高考数学三轮考前保温特训：倒数第6天.docx

倒数第3天 附加题选做部分[保温特训]1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证： (1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC . 证明 (1)连接AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EF A ＝90°， 则A ，D ，E ，F 四点共圆．所以∠AED ＝∠AFD . (2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， 所以AB AE ＝AC AF ， 即AB ·AF ＝AE ·AC ，所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2. 2．如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长． 解 在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°，因为l 为过点C 的切线，所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°. 又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.连接OE ，在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ，所以AE ＝AO ＝12AB ＝2.3．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2的特征值及对应的特征向量． 解 特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3 由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎨⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；同理，当λ2＝3时，由⎩⎨⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3； 属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值． 解 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)． A 、B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以⎩⎨⎧(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.解得a ＝2，b ＝3.5．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C 的位置关系．解 消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得⊙C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(x －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和⊙C 相交．6．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t (t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 解 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ.又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程， 得y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)， 半径r ＝1，则MC ＝5，所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1，即MN 的最大值为5＋1. 7．解不等式|2x －4|＜4－|x |.解 当x ＞2时，原不等式同解于2x －4＜4－x ，解得x ＜83，所以2＜x ＜83； 当0≤x ≤2时，原不等式同解于4－2x ＜4－x ，解得x ＞0，所以0＜x ≤2； 当x ＜0时，原不等式同解于4－2x ＜4＋x ，解得x ＞0，所以x ∈∅.综上所述，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜83. 8．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明 因为m ＞0，所以1＋m ＞0， 所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ，即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .[知识排查]1．圆的切线性质、相交弦定理、切割线定理是处理直线与圆问题的重要定理，要灵活应用．2．当题目中涉及圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，通过它构建垂直关系．3．作图和证明要求语言规范，推理要有逻辑性．4．矩阵的乘法满足结合律、加法与乘法的分配律，但不满足交换律和消去律． 5．已知图形变换前后的位置，求相应变换矩阵；求可逆矩阵的逆矩阵的通用方法是待定系数法．6．要注意矩阵变换的顺序不可颠倒．7．在求矩阵的特征值和特征向量时要结合定义．按步骤规范求解．8．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法 加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．9．化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数角，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标)．10．极坐标与直角坐标互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x 轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．11．不等式证明的基本方法有：比较法、综合法与分析法、反证法与放缩法、数学归纳法．12．解绝对值不等式主要通过变形去掉绝对值符号转化为一元一次或一元二次不等式(组)进行求解．13．应用绝对值不等式性质以及柯西定理求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．。

