平面内，复数5i 2－i的对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：5i 2－i ＝5i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i （2＋i ）5＝－1＋2i ，对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限． 答案：B3．若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i解析：因为z ＝1＋2i i＝2－i ，所以z ＝2＋i. 答案：D4．设a 是实数，且1＋a i 1＋i∈R ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2解析：1＋a i 1＋i ＝12(a ＋1)＋12(a －1)i ，所以当a ＝1时，1＋a i 1＋i∈R. 答案：B5．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：复数z ＝11－i ＝1＋i （1－i ）（1＋i ）＝1＋i 1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，所以z 的共轭复数z －＝12－12i ，z －对应的点为⎝⎛⎭⎫12，－12，位于第四象限． 答案：D二、填空题6．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．解析：因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i＝1－i ，所以其实部为1. 答案：1 7．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________． 解析：设z ＝b i(b ∈R)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i＝（b i ＋2）（1＋i ）2＝2－b 2＋2＋b 2i ， 因为z ＋21－i是实数，所以2＋b 2＝0，得b ＝－2，所以z ＝－2i. 答案：－2i8．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________．解析：由(z 1－2)(1＋i)＝1－i 得z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2是实数，所以a ＝4，所以z 2＝4＋2i.答案：4＋2i三、解答题9．计算：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018；(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 009＝ i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1 009＝－1＋i ＋(－i)1 009＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.10．设_ z 的共轭复数是z ，若z ＋_ z ＝4，_ z ·z ＝8，求_z z的值． 解：法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则_z ＝x －y i.由z ＋_ z ＝4，z ·_z ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y i ＋x －y i ＝4，（x ＋y i ）（x －y i ）＝8 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x 2＋y 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±2，所以_z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 法二 因为z ＋_z ＝4，设z ＝2＋b i(b ∈R)，又z ·_z ＝|z |2＝8，所以4＋b 2＝8.所以b 2＝4，所以b ＝±2，所以z ＝2±2i ，z ＝2∓2i.所以_z z＝±i. 题组2：能力提高1．计算（－1＋3i ）3（1＋i ）6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．2i解析：原式＝（－1＋3i ）3[（1＋i ）2]3＋（－2＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝ （－1＋3i ）3（2i ）3＋－2＋4i ＋i ＋25＝1－i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3＋i ＝ i ＋i ＝2i.答案：D2．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，则|z |＝________． 解析：因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝（4＋3i ）（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝25i 25＝i. 则|z |＝1.答案：13．设z 是虚数，w ＝z ＋1z是实数，且－1＜w ＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围． 解：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R 且y ≠0)，可得w ＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i ， 因为w 是实数，且y ≠0，所以y －y x 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1， 所以|z |＝1，此时w ＝2x . 由－1＜w ＜2得－1＜2x ＜2， 所以－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.。

课时作业22 复数代数形式的乘除运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( A )A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析：z ＝1i＝－i. 2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i解析：1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 3．复数1＋2i 2－i＝( A ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i解析：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i 5＝i. 4．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( D )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i解析：方法1：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法2：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. 5．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( D )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：由复数模的定义可得|4＋3i|＝5，从而(3－4i)z ＝5，则z ＝53－4i＝3＋4i 5，即z 的虚部为45.6．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( D )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.7．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i(2＋i )2，则z 1z 2等于( D )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i解析：z 1z 2＝(2－3i )(2＋i )23＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(2＋i )2(3＋2i )(3－2i )＝－13i (3＋4i )13＝4－3i.8．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( A )A.14 B.12 C ．1 D ．2解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i 1＋(3i )2－23i ＝3＋i－2－23i＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝－3＋i 4.∴z ＝－3－i 4，∴z ·z ＝3－i 216＝416＝14，故选A.二、填空题9．已知a ＝－3－i1＋2i ，那么a 4＝－4.解析：∵a ＝－3－i 1＋2i ＝(－3－i)(1－2i )5＝－1＋i ，∴a 4＝[(－1＋i)2]2＝(－2i)2＝－4.10．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝2＋i. 解析：∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝10－5i5＝2－i ，∴z ＝2＋i.11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝1＋2i.解析：(a ＋i)(1＋i)＝b i ，即a ＋a i ＋i ＋i 2＝b i ，(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数相等的充要条件可得a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.三、解答题12．计算：(1)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ；(2)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 解：(1)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i＝(1＋4)＋(－4＋1)i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝(21＋4)＋(3－28)i 25＝25－25i 25＝1－i.(2)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝(－2－3)＋(6－1)i 5 ＝－5＋5i 5＝－1＋i. 13．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝12＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4.——能力提升类——14．对于z ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 000，下列结论成立的是( C ) A ．z 是零 B ．z 是纯虚数C ．z 是正实数D ．z 是负实数 解析：由已知：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝(1＋i )22＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24＝i 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 000＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24]500＝1，同理⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 000＝1.15．已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.。

