高二数学《二元一次不等式组》知识点讲解

二元一次不等式组的解法与应用方法在数学中，不等式是一种比较两个量的大小关系的数学表达式。

而一次不等式则代表了两个一次函数的大小关系。

当我们将两个一次不等式置于同一个坐标系中时，就形成了二元一次不等式组。

解决二元一次不等式组的问题有助于我们理解不等式的性质，并且在实际生活和实际问题中有广泛的应用。

一、二元一次不等式组的解法解二元一次不等式组的关键步骤是先将其转化为线性表示形式，然后通过图形或代入法求解。

1. 转化为线性表示形式将二元一次不等式组转化为线性表示形式是为了将问题可视化。

例如，对于一元一次不等式组:a₁x + b₁y ≤ c₁,a₂x + b₂y ≥ c₂,我们可以通过引入一个新的变量z，将其转化为以下形式:a₁x + b₁y + z = c₁,a₂x + b₂y - z = c₂.这样，我们就可以在坐标系中绘制两个平面，并找到不等式组的解。

2. 通过图形求解绘制二元一次不等式组所对应的平面后，我们可以通过图形的交集或包含关系来找到其解。

交集部分表示满足两个不等式条件的解，而包含关系则表示同时满足两个不等式中任何一个条件的解。

3. 通过代入法求解代入法指的是将一个不等式中的变量表达式替换为另一个不等式中的变量表达式。

通过代入法，我们可以将一个变量的取值范围代入另一个不等式中，进而求解二元一次不等式组的解。

二、二元一次不等式组的应用方法解决二元一次不等式组不仅仅是让我们理解数学概念，还能在实际生活和实际问题中应用。

以下是一些常见的二元一次不等式组应用方法：1. 经济决策二元一次不等式组可以用来描述生产成本、销售额、利润等经济指标之间的关系。

通过解决二元一次不等式组，我们可以找到最优的经济决策方案，帮助企业提高效益。

2. 几何问题二元一次不等式组在几何问题中也有应用。

例如，当我们通过绘制二元一次不等式组对应的平面，可以确定两条直线之间的位置关系，进而解决直角三角形的问题、寻找垂直平分线等几何难题。

二元一次不等式组的解法与应用一、引言二元一次不等式组是数学中常见的问题之一，对于解不等式组以及应用于实际问题中具有重要的意义。

本文将介绍二元一次不等式组的解法，并探讨其在实际问题中的应用。

二、二元一次不等式组的解法要解决二元一次不等式组，我们可以通过图像法、代数法和线性规划法等多种方法。

接下来将详细介绍这些方法。

1. 图像法图像法是一种直观的解决二元一次不等式组的方法。

我们可以将每个不等式都转化为一个直线，并找出其解集的交集区域。

通过观察这个交集区域，我们可以得到不等式组的解。

2. 代数法代数法是一种基于代数运算的解决方法。

首先，我们需要将二元一次不等式组进行标准化，即将所有不等式移项并合并同类项。

然后，我们可以通过消元法或代入法来求解。

3. 线性规划法线性规划法是一种用于求解有约束条件的优化问题的方法，也可以应用于解决二元一次不等式组。

我们可以将不等式组转化为线性规划模型，并利用线性规划的理论和算法求解。

三、二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用。

以下是几个常见的例子。

1. 经济学中的应用在经济学中，我们经常会遇到一些涉及资源分配和约束条件的问题。

通过建立二元一次不等式组模型，可以帮助我们解决这些问题。

比如，某企业要通过生产两种产品来最大化利润，但存在资源限制和市场需求的约束，我们可以将这些条件转化为不等式组，并求解最优解。

2. 几何学中的应用几何学中的一些问题也可以通过二元一次不等式组来解决。

比如，某个区域内有一定数量的点，我们想要找到一个点，使得它到这些点的总距离最小。

我们可以将该问题转化为不等式组，并利用解不等式组的方法求解最优解。

3. 生活中的实际问题除了学科领域，二元一次不等式组也经常出现在我们的日常生活中。

比如，我们需要在一定的时间和金钱限制下，找到合适的方式安排旅行行程，或者在购物时选择最优的价格和质量。

通过建立二元一次不等式组模型，我们可以帮助解决这些实际问题。

解二元一次不等式组在学习数学中，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，有着重要的地位。

不等式组可以描述物理实际中非常复杂的问题，对于研究者来说，要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。