保温特训(六)　解析几何 基础回扣训练(限时40分钟) 1．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于( )． A．1 B．2 C．2 D．2 2．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为( )． A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 3．以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是( )． A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x 4．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )． A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0 5．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )． A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )．A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 7．以双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线( )． A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 8．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为( )． A. B.C.或D.或7 9．已知圆C：(x－1)2＋y2＝8，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为12的两段圆弧，则直线l的方程为____________． 10．以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________． 11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|＝3||，则此双曲线的渐近线方程为______________． 12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F向其一条渐近线作垂线，垂足为M，已知MFO＝30°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________． 13．已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·0，b＋≥2 ＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取“＝”．] 2．D　[曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆，当－a2，即a>2时，曲线C上所有的点均在第二象限内．] 3．D　[由x2＋y2－2x＋6y＋9＝0可知圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为x2＝－2py或y2＝2px(p>0)，将点(1，－3)分别代入得y＝－3x2或y2＝9x.] 4．D　[抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r＝，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.] 5．D　[圆心C(3,0)，kPC＝－，则kMN＝2，MN的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.] 6．C　[如图，|BC|＝2|BF|，由抛物线的定义可知BCD＝30°，|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝6.即F为AC的中点，p＝|FF′|＝|EA|＝，故抛物线方程为y2＝3x.]7．C　[左焦点F为(－c,0)，渐近线方程为y＝x即bx－ay＝0，圆心到直线的距离为＝b，所以相切．] 8．C　[实数4，m,9构成一个等比数列，则m2＝36，即m＝±6；当m＝6时，曲线方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，根据a＝，b＝1，c＝，则e＝＝＝； 当m＝－6时，曲线方程y2－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，根据a＝1，b＝，c＝则e＝＝＝.选C.] 9．解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，直线l将圆C分成弧长之比为12的两段，则劣弧的度数为120°，因此圆心到直线的距离为，即＝，解得k＝±1，所以直线l的方程为x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0. 答案　x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0 10．解析　由已知，抛物线的焦点坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则所求圆的圆心为(5,0)，利用圆心到直线3x－4y＝0的距离为半径r，则有r＝＝3，故圆的方程为(x－5)2＋y2＝9. 答案　(x－5)2＋y2＝9 11．解析　如图，由双曲线的性质可推得|2|＝b，则||＝3b，在MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－， 又c2＝a2＋b2， 可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x. 答案　y＝±x 12．解析　由已知得点F的坐标为(c,0)(c＝)，其中一条渐近线方程为bx－ay＝0，则|MF|＝＝b，由MFO＝30°可得＝＝cos 30°＝，所以＝，所以e＝＝2. 答案　2 13．解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)． (2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 设l的方程为x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)>0，于是 又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， ·<0?(x1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. 又x＝，于是不等式等价于 ·＋y1y2－＋1<0＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0， 由式，不等式等价于m2－6m＋1<4t2， 对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2<m<3＋2. 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．。

考前保温5 考前第6天一、填空题1．若复数z 满足i 2i z =+ (i 为虚数单位)，则z = ． 答案：12i -． 【解析】212iz i i+==- 2．若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 ．答案：可知周期为4，2ππ42ω∴==． 【解析】本题考查函数()()sin f x A x ωϕ=+图象与性质，考查学生的数形结合的解题能力. 3．函数1log 2)(5.0-=x x f x 的零点个数是________． 答案：2【解析】令01log 2)(5.0=-=x x f x，可得xx )21(log 5.0=.设xx h x x g )21()(,log )(5.0==，在同一坐标系下分别画出函数)(),(x h x g 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此，函数)(x f 有2个零点．4．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ． 答案：16【解析】1111136A BDA A ABD ABD V V A A S --∆==⋅⋅=． 5．已知函数x x x x f ln 3421)(2-+-=在[]1,+t t 上不是单调函数，则t 的取值范围是________． 答案：10<<t 或32<<t .【解析】由题意知xx x x x x x x x f )3)(1(3434)(2'---=-+-=-+-=，由0)('=x f 得函数)(x f 的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间()1,+t t 内，函数)(x f 在区间[]1,+t t 上就不是单调函数，由11+<<t t 或13+<<t t ，得10<<t 或32<<t .6. 