复数代数形式的乘除运算一、选择题1.设复数z 1=1+2i,z 2=2-i,i 为虚数单位,则z 1z 2= ( )A. 4+3iB. 4-3iC. -3iD. 3i 2.已知复数z=3i -54+7i ,则复数z 的虚部为( )A. 165B. -4765C. 4765D. 4765i3.若复数z 满足z=(1+i)(72+12i)(i 为虚数单位),则z 的模为 ( ) A. √5 B. 5 C. 2√6 D. 25 4.在复平面内,复数i1+i+(1+√3i)2对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.设复数z 的共轭复数是z ,若复数z 1=3+4i,z 2=t+i,且z 1·z 2是实数,则实数t 等于 ( )A .34B .43 C .-43 D .-346.若复数z 满足3+4i i=z1+i ,则z 等于( ) A. 7+i B. 7- i C. 7+7iD. -7+7i7.设复数z 的共轭复数为z -,若z=1-i(i 为虚数单位),则复数z-z+z 2+|z|在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 8.i 是虚数单位,复数1-3i 1-i= .9.定义一种运算如下:[a bcd]=ad-bc.则复数1+i -123i 的共轭复数是 .10.已知复数z 满足(3+4i)z=5i 2020(i 为虚数单位),则|z|= . 11.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为 . 三、解答题 12. (1)设z=(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i,求|z|. (2)已知z ∈C,解方程z ·z --2z -i =1+2√2i .13.已知z ,ω为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω=z2+i ,且|ω|=5√2,求ω.14.已知复数z=√3+i(1-√3i)2,z -是z 的共轭复数,则z ·z -= ( )A. 14 B. 12 C. 1 D. 215.已知复数z=(1-i)2+3(1+i)2-i,ω=z -a i(其中i 是虚数单位).(1)当ω为实数时,求实数a 的值; (2)当0≤a ≤3时,求|ω|的取值范围.答案1.A [解析] z 1z 2=(1+2i)(2-i)=4+3i .2.C [解析] 复数z=3i -54+7i =(3i -5)(4-7i)(4+7i)(4-7i)=165+4765i,则复数z 的虚部为4765. 3.B [解析] ∵z=(1+i)(72+12i)=72-12+(72+12)i =3+4i,∴|z|=√32+42=5.4.B [解析]i1+i+(1+√3i)2=12+12i +(-2+2√3i)=-32+(2√3+12)i, 它在复平面内对应的点(-32,2√3+12)位于第二象限. 5.A [解析] ∵z 2=t+i,∴z 2=t-i,∴z 1·z 2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i .又∵z 1·z 2∈R,∴4t-3=0,∴t=34. 6.A [解析] ∵3+4i i=z 1+i ,∴z=(3+4i)(1+i)ii 2=7+i,故选A .7.D [解析] z -z+z 2+|z|=1+i1-i+(1-i)2+|1-i |=(1+i)2(1-i)(1+i)-2i +√2=√2-i,在复平面内对应的点(√2,-1)位于第四象限. 8.2-i [解析]1-3i1-i=(1-3i)(1+i)(1-i)(1+i)=4-2i 2=2-i .9.-1-3i [解析] [1+i -123i]=3i(1+i)+2=3i -1,所以其共轭复数为-1-3i .10.1 [解析] 由(3+4i)z=5i 2020, 得z=5i 20203+4i =5(i 4)5053+4i =53+4i =5(3-4i)(3+4i)(3-4i)=3-4i 5,所以|z|=√(35)2+(-45)2=1.11.16 [解析] 易知(m+n i)(n-m i)=mn-m 2i +n 2i +mn=2mn+(n 2-m 2)i .若复数(m+n i)(n-m i)为实数,则m 2=n 2,即(m ,n )有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6种情况,所以所求概率为636=16. 12.解:(1)z=1+i -4i+4+2+4i3+4i=7+i 3+4i ,∴|z|=√72+12√32+42=√2.(2)设z=x+y i(x ,y ∈R),由z ·z --2z -i =1+2√2i,可得x 2+y 2-2(x-y i)i =x 2+y 2-2y-2x i =1+2√2i,∴x 2+y 2-2y=1,-2x=2√2,解得x=-√2,y=1, ∴z=-√2+i .13.解:设z=a+b i(a ,b ∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b )i .由题意得a-3b=0,3a ≠-b.因为|ω|=|z2+i |=5√2,所以|z|=√a 2+b 2=5√10,将a=3b 代入,解得a=15,b=5或a=-15,b=-5,故ω=±15+5i 2+i=±(7-i).14.A[解析] 方法一:|z|=|√3+i(1-√3i)2|=√3+i||1-√3i|2=24=12, ∴z ·z -=|z|2=14, 故选A .方法二:z=√3+i (1-√3i)2=√3+i (1-3)-2√3i =√3+i-2(1+√3i)=√3+i)(1√3i)-2(1+√3i)(1-√3i)=2√3-2i -8=-√3+i 4,则z -=-√34-14i,∴z ·z -=(-√34+14i)(-√34-14i)=316+116=14, 故选A .15.解: (1)z=-2i+3+3i 2-i=3+i 2-i =(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=1+i, 所以ω=z -a i =1+i -a i =1+(1-a )i,所以当ω为实数时,1-a=0,即a=1.(2)因为ω=1+(1-a )i,所以|ω|=√12+(1-a)2,又因为0≤a ≤3,所以|ω|min =1,|ω|max =√5, 所以1≤|ω|≤√5.。