本文将介绍二元一次不等式组的概念、解法、应用等内容，以便更好地了解和掌握不等式组的相关知识。

首先，介绍一下什么是二元一次不等式组。

不等式组对于研究者来说是一个很有意义的概念，它指涉及两个未知量的不等式集合，一般表示为：a≤x≤b。

其中，a和b是实数，x是未知量。

另外，不等式组的解法还有几种，具体如下：（1）初等变换法：利用变量替换、交换变量、合并和分解等初等变换来解决不等式组。

（2）图解法：通过把不等式画在坐标系上，来求解不等式组的解。

（3）化为等式法：把不等式组化为一组等式，然后再解出未知量。

（4）解析法：通过解析，利用组合方法，将不等式组转换为方程组，得出未知量的解。

接下来，了解一下不等式组在实际应用中的意义。

不等式组在实际应用中有着重要的意义，比如：在社会科学领域，不等式组可以描述社会的关系；在经济学领域，不等式组可以用来分析宏观经济；在工程技术领域，不等式组可以用来求解工程模型；在控制理论领域，不等式组可以用来分析系统的稳定性等等。

总之，不等式组在实际应用中有着重要的意义，因此，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题。

最后，就是本文的结论。

根据以上介绍，不等式组是一种重要的概念，它既可以用初等变换法、图解法、化为等式法、解析法等方法解，也可以在实际应用中描述物理实际中的非常复杂的问题。

研究者要正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。

研究者可以利用不等式组把物理实际中复杂的问题进行描述和分析，从而更好地了解和掌握实际问题。

综上所述，二元一次不等式组是学习数学的基础知识，在实际应用中有着广泛的用途，正确地解决不等式组是一项重要的任务，并且还有助于专业人士掌握和分析实际问题，以解决实际问题。

解二元一次不等式组二元一次不等式组是数学中经常被使用的重要的概念，它也是初中和高中数学书籍中广泛出现的概念之一。

它的定义是：一个不等式，可以由两未知数的组合而成，在不等式的左右两边都有一个真实数，它们通常具有非零的系数，且可以是正也可以是负数，此时此刻它就成为了一个二元一次不等式组。

二元一次不等式组最主要的作用就是它可以表示一类问题的范围，可以用它来提供一种可能的结果。

例如，一个问题可能是：某个数字的值必须位于2和8之间，那么可以用二元一次不等式来表达，可以写成：2≤x≤8，在这里x代表这个数字，而2和8分别是可满足范围的最小值和最大值。

解决二元一次不等式组一般要求对式子进行化简，这样才能找出它的实际意义。

主要有以下几步：第一步：将式子统一到一边，也就是说要把变量移到另一边，使得右边是一个绝对值；第二步：用因式分解的方法把项数变少，减轻计算的难度；第三步：将之前的不等式变换为等式，然后求解变量的值；第四步：将解析出来的变量值带回到原式，判断再给出解的取值范围。