已知向量,a b r r 满足||1,(3,1)a b ==-r r ，那么||a b -r r的最大值为 ．答案：3【解析】数形结合，当a r 旋转到与b r 相反方向时，,a b r r 终点连线的长度最大值为3，即||a b -r r的最大值为3．7．ABC ∆内角A 使得方程22sin()106x A x π+-+=有解，则角A = ．答案：120o【解析】：24sin ()406A π∆=--≥，所以2sin ()16A π-≥，sin()16A π-≤-或sin()16A π-≥，由于A 是ABC ∆内角，62A ππ-=，23A π=．8.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是_____________. 答案：34【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1. ∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点; ∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤. ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离2421k k -+∴24221k k -≤+,解得403k ≤≤.二、解答题9．已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,0πβα<<<.(1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值. 解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=-b a 即()22222=+-=-b b a a b a ,又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ,1sin cos ||2222=+==ββb b∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-=∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65== 10．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证： （1）D C AD 1⊥； （2）1//A B 平面1ADC ．解：（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥，因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ， 又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥． (2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ． 因为四边形11ACC A 为矩形， 所以E 为C A 1的中点， 又因为D 为BC 的中点， 所以1//ED A B .又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ．11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和1(1)(2)2n n n S a a =-+,*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n n b a a +=-,求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .解:(1)当1n =时,1121(1)(2)2S a a =-+,即11a =-或12a =, 因为10a >,所以12a =当2n ≥时,1(1)(2)2n n n S a a =-+,1111(1)(2)2n n n S a a ---=-+,两式相减得:11()(1)0n n n n a a a a --+--=,CBAABCDECBAABCD又因为0n a ＞,所以10n n a a -+＞,所以11n n a a --=, 所以1n a n =+; (2)212233445562321212221n n n n n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a ---+=-+-+-++-+2422()n a a a =+++…,又242n a a a ，，，…是首项为3,公差为2的等差数列, 所以2242(321)22n n n a a a n n +++++==+…, 故2224n T n n =+12.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. ⑴求函数()f x 的解析式;⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值; ⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.解:⑴()2323f x ax bx '=+-根据题意,得()()12,10,f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩ 所以()33f x x x =-⑵令()0f x '=,即2330x -=.得1x =±.x2-()2,1--1-()1,1-1 ()1,2 2 ()f x '+ - + ()f x2-增极大值减极小值增2因为()12f -=,()12f =-,所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =- 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥.所以c 的最小值为4⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y .则30003y x x =-.因为()20033f x x '=-,所以切线的斜率为2033x - 则2033x -=300032x x mx ---,即32002660x x m -++=.因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.所以函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点. 则()2612g x x x '=-.令()0g x '=,则0x =或2x =.x (),0-∞0 ()0,22 ()2,+∞()g x ' + -+ ()g x增极大值减极小值增则()()0020g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ,即6020m m +>⎧⎨-+<⎩,解得62m -<<。