7.2.2 复数的乘、除运算课后·训练提升基础巩固1.已知i 为虚数单位,则1i +1i 3+1i 5+1i 7等于( ) B.2i C.2i D.4i∵1i =i,1i 3=i,1i 5=i,1i 7=i, ∴+1i 3+1i 5+1i 7=0.i 是虚数单位,若复数z 满足z i =1+i,则z 2=( )B.2iC.2D.2z i =1+i,∴z=1+i i =1i+1=1i . 2=2i .3.在复平面内,复数z 与2i 2-i 对应的点关于虚轴对称,则复数z=( )A.25+45iB.25−45iC.2+45iD.25−45i 由2i2-i =25+45i,可知该复数在复平面内对应的点为(-25,45),其关于虚轴的对称点为(25,45),故复数z=25+45i .20(1i)20的值是( )B.1 024C.0D.512+i)20(1i)20=[(1+i)2]10[(1i)2]10=(2i)10(2i)10=(2i)10(2i)10=0.5.若a 为实数,且2+ai 1+i =3+i,则a=( ) B.3 C.3 D.4因为2+ai 1+i =(2+ai )(1-i )(1+i )(1-i )=a+22+a -22i =3+i, 所以{a+22=3,a -22=1,解得a=4.z=1+√2i,则z 22z= .z=1+√2i,∴z 22z=z (z =(1+√2i)(1+√2i2)=(1+√2i)(1+√2i)=3. 7.已知2-3iz =i,则复数z= .因为2-3iz =i,所以z=2-3i-i =(23i)i =3+2i .+2i+x+1i =0,则x= .x=a+b i(a ,b ∈R ),则a 2b 2+a+1+(2ab+b 1)i =0,故{a 2-b 2+a +1=0,2ab +b -1=0,解得{a =0,b =1或{1,b =-1. 或x=1i .或1i:(1)(-1+i )(2+i )i 3;(2)(1+2i )2+3(1-i )2+i ;(3)(1+i 1-i)6√2+√3i √3-√2i . (1)(-1+i )(2+i )i 3=-3+i -i =13i . (2)1+2i )2+3(1-i )2+i =-3+4i+3-3i 2+i =i 2+i =i (2-i )5=15+25i .(3)(1+i 1-i )6√2+√3i√3-√2i =[(1+i )22]6+√3-√2i √3-√2i =i 6+i =1+i . 已知z 为z 的共轭复数,若z ·z 3i·z =1+3i,求z.z=a+b i(a ,b ∈R ),则z =ab i .(a+b i)(ab i)3i(ab i)=1+3i,即a 2+b 23b 3a i =1+3i,则有{a 2+b 2-3b =1,-3a =3, 解得{a =-1,b =0或{a =-1,b =3. 故z=1或z=1+3i .能力提升 1.设复数z=1-mi3+2i (m ∈R ),若z=z ,则m=( )A.2B.23C.32D.32z=1-mi3+2i =(1-mi )(3-2i )(3+2i )(3-2i )=3-2m 13−3m+213i,且z=z , ∴=0,解得m=23.2.已知复数z 1=12+√32i,z 2=12+√32i,则z=z 1z 2+i 5在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析因为z 1=12+√32i,z 2=12+√32i,所以z=12+√32i (-12+√32i)+i 5=1+i,所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选A .答案A3.若a 为正实数,i 为虚数单位,|a+i i |=2,则a=( ) B.√3 C.√2 D.1∵a+i i =(a+i)(i)=1a i, ∴|i |=|1a i |=√1+a 2=2,√3或a=√3(舍去).x 的方程x 2+x+p=0的两个虚根为x 1,x 2,且|x 1x 2|=3,则实数p 的值为( )A.1B.1C.52D.52,不妨令x 1=-1+√4p -1i 2,x 2=-1-√4p -1i 2,则|x 1x 2|=√4p -1=3,解得p=52. 5.若复数z=7+ai 2-i 的实部为3,则z 的虚部为 .z=7+ai 2-i =(7+ai )(2+i )(2-i )(2+i )=14-a 5+7+2a 5i . 由题意知14-a5=3,解得a=1.故z=3+i .1.z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z= ,|z|= .+i 或2i √5z=1+i .(1)设ω=z 2+3z 4,求ω;(2)若z 2+az+bz 2-z+1=1i,求实数a ,b 的值.因为z=1+i,所以z =1i,ω=z 2+3z 4=(1+i)2+3(1i)4=1i .(2)因为z=1+i,所以z 2+az+b z 2-z+1=(1+i )2+a (1+i )+b (1+i )2-(1+i )+1 =a+b+(a+2)ii =1i,所以a+b+(a+2)i =(1i)i =1+i,所以{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2. 8.设z 是虚数,w=z+1z 是实数,且1<w<2,求|z|的值及z 的实部的取值范围.z 是虚数,所以可设z=a+b i,a ,b ∈R ,且b ≠0.所以w=z+1z =a+b i +1a+bi =a+a a 2+b 2+(b -b a 2+b 2)i .又w 是实数,b ≠0,所以b b a 2+b 2=0,所以a 2+b 2=1.所以|z|=√a 2+b 2=1,w=2a. 又1<w<2,所以1<2a<2,即12<a<1. 故|z|的值为1,z 的实部的取值范围为(-12,1).。