在解决二元一次不等式组时，还要注意某些特殊情况，例如变量是一个非线性函数，或者式子中出现未知量的情况。

这些情况下，一般需要画出函数图像来分析，或者采用矩阵方法来求解。

除此之外，还需要注意一些其他的概念，比如说，它所描述的可能性范围。

一个二元一次不等式可以有三种情况，即等式，小于等于，或者大于等于。

大于等于，表示可以取大于式子右边的值；小于等于表示可以取小于式子右边的值；等式，表示只可以取等于式子右边的值。

总而言之，解决二元一次不等式组是一个重要的技能，不仅可以提供有效的结果，而且还可以从侧面反映出一个复杂的问题的本质及范围，可谓是数学领域一个举足轻重的概念。

希望本文可以为大家介绍二元一次不等式组的相关知识，让大家能够更好的理解并解决二元一次不等式组。

解二元一次不等式组二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式组成的方程组。

解决这类方程组需要找到满足所有不等式条件的变量取值范围。

本文将介绍解二元一次不等式组的方法和步骤。

一、二元一次不等式组的定义二元一次不等式组由两个形如ax + by ≥ c的不等式组成。

其中，a、b、c为常数，x、y为变量。

为了更好地理解，我们可以将其表示为一维坐标系中的两个直线所围成的区域。

二、解二元一次不等式组的方法解决二元一次不等式组的方法与解一元一次不等式类似。

我们可以通过图像法、代入法或消元法等方式来得到解。

1. 图像法首先，我们可以将每个不等式转化为直线，并将其表示在一维坐标系中。

然后，找出两个直线的交点，并观察交点所在的区域。

该区域即为满足所有不等式的解集。

2. 代入法代入法是指将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一个一元一次不等式。

然后，通过求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

最后，将求得的范围代入原始不等式组，检验是否满足所有条件。

3. 消元法消元法是指通过一系列运算，将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

然后，根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

最后，将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

三、解二元一次不等式组的步骤解二元一次不等式组的步骤如下：1. 将二元一次不等式组的每个不等式转化为标准形式，即ax + by ≥ c。

2. 根据需要选择合适的方法，如图像法、代入法或消元法。

3. 如果采用图像法，将每个不等式表示为直线，并在一维坐标系中画出。

找出交点所在的区域，即为解集。

4. 如果采用代入法，将一个不等式的解代入另一个不等式中，得到一元一次不等式。

求解一元一次不等式，得到变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

5. 如果采用消元法，通过一系列运算将二元一次不等式组化简为只含有一个变量的不等式。

根据一元一次不等式的解的性质，得到每个变量的取值范围。

将范围代入原始不等式组，检验是否满足。

不等式方程组二元一次不等式方程组二元一次是数学中的一个重要概念，它涉及到两个未知数的不等式关系。

在解决实际问题中，经常会遇到需要求解这类方程组的情况。

本文将从理论和实践两个方面介绍不等式方程组二元一次的相关知识。

一、理论基础不等式方程组二元一次的一般形式可以表示为：ax + by ≤ cdx + ey ≥ f其中a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。

要解决这个方程组，我们首先需要理解不等式的基本性质。

不等式有加法、减法、乘法和除法运算的性质，这些性质可以帮助我们简化不等式方程组的求解过程。

我们需要了解不等式方程组的解集表示方法。

当方程组存在解时，解集可以用不等式或区间表示。

例如，解集可以表示为{x | x ≥ a}或[x, +∞)，其中a为实数。

二、实际应用不等式方程组二元一次在实际问题中具有广泛应用。

下面以两个实际问题为例，介绍如何利用不等式方程组求解。

1. 应用于生活假设小明每天骑自行车上学，他的骑行速度在15km/h到30km/h之间。

学校距离他家的距离为5km到10km之间。

问他骑车上学所需的最长时间和最短时间分别是多少？解：设小明骑车上学所需的时间为t小时，骑行速度为v km/h，学校距离他家的距离为 d km。

根据题意，我们可以列出不等式方程组：15 ≤ v ≤ 305 ≤ d ≤ 10t = d/v根据以上不等式方程组，我们可以求解出小明骑车上学所需的最长时间和最短时间。

2. 应用于经济假设某工厂生产A、B两种产品，每单位A产品的利润为3元，每单位B产品的利润为5元。

某一时期内，工厂的总利润不得少于100元，并且A、B两种产品的总产量不得超过20单位。

问该工厂如何安排产量，使得总利润最大化？解：设A产品的产量为x单位，B产品的产量为y单位。

根据题意，我们可以列出不等式方程组：3x + 5y ≥ 100x + y ≤ 20根据以上不等式方程组，我们可以求解出A、B两种产品的最优产量，进而得到总利润的最大值。

§3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案　C解析　可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－1,6) B．(－6,1)C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案　A解析　由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )答案　B解析　不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)Error!或不等式组(Ⅱ)Error!分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.4．不等式组Error!表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案　C解析　画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．5．在平面直角坐标系中，不等式组Error!(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．3＋2B ．－3＋222C ．－5 D ．1答案　D解析　区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )．S △ABC ＝|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.126．若不等式组Error!所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为面积相等的两部分，则k 43的值是( )A. B. C. D.73374334答案　A解析　不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋过定点.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋能平分平面43(0，43)43区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M .(12，52)当y ＝kx ＋过点时，＝＋，43(12，52)52k 243所以k ＝.73二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案　Error!解析　如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)．直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0，直线BC 的方程为x －y ＋2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0，∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为Error!.8．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个．答案　6解析　由题意点(x ，y )的坐标应满足Error!，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．答案　－1<a ≤0解析　根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则Error!.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则Error!，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.10．若A 为不等式组Error!表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．答案　74解析　如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)，E ，C (－2,0)．(－12，32)S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－＝.1474三、解答题11．利用平面区域求不等式组Error!的整数解．解　先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤，又∵y ≥2，327∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤，267∴整点有：(4,2)(4,3)．把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤，207∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤，与y ≥2不符．87∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组Error!表示的平面区域的面积是多少？解　P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－，－)，k 2m 2∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为Error!，它表示的区域如图所示，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－，)，∴S △1212＝×1×＝.故面积为.12121414能力提升13．设不等式组Error!表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)答案　A解析　作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．由Error!得交点A (2,9)．对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.14．若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案　0<a ≤1或a ≥43解析不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A 时表示的区域是△AOB ，此时a ＝；(23，23)43当a >时，表示区域是△AOB ；43当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1；当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥时表示4343的平面区域为三角形．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．。