倒数第5天 解析几何[保温特训] (时间：45分钟)1．抛物线y ＝8x 2的焦点坐标是( )．A ．(2，0)B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0 解析 抛物线y ＝8x 2的标准方程为：x 2＝18y ，则2p ＝18，所以p 2＝132，又抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，132. 答案 C2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 把点(1，2)代入四个选项，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴，排除C. 答案 A3．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( )．A.17B.15C.174 D.154解析 依题意知b a ＝4，则e ＝ca＝1＋b 2a2＝17.答案 A4．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(x －b )2＝2相切”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 据已知直线与圆相切的充要条件为：|a －b ＋2|2＝2⇒|a －b ＋2|＝2⇒a ＝b 或a－b ＝－4，故a ＝b 是直线与圆相切的充分不必要条件． 答案 A5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )．A.72B.32 C.3 D ．4 解析 F 1(－3，0)，|PF 1|＝1－－324＝12， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72.答案 A6．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )．A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析 由|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案 C7．若直线过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )．A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0. 答案 D8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )．A ．5x 2－4y25＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ． 5x 2－5y24＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，∴c ＝1，又e ＝5，a ＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，所以该双曲线方程为5x 2－5y24＝1.答案 D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1得x 20＝1， 所以b a＝2，e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.答案 C10．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )．A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋()y －12＝1C ．(x －1)2＋()y －32＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析 依题意设圆心C (a ，1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1. 答案 B11．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )．A. 3B. 6 C ．2 D ．3解析 y 2＝4x 的准线x ＝－1，焦点(1，0)，A 点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－1，1－a 2a ，△FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，△FAB 为等腰直角三角形，由几何关系得1－a2a＝2，解得a 2＝15，c 2＝a 2＋b 2＝65，从而求得e ＝ 6.答案 B12．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ，3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C.()－∞，－22∪(22，＋∞) D.()－∞，－2∪()2，＋∞解析 直线AB 方程为y ＝4t x －1，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，直线与抛物线没有公共点，故Δ＝4t2－2<0，解得t >2或t <－ 2.答案 D13．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则实数a ＝________.解析 由a (a －1)－2×1＝0得：a ＝－1，或a ＝2，验证，当a ＝2时两直线重合，当a ＝－1时两直线平行． 答案 －114．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析 依题意知直线l 过定点P (1，2)，圆心C (2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ·2－11－2＝－1，得k ＝1.答案 115．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2ay －6＝0，x 2＋y 2＝4，得2ay ＝2，即y ＝1a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋()32＝22，解得a ＝1. 答案 116．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________． 解析 不妨设|F 1F 2|＝1.∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°，∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1，∴e ＝ca＝2－ 3. 答案 2－ 3[知识排查]1．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况． 2．判断两直线的位置关系时，注意系数等于零时的讨论．3．直线的斜率公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式记住了吗？4．直线和圆的位置关系利用什么方法判定(圆心到直线的距离与圆的半径的比较)？两圆的位置关系如何判定？5．截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？6．记得圆锥曲线方程中的a ，b ，c ，p ，c a的意义吗？弦长公式记熟了吗？ 7．离心率的大小与曲线的形状有何关系？等轴双曲线的离心率是多少？ 8．在椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点，三点连线所组成的直角三角形． 9．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦．10．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式Δ≥0的限制．(求交点、弦长、中点、斜率、对称，存在性问题都在Δ>0 下进行)。