高中数学复数代数形式的乘除运算测试题（有答案）选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(2019安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝()A.14－312iB.14＋312iC.12＋36iD.12－36i[答案] B[解析]i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i12＝14＋312i，故选B.2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B[解析]考查复数的运算．z＝－2＋i，对应点位于第二象限，选B.3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()B．iC．－iD．－2i[答案] D[解析]本小题主要考查复数的运算．设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，b＋22＝0，b＝－2，z＝－2i，故选D.4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab的值是()A．－15B．－3C．3D．15[答案] B[解析]本题考查复数的概念及其简单运算．1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，a＝－1，b＝3，ab＝－3.5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()B．6C．4D．2[答案] C[解析]考查阅读理解能力和复数的概念与运算．∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4.6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i[答案] A[解析]考查复数的运算．z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i) ＝10－5i5＝2－i.7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则()A．b2＝3a2B．a2＝3b2C．b2＝9a2D．a2＝9b2[解析]本小题主要考查复数的运算．(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A.8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于() A．iB．－iC．1D．i[答案] D[解析]本题主要考查复数的运算．设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi，由z＋z＝4，zz＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i ＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D.9．(2019新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝()A.14B.12C．1D．2[解析]∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i ＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3)＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4，zz－＝|z|2＝14，故选A.10．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件1－1zzi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i[答案] A[解析]由定义得1－1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2iz＝4＋2i1＋i＝3－i.故应选A.二、填空题11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________.[答案] 1[解析]本小题考查复数的除法运算．∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1.因此a＋b＝1.12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.[答案]1＋i[解析]本题主要考查复数的运算．∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i.13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．[答案]二[解析]∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a 的值为________．[答案]83[解析]设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83.三、解答题15．计算：(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2019＋1＋i3－i；(2)1＋in＋i2n＋…＋i2019n(nN)．[解析](1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i ＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.(2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2019＝2019.当n4k(kN)时，原式＝1－i2019n1－in＝1－i2019nin1－in＝1－in1－in＝1. 16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围．[解析]z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)iz＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2z＝(2－a)2＋a222a2－2a－20，1－31＋3故a的取值范围是[1－3，1＋3]．17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)．(1)求b，c的值；(2)试证明1－i也是方程的根．[解析](1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0即b＋c＋(2＋b)i＝0b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0把1－i代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立1－i也是方程的根．18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求.[解析]设z＝a＋bi(a，bR)z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0①|＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，b＝1，将b＝1代入①得a＝3.这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