2014高考数学（理科）三轮考前体系通关：倒数第1天高考数学应试技巧经过紧张有序的高中数学总复习，高考即将来临，有人认为高考数学的成败已成定局，其实不然，因为高考数学成绩不仅仅取决于你现有的数学水平，还取决于你的高考临场发挥，所以我们要重视高考数学应试的策略和技巧，这样有利于我们能够“正常发挥”或者“超常发挥”．一、考前各种准备1．工具准备：签字笔、铅笔、橡皮、角尺、圆规、手表、身份证、准考证等．(注意：高考作图时要用铅笔作图，等确认之后也可以用签字笔描)2．知识准备：公式、图表强化记忆，查漏补缺3．生理准备：保持充足的睡眠、调整自己的生物钟、进行适度的文体活动4．心理准备：有自信心，有恰当合理的目标二、临场应试策略1．科学分配考试时间试卷发下来以后，首先按要求填涂好姓名、准考证号等栏目，完成以上工作以后，估计还未到考试时间，可先把试卷快速浏览一遍，对试题的内容、难易有一个大概的了解，做到心中有数，考试开始铃声一响，马上开始答题．2．合理安排答题顺序解题的顺序对考试成绩影响很大，试想考生如果先做最难的综合题，万一做不出，白白浪费了时间，还会对后面的考试产生不良的影响，考试时最好按照以下的顺序：(1)从前到后．高考数学试卷前易后难，前面填空题信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，解答题前三、四道也不太难，从前往后做，先把基本分拿到手，就能心里踏实，稳操胜券．(2)先易后难．先做简单题，再做综合题，遇到难题时，一时不会做，做一个记号，先跳过去，做完其它题再来解决它，但要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，影响情绪．(3)先熟后生．先做那些知识比较熟悉、题型结构比较熟悉、解题思路比较熟悉的题目，这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、达到拿下中高档题目的目的．3．争取一个良好开端良好的开端是成功的一半，从考试心理角度来说，这确实很有道理．拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，在通览一遍整套试题后，稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的感觉，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高．4．控制好解题节奏考场上不能一味地图快，题意未清，条件未全，便急于解答，容易失误．应该有快有慢，审题要慢，解答要快．题目中的一些关键字可以用笔圈一下，以提醒自己注意．审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据．而思路一旦形成，则可尽量快速解答．5．确保运算准确，立足一次成功在规定的时间内要完成所有题，时间很紧张，不允许做大量细致的检验工作，所以要尽量准确运算，关键步骤，宁慢勿快，稳扎稳打，不为追求速度而丢掉准确度，力争一次成功．实现一次成功的一个有效措施是做完一道题后如果觉得没有把握随即检查一下(例如可逆代检验、估算检验、赋值检验、极端检验、多法检验)．做完当即检查，思路还在，对题目的条件、要求等依然很熟悉，检查起来可以省时间．6．追求规范书写，力争既对又全卷面是考试评分的唯一依据，这就要求不但会而且要对、不但对而且要全，不但全而且要规范．会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范，处处扣分．要处理好“会做”与“得分”的关系．要用心揣摩阅卷时的得分点步骤，得分点步骤不能漏掉，一定要写好，写清楚．例如立体几何论证题，很多因条件不全被扣分．7．面对个别难题，争取部分得分高考成绩是录取的重要依据，相差一分就有可能失去录取资格．解答题多呈现为“一题多问”、难度递进式的“梯度题”，这种题入口宽，入手易，看似难做，实际上也有可得分之处，所以面对“难题”不要胆怯，不要简单放弃，应冷静思考，争取部分得分．那么面对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法．①缺步解答．对难题，啃不动时，明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，能写几步就写几步，每写一步就可能得到一定分数．②跳步解答．解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途，如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节，若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；若题目有两问，第二问做不上，可将第一问作为“已知”，完成第二问，这样也可能得分．8．把握“最后10分钟”同学们一般都有这样的感觉，前面10分钟往往是得分的黄金时间，而最后的10分钟往往很难添分加彩，究其原因有两个，一是最后10分钟往往既要复查纠错，又想攻克难题，结果顾此失彼，两头落空；二是考试的最后时刻就象长跑的最后时刻，体力消耗大，思维有所迟钝．那么“最后10分钟”应该做什么呢？可以用来检查前面有疑问没把握的试题或者用来做前面未能解答的试题，但是一定要先解决把握性大一点、相对容易一点、得分可能性大的试题．总之，我们的应试策略是：(1)难易分明，决不耗时；(2)慎于审题，决不懊悔；(3)必求规范，决不失分；(4)细心运算，决不犯错；(5)提防陷阱，决不上当；(6)愿慢求对，决不出错；(7)思路遇阻，决不急躁；(8)奋力拼杀，决不落伍．。

倒数第 4天概率、统计、算法与复数[ 保温特训 ]221．复数 z ＝1＋i ，则 z ＋z ＝________.分析 2＋(1＋i) 2＝ 2 1－i ＋ (1＋2i ＋i 2 ＝ － ＋ ＝ ＋1＋i 1＋i 1－i) 1 i 2i 1 i.答案 1＋i2＋3i2．复数 z ＝3－2i ＝________.2＋3i2＋ 3i 3＋ 2i13i分析法一z ＝＝＝3－2i3－ 2i 3＋ 2i 13＝ i .2＋3i2＋ 3i i 2＋3i i法二z ＝3－2i ＝ 3－ 2i i ＝ 2＋3i ＝i. 答案i3． i 是虚数单位，若复数z ＝(m 2 －1)＋ (m －1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．分析m 2－ 1＝ 0，由题可得解得 m ＝－ 1.m －1≠0，答案m ＝－ 14．设复数 z 知足 z(2－3i) ＝6＋4i ，则 z ＝ ________.分析z(2－ 3i) ＝6＋4i ，z ＝ 6＋4i ＝ 6＋ 4i 2＋ 3i ＝ 26i＝2i.2－3i － ＋ 3i 132 3i 2 答案2i5．箱中有号码分别为 1,2,3,4,5 的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为 3 的倍数的概率是 ________．分析 从五张卡片中任取两张共有 5×4＝10 种取法，此中号码之和为 3 的倍2 数有 1,2；1,5；2,4；4,5，共 4 种取法，由此可得两张号码之和为3 的倍数的42概率 P ＝10＝5.答案25x2y 26．若实数 m ，n ∈{ － 1,1,2,3}，且 m ≠n ，则方程 m ＋ n ＝ 1 表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为 ________．分析 依据焦点在 x 轴上的双曲线的特点确立基本领件的个数，代入古典概型计算公式计算即可．由于 m ≠ n ，因此 (m ，n)共有 4×3＝12 种，此中焦点在 x 轴上的双曲线即 m ＞ 0， n ＜0，有 (1，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)共 3 种，31故所求概率为 P ＝ 12＝4.答案1 47．某企业生产三种型号 A 、B 、C 的轿车，产量分别为 1 200 辆、6 000 辆、2 000辆．为查验该企业的产质量量， 现用分层抽样的方法抽取46 辆进行查验， 则型号 A 的轿车应抽取 ________辆．1 200分析 依据分层抽样，型号 A 的轿车应抽取 46×1 200＋ 6 000＋2 000＝6(辆 )． 答案68．甲、乙两队进行排球决赛，此刻的情况是甲队只需再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率同样，则甲队获取冠军的概 率为 ________．分析由于切合条件的有 “甲第一局就赢 ”和 “乙赢一局后甲再赢一局 ”由111 1 于两队获胜概率同样， 即为 2，则第一种的概率为 2，第二种状况的概率为 2×21 3 ＝ 4，由加法原理得结果为 4.答案349．如图，是某班一次比赛成绩的频数散布直方图，利用组中值可预计其均匀分为 ______．分析均匀分为：10×2＋30× 4＋50×6＋70× 10＋90×8＝62.2＋4＋ 6＋ 10＋8答案6210．