7.2.2复数的乘、除运算课后训练巩固提升一、A组1.若复数z1=1+i,z2=3i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析:因为z1=1+i,z2=3i,所以z1·z2=(1+i)(3i)=3i2+2i=4+2i.答案:A2.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.1B.1C.2D.3解析:=b+i,∴a+2i=1+b i.∴a=1,b=2,∴a+b=1.答案:B3.复数(i为虚数单位)的虚部是()A i B. C.i D解析:=i,其虚部为,故选D.答案:D4.i为虚数单位,等于()A.0B.2iC.2iD.4i解析:=i,=i,=i,=i,=0.答案:A5.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为()A.3+iB.13iC.3iD.1+3i解析:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根互为共轭虚数,故另一个根为13i.答案:B6.i是虚数单位,复数=.解析:由复数的运算法则,得=4i.答案:4i7.在复数范围内,方程3x2+2x+1=0的根为.解析:因为Δ=224×3×1=8<0,所以方程的根为x=答案:8.设z的共轭复数是,若z+=4,z=8,则=.解析:设z=a+b i(a,b∈R),则=ab i,由z+=4,z=8,得解得即z=2+2i,=22i或z=22i,=2+2i,=i或=i.故=±i.答案:±i9.已知为z的共轭复数,若z3=1+3i,求z.解:设z=a+b i(a,b∈R),则=ab i(a,b∈R),由题意得,(a+b i)(ab i)3i(ab i)=1+3i,即a2+b23b3a i=1+3i,则有解得故z=1或z=1+3i.10.已知1i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,求实数a,b的值.解法一:因为1i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,所以a(1i)2+b(1i)+1=0, 即a+b+1(2a+b)i=0,根据复数相等的定义,得解得a=,b=解法二:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,1+i是方程的另一个根,得解得a=,b=二、B组A.22iB.2+2iC.22iD.2+2i解析:由题意可得,z i==2+i,即z=2+2i.答案:D2是z的共轭复数,若z+=2,(z)i=2(i为虚数单位),则z等于()A.1+iB.1iC.1+iD.1i解析:设z=a+b i(a∈R,b∈R),则=ab i.由z+=2,得2a=2,即a=1.又由(z)i=2,得2b i·i=2,即b=1.故z=1i.答案:D3.已知复数z1=a+2i,z2=a+(a+3)i,且z1z2>0,则实数a的值为()A.0B.0或5C.5D.以上均不对解析:z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a22a6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,因此应满足解得a=5或a=0(舍去).故a=5.答案:C4.(多选题)下面关于复数z=的结论正确的是()A.|z|=B.z2=2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为1解析:A项中,∵z==1i,∴|z|=,故A正确;B项中,z2=(1i)2=2i,故B正确;C项中,=1+i,故C错误;D项中,z的虚部为1,故D正确.答案:ABD5.若=1b i,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则a=,b=.解析:∵a,b∈R,且=1b i,则a=(1b i)(1i)=(1b)(1+b)i,解得答案:2 16.已知复数z=(1)求复数z;(2)若z2+az+b=1i,求实数a,b的值.解:(1)z==1+i.(2)把z=1+i代入z2+az+b=1i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1i,整理得a+b+(2+a)i=1i,得解得7.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+k i=0有实根,求这个实根及实数k的值.解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由复数相等的条件得+kx0+2=2x0+k=0,解得即方程的实根为x=或x=,相应的k的值为k=2或k=2。