对某种电子元件使用寿命追踪检查，所得样本频次散布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100～300 小时的电子元件的数目为400，则寿命在500～600 小时的电子元件的数目为 ________．分析寿命在 100～300 小时的电子元件的频次是 1 ＋3×100＝1，2 000 2 00051故样本容量是 400÷＝2 000，进而寿命在 500～600 小时的电子元件的数目为532 000×2 000×100 ＝300.答案30011．如图是一个程序框图，则输出结果为________．3分析由框图可知： S＝0，k＝ 1；S＝0＋2－ 1， k＝ 2；S＝( 2－ 1)＋( 3－2)＝3－ 1， k＝ 3； S＝ ( 3－1)＋( 4－3)＝4－1，k＝4； ,S＝ 8－1，k＝8；S＝ 9－1，k＝9；S＝ 10－1，k＝10；S＝ 11－1，k＝ 11，知足条件，停止循环，输出 S＝ 11－1.答案S＝11－ 112．如下图的程序框图运转的结果是________．分析由程序框图的算法原理可得：A＝0，i ＝1；1，i ＝2；A＝ 1 ＋ 1，i＝ 3； ,A＝1×21×2 2×3111A＝1×2＋2×3＋,＋2 011×2 012，i ＝2 012；A＝1＋1＋,＋1＋1，i＝ 2 013，不知足循环条件，停止循环，111 1 12 012输出 A ＝1×2＋2×3＋,＋2 011×2 012＋2 012× 2 013＝ 1－ 2 013＝2 013.2 012答案2 01313．履行如下图的程序框图，则输出的a 的值为 ________．分析 由程序框图可得， 第 1 次循环： i ＝ 1，a ＝ 3；第 2 次循环： i ＝ 2，a ＝5；第 3 次循环： i ＝3， a ＝ 7 a ＝ 73，此时退出循环，输出 3.7答案 314．运转如下图的流程图，则输出的结果S 是________．分析变量 i 的值分别取 1,2,3,4，,时，变量 S 的值挨次为1，－1,2，1，, ，2 2不难发现变量 S 的值是以 3 为周期在变化， 当 i 的取值为 2 010 时，S ＝ 2，而后 i 变成 2 011 退出循环．答案 2[ 知识排查 ]1．利用古典概型公式求随机事件的概率时，假如基本领件的个数比较少，可用列举法将基本领件一一列出．2．较为简单的问题可直接用古典概型公式计算，较为复杂的问题，可转变成几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；也可采纳间接解法，先求事件 A 的对峙事件 A 的概率，再用 P(A)＝ 1－ P( A )求事件 A 概率．3．几何概型的两个特点： (1)试验的结果有无穷多； (2)每个结果的出现是等可能的．解决几何概型的概率问题，重点是要结构出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何胸怀来求随机事件的概率．4．用样本的频次散布预计整体散布，能够分红两种情况议论：(1)当整体的个体取不一样数值极少时，其频次散布表由所取样本的不一样数值及相应的频次来表示，其几何表示就是相应的条形图； (2)当整体的个体取不一样值许多时，相应的直方图是用图形的面积的大小来表示在各个区间取值的频次．5．关于框图应注意以下几个问题：①不一样的框图表示不一样的作用，各框图的作用应注意差别，不行混杂；②流程线的方向指向不可以遗漏；③判断框是依据不一样的条件，选择一条且仅有一条路径履行下去，不要搞错；④解决一个问题的算法从开始到结束是完好的，其流程图的表示也要完好．6．解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的观点，把复数问题转变成实数问题，这是解决复数问题的最常用策略．7．要注意复数是虚数、复数是纯虚数的条件，注意共轭复数、复数模的几何意义的应用．。

高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为
（ ） A ．76
B ．80
C ．86
D ．92（汇编江西文）
2． [文科]若n n n a n 212111+⋅⋅⋅++++=
（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）. (A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 2
21121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+
，可以猜想结论为( ) .
(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈。

倒数第4天 计数原理、概率与统计[保温特训] (时间：40分钟)1．用0、1、2、3组成个位数字不是1且没有重复数字的四位数共有( )．A ．10个B ．12个C ．14个D ．16个解析 分两类：一类是0放个位，有A 33＝6个；另一类0放十位或百位，有A 12A 12A 22＝8个，故共有6＋8＝14个． 答案 C2．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中各项系数的和为( )．A ．32B ．－32C ．0D ．1 解析 令x ＝1可得各项系数的和为0. 答案 C3．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)＝( )．A ．0.68B ．0.32C ．0.16D ．0.84 解析 P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝0.16. 答案 C4．如图是根据某校10名高一学生的身高(单位：cm)数据画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则这10名学生身高数据的中位数是( )．A ．161B ．162C ．163D ．164 解析 中位数为161＋1632＝162.答案 B5．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h 的汽车数量为( )．A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆解析 时速超过60 km/h 的汽车数量为200×(0.010＋0.028)×10＝76(辆)． 答案 B6．某公司有普通职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的答卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )．A.14B.15C.120D.1100解析 由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员中抽8人，高级管理人员中抽2人，由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为120. 答案 C7．若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0和12之间的概率为( )．A.13B.2πC.12D.23解析 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型的概率P ＝π6＋π6π＝13.答案 A8．某班班会准备从含甲、乙的7人中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )．A ．720种B ．520种C ．600种D ．360种解析 分两类：第一类，甲、乙两人只有一人参加，则不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；第二类：甲、乙同时参加，则不同的发言顺序有C 22C 25A 22A 23种．共有：C 12C 35A 44＋C 22C 25A 22A 23＝600(种)． 答案 C9.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )．A ．360B ．180C ．90D ．45解析 二项式系数为C rn ，只有第六项最大，即C 5n 最大，则n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝，由5－52r ＝0得r ＝2，故常数项为T 3＝C 21022＝180.答案 B10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加一个兴趣小组的概率为( )．A.13B.12C.23D.34解析 甲、乙两位同学参加3个兴趣小组的种数有：3×3＝9种，其中甲、乙两位同学同时参加一个兴趣小组的种数有：3种，由古典概型得所求概率为：P ＝39＝13.答案 A11．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机地往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是( )．A.4π2 B.4π3 C.2π2 D.2π3 解析 结合图形可得，D 区域面积＝2⎠⎛0π sin x d x ＝2()－cos x ⎪⎪⎪π0＝4，由几何概型可得概率为4π·π2＝4π3.答案 B12．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌是7种，则n ＝________.解析 由题可知，四种商品的总数为30＋10＋35＋25＝100，而在35种婴幼儿奶粉的品牌中抽取了7种，所以抽取的概率为735＝15，所以需要抽取的样本容量为100×15＝20，故样本容量为20. 答案 2013．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有________种．解析 排法种数有：A 22A 22A 33＝24. 答案 24 14．在⎝⎛⎭⎫3x －23x 11 的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则⎠⎛01 x α d x＝________.解析 T r ＋1＝C r11·(3x )11－r·⎝⎛⎭⎫－23x r ＝C r 11·311－r .(－2)r .，r ＝0，1， (11)其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为212＝16.答案 6715．辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45、23、23，他们考核所得的等次相互独立． (1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．(3)求X 的数学期望．解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P (E )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－15×13×13＝4445.(2)由题意，得X 的可能取值是32，2，52，3.因为P (X ＝32)＝P (A B C )＝145，P (X ＝2)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝845， P (X ＝52)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝2045＝49， P (X ＝3)＝P (ABC )＝1645，所以X 的分布列为：(3)由(2)知E (X )＝2×45＋2×45＋2×9＋3×45＝90＝30.[知识排查]1．选用两个计数原理的关键是什么？(弄清分类与分步的区别)2．排列与组合的区别和联系你清楚吗？解决排列组合综合题可别忘了“合理分类、先选后排”啊！3．排列应用题的解决策略可有直接法和间接法；方法常用列表法、树状图法、优先排列法、捆绑法、插空法、隔板法；对附加条件的组合应用题，你对“含”与“不含”，“至多”与“至少”型题一定要注意分类或从反面入手啊！4．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问题单排法，定位问题优先法，定序问题倍缩法，多元问题分类法，选取问题先选后排法，至多至少问题间接法．5．求二项展开式特定项一般要用什么？(通项公式)求解二项展开式系数问题的常用方法是什么？6．二项式系数与项的系数的区别你清楚了吗？求系数问题可常用赋值法啊！求二项展开式中系数最大的项(或系数绝对值)最大的项你清楚方法了吗？可千万要注意解法技巧变形啊！7．二项式(a ＋b)n展开式的各项的二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和、偶数项的二项式系数之和，奇次(偶次)项的二项式系数之和你能区别开吗？它们所有项的系数之和呢？8．四种概率公式你记熟了吗？是否注意到了每种概率公式应用的前提？9．概率应用题你有写“答语”习惯吗？你解答的步骤完整吗？10．数学期望和方差的计算公式记住了吗？二项分布的期望和方差公式又是什么？11．二项展开式的通项公式，n次独立重复试验中事件A发生k次的概率与二项分布的分布列三者易记混．通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r(它是第r＋1项而不是第r项)．事件A发生k次的概率：P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k.分布列：P(X＝k)＝C k n p k·q n－k＝b，其中k＝0，1，2，3，…，n，且0<p<1，p＋q＝1. 12．常用的抽样方法有哪些？它们分别适应什么特点的总体的抽样？13．绘制频率分布直方图的步骤记熟了吗？图中小长方形的高、宽、面积分别表示什么？。

2024年高考数学保温卷一（6月2日）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足=1+i，则z的共轭复数z在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合M={x x=2k+1,k∈Z}，N={x x=3k−1,k∈Z}，则M∩N=()A．{x x=2k+1,k∈Z}B．{x x=3k−1,k∈Z}C．{x x=6k+1,k∈Z}D．{x x=6k−1,k∈Z}3．已知不共线的平面向量满足则正数λ=()A．1B．2C．3D．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号X i =s+εi(i=1,2,3,…,m)，其中干扰信号εi为服从正态分布N(0,σ2)的随机变量，令累积信号X i，则Y服从正态分布定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如X1的信噪比为则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（）倍3A .·m B．m C．m2D．m25．已知函数=cos，则“θ=”是“f为奇函数且f(x−θ)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+t与圆C：x2+y2−2x+4y=0相交于点A，B，若∠ACB=，则t=()A.−或−B．－1或－6C.−或−D．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为()A．12B．14C．16D．188．已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(,+∞)B．(,+∞)C．(2,+∞)D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A．若样本数据x1，x2，…，x20的样本方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x20+1的方差为7B．经验回归方程为时，变量x和y负相关C．对于随机事件A与B，P（A）＞0，P（B）＞0，若P（A|B）＝P（A），则事件A与B相互独立D．