例1计算2000)11(ii +-。

解法1：原式.1)(]22[])1)(1()1([2000200020002=-=-=-+-=i i i i i解法2：原式.1)2()2()1()1(1000100020002000=-=+-=i i i i小结：一定要熟记i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-，i i i =-+11，i ii-=+-11等。

例2 复数54)31()22(i i -+等于（ ） A ．i 31+ B ．i 31+- C ．i 31- D ．i 31-- 分析：)1(222i i +=+可利用i i 2)1(2=+i 31-与i 2321±-形式非常接近，可考虑ω，利用ω的性质去简化计算．解：554454)2321(2)1(2)31()22(i i i i +--+=-+62)2321()2321()2(21i i i +-+--= .31)2321)(4(21i i +-=+--⋅-= ∴ 应选B ．注意：要记住1的立方根，1，i 2321+-，i 2321--，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益．例３ 求)21)(13)(3()1)(34(2i i i i i +-+-+-分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模． 解法1：原式54)21)(71(2)21(4)71(2⨯-+-=++-=i i i i i ii i i 20213202920)913(2+-=+=22)20213()2029(+-=222203382016+= 400500=25= 分析2：积或商的模可利用模的性质n z z ⋅1n z z z ⋅⋅⋅= 21，2121z z z z =（02≠z ）进行运算． 解法2：原式ii i i i i 21331342+-⋅+-⋅+-⋅=222222221)1()3(1)3()1(13)4(2+⋅-+⋅+-+⋅+-⋅=25544252=⋅⋅⋅⋅=小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好．解此类问题应选用后种解法．例4 已知1-z z是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 分析：利用Z 为纯虚数0=+⇔Z Z 来解． 解法2：∵ 1-z z是纯虚数， ∴0)1(1=-+-z z z z （且0≠z ，1≠z ） ∴011-z z =-+z ，∴ 0)1()1(=-+-z z z zz z z +=22设yi x z +=（R y x ∈,） 则x y x =+22（0≠y ）∴ y 的对应点的轨迹以（21，0）为圆心，21为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）．例５ 设z 为复数，{}221)1(-=-=z z z M ，那么（ ） A ．=M {纯虚数} B ．=M {实数} C ．{实数}⊂⊂M {复数} D ．=M {虚数} 解：∵ 221)1(-=-z z ，即)1)(1()1(2--=-z z z ， ∴ 0))(1(=--z z z ，故1=z ，或.z z = 所以z 为实数． ∴ 应选B ．小结：在复数集中，要证复数z 为实数，只须证.z z =我们有如下结论．复数z 为实数的充要条件是.z z =例６ 若i z z z f 32)(-+=，i i z f 36)(-=+，试求).(z f - 解：∵ i z z f 32)(-+=，∴ i i z i z i i z i z i z f 3223)()(2)(--++=-+++=+ .22i z z -+= 又知i i z f 36)(-=+， ∴ i i z z 3622-=-+设bi a z +=（R b a ∈,），则bi a z -=，∴ i bi a bi a -=++-6)()(2 即i bi a -=-63， 由复数相等定义⎩⎨⎧-=-=163b a 解得.1,2==b a ∴ i z +=2故i i i i i f z f 463)2()2(2)2()(--=-+-+--=--=-小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好．设yi x z +=（R y x ∈,）的共轭复数为z ，则：x z z 2=+；yi z z 2=-；z z =；22z z z ==；2121z z z z ±=±；2121⋅=；)()(2121z zz z =（02≠z ）；n n z z )(=（N n ∈） 例７ （1）已知1z ，C z ∈2，求证：222122122122z z z z z z +=-++ （2）已知1z ，C z ∈2，且2121z z z -=- 求证：1z ，2z 中至少有一个是1． 证明：（1）221221z z z z -++)()()()(21212121z z z z z z z z --+++=)()(2221211122212111z z z z z z z z z z z z z z z z +-⋅-++++= 2221221122)(2z z z z z z +=+= ∴ 222122122122z z z z z z +=-++（2）∵ 2121z z z -=-，∴2212211z z z -=-)1)(1())((21212121z z z z z z z z --=--22212121222121111z z z z z z z z z z z z z z +--=+--即222122211z z z z ⋅+=+ 变形为 0)1)(1(2221=--z z ，121=z 或122=z ，可得11=z ，或12=z ，∴1z ，2z 中至少有一个是1． 小结：掌握好模的性质 （1）z z = （2）2121z z z z ⋅=⋅，2121z z z z =，n n z z = （3）z z z ⋅=2（4）222121z z z z z z +≤±≤- 对解题大有裨益．。

复数代数形式的乘除运算练习题选择题：z2?2z1. 已知复数z＝1－i，则＝ z?1A．4?2iB．4?2iC．2?4iD．2?4i5A本题主要考查了复数的四则运算,集合的运算，主要考查学生的运算求解能力。

在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

z2?2z直接化简计算 z?1由已知得：z2z?1?2z?1?i22?4i??4?2i,所以选择A选项. 1?i?1?i21?i??2. 复数z?1?iA．2B.D.2；z??3?4i； z?5??1?i?z为纯虚数；其中的真命题的个数为A．12B．2C．3D．45B本题主要考查了复数的四则运算及复数相关概念，复数在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

先求出复数z,利用复数相关概念求解?3?i3?i??1?i2?4i?由题意，得z??==?3?4i， 1?i??1?i1?i??2?222∴z??5；z23?4i7?24i；z??3?4i；z??3?4i不是纯2虚数；所以只有和为真命题；所以选择B选项.5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若?2，则z在复平面内对应点的坐标是为A.B.C.D.5A本题主要考查了复数四则运算,共轭复数，在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

直接化简?2求出?1?i，然后利用复数的几何意义求解由已知得：z?2?z?是,,所以选择A选项.填空题6.?1?i,∴z?1?i,∴z在复平面内对应点的坐标1?i2016=__________________31?i本题主要考查了复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．同时涉及分数指数幂的运算性质.本复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值?20161008?5i?i10082?2016?22i???i1008?i4?252?1? ??7. 已知复数z??1?i ，z是z的共轭复数，则z·z＝________.31本题主要考查了复数的四则运算和共轭复数概念，实质上是分母实数化的运算．本复数的运算题目一般比较容易，往往会在计算时因失误而失分。

人教A版必修第二册《7.2复数的四则运算》练习卷（3）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若复数Z满足iz = 2,其中，为虚数单位，则Z等于（）A. -2iB. 2iC. -2D. 22 .若z = 4 + 3L则厂\Zi=()A. 1B. -1S+m D- 5-513.已知冬尹= l + i（i为虚数单位），则复数z =（）A. 1 + iB. 1-iC. —1 + iD. -1-i4 .已知Z,是虚数单位,若复数Z满足z=el + l,则Z的共辄复数5为（）A 1+iA-VB.—2L T+i. 2D.—25 .Z•为虚数单位，7+号+东+5等于（）A. 0B. 2iC. —21D. 4i6.若复数Z满足右= 1 + 2i,则z =()A. l + 3iB. 3 + iC. 3 + 3iD. —1 + 3i7 .已知复数Z1 = 3—,bi, z2 = l-2i,若兰是实数，则实数b的值为（）A. 6B. -6 C wJ 3D*8 .设复数Z满足片=1-Z3,则|z| = ()A. 1B. V2C. V3D. 29 .设复数Z = *，则.1-1z・z =()A. 1 + iB. 1-iC. 1D. 2—\填空题（本大题共6小题，共30.0分）1 0已知复数z满足|z|—z =2 — 4i,贝!Jz =11.计算：—=12.计算：（老尸=——13.设a,b E R f，为虚数单位，若(Q +步)• i = 2 — 5i,则沥的值为.14.已知复数z = 1 + 2i(i为虚数单位)，贝U|z| =.15.定义运算| : 3 = ad-be,则满足条件| ；；：| = 4 + 2i的复数z为三、解答题(本大题共3小题，共36.0分)16.计算：(1)(1 一0(1 + 02 _(5 _ 70 + ?■^一4，；「2) (T+VIi)3 _ (2 + i)2()(l+i)6 4-3i *17.设复数Zi = 2 + Q?(其中。