若X～B（7，），则P（X＝k）取最大值时k＝410．已知函数f(x)=(x+1)e x，则下列结论正确的是()A．f(x)在区间(−2,+∞)上单调递增B．f(x)的最小值为−C．方程f(x)=2的解有2个D．导函数f′(x)的极值点为－311．设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P（x0，y0）为C上一点且在第一象限，I（x1，y1）为△F1PF2的内心，且△F1PF2内切圆半径为1，则（）A．|IP|＝B．C．x1＝2D．三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12．若展开式中的常数项为－160，则实数a=.13．已知公差为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，且S2=−2(b3+b4)2，S6=6(b1+b2)(b5+b6)，则{S n}的最小项是第______项.14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将△ABC绕点O逆时针旋转角然后沿垂直于平面ABC的方向向上平移至△A′B′C′，使得两三角形所在平面的距离为6，连接AA′，AC′，BA′，BB′，CB′，CC′，得到八面体ABCA′B′C′，则该八面体体积的取值范围为.四、解答题：本题共3小题（已删除16、17题），共47分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列.（1）若a，b，c是等比数列，求tan B；（2）若B=，求cos(A−C).18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n <N ）坦克的编号为X 1，X 2，…，X n ，记M =max {X 1,X 2,…,X n }，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ．甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此得故可用−1作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y <M 的无意义结果．例如，当N =5，n =3时，若X 1=1，X 2=2，X 3=4，则M =4，此时Y =2.（1）当N =5，n =3时，求条件概率P (Y <M M =5)；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当N =8，n =4时，求随机变量M 的分布列和均值E (M )；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现E (M )与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断E (M )与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷{an }，{bn}，定义无穷数列akb n+1−k，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{c n}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{a n}*{b n}={b n}*{a n}.（1）若a n=n，b n=2n，{a n}*{b n}={c n}，求c1，c2，c3，c4；（2）对i∈N+，定义T i{a n}如下：①当i=1时，T i{a n}={a n}；②当i≥2时，T i{a n}为满足通项的数列{d n}，即将{a n}的每一项向后平移i−1项，前i−1项都取为0．试找到数列,使得（3）若a n=n，{a n}*{b n}={c n}，证明：当n≥3时，b n=c n−2c n−1+c n−2.保温卷一参考答案（6月3日）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678D D B B A C B A第8题解析：设点A(x,y)，则可取，故1=得,解得b>a，故离心率.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011BC ABD ABD 第11题解析：如图所示，设切点为A，B，C，对于A，由椭圆方程知：a＝5，b＝4，c＝3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝10，易知|AF1|+|BF2|＝|F1F2|＝6，所以|PA|＝|PB|＝2，所以，故A正确；由题意：＝++＝＝，又因为＝＝，解得：，又因为P（x0，y0）为C上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而|OF1|＝3，所以，故C错误；从而．＝，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12131412(87注：第14题区间开闭写错不扣分.第13题解析：0=S2+S6=2.S4⇒S4=0，故{S n}的最小项是第2项.第14题解析：V ABCA′B′C′=V A′−ABC+V C−A′B′C′+V A′B′−BC+V A′C′−AC四、解答题：本题共53小题，共47分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（1）由b2=ac得sin2B=sin A sin C，又由cos(A+C)=cos A cos C−sin A sin B=−得cos A cos C=−,264|22,|(3」注：第二问直接利用积化和差公式sin A sin C=写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分.18．（17分）（1）M=5时，最大编号为5，另2辆坦克编号有C24种可能，故，由Y<M，有2X−1<5⇔X<3，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2，仅1种可能（2）分布列如下：M45678P故.（3）直观上可判断E(M)<N，19．（17分）（1）c1=2，c2=8，c3=22，c4=52.（2）对一般的i∈N+，t（3）法1：记{b n}的前n项和为S n，由卷积运算的交换律有b k=c n，故kb k=c n…①,因此S n+1−kb k−b n+1=c n+1…②,②-①得S n+1=c n+1−c n，故当n≥3时，b n=S n−S n−1=(c n−c n−1)−(c n−1−c n−2)=c n−2c n−1+c n−2.法2：记{b n}的前n项和为S n，常数列T n=1(∀n∈N+)，注意易证卷积关于数列加法有分配律，将(Ⅰ)中所有数列对应项相加，得{T n }*{b n }={S n }，注意 (Ⅱ)注意是对所有i ∈N +对应项相加所得的数列是对所有i ∈N +对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将(Ⅱ)中所有数列对应项相加，得c n ={a n }*{b n }的通项即为S i ，故当n ≥3时，b n =S n −S n 1==c n −2c n 1+c n 2.注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{z n }={x n }+{y n }，其中z n =x n +y n .容易验证卷积运算满足结合律：({x n}*{y n})*{ωn}={x n }*({y n }*{ωn })，数列加法关于卷积满足分配律：({x n}+{y n})*{ωn}={x n }*{ωn }+{y n }*{ωn }.因此{a n }*{b n }=|(({t n j )}*Σi 1{t n (i )},)|*{b n }=|(({t nj )}*Σi 1({t n (i )}*{b n }),)|=Σi 1S i .……(Ⅰ)。