等差数列与等比数列--李双云

专题6.4 等差、等比数列与数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

知识点一 求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 知识点二 常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .考点一 分组转化求和 【典例1】(2019·天津高考)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N .（i ）求数列(){}221nna c-的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n =∈∑N . 【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， 故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32n n b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221nna c -的通项公式为()221941nnn a c-=⨯-.(ii )()22111nni iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n nn⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑()()2114143252914n n n n---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【方法技巧】分组法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比或等差数列，可采用分组法求和．【变式1】 (河南省焦作一中2019届模拟)已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)设{a n }的公差为d ， 因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 设{b n －a n }的公比为q ， 则b 4－a 4＝(b 1－a 1)q 3， 因为b 1＝4，b 4＝88， 所以q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－74－1＝27，解得q ＝3，所以b n －a n ＝(4－1)×3n －1＝3n . (2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1，所以S n ＝(3＋32＋33＋…＋3n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝3（1－3n ）1－3＋n （1＋2n －1）2＝32(3n －1)＋n 2＝3n ＋12＋n 2－32.考点二 错位相减求和 【典例2】（2019·天津高考）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n na c a c a c n N ++⋅⋅⋅+∈.【答案】（I ）3n a n=，3nn b =；（II ）22(21)369()2n n n n N +*-++∈【解析】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n=+-=，1333n nn b -=⨯=，所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n n b =；（II ）112222n na c a c a c ++⋅⋅⋅+135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅123(1)[36](6312318363)2n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⨯⋅+⋅21236(13233)n n n ⋅=+⨯⨯+⨯++⨯⋅⋅，记 1213233nn T n ⋅=⨯+⨯++⨯⋅⋅ ① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯⋅⋅⋅ ②② － ①得，231233333n n n T n +⋅=-----+⨯⋅⋅113(13)(21)333132n n n n n ++--+=-+⨯=-，所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯⋅⋅⋅22(21)369()2n n n n N +*-++=∈.【方法技巧】(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．同时要注意等比数列的项数是多少．【变式2】（2017·山东高考）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)·b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n 。

等差数列与等比数列的求和在数学中，等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。

它们被广泛应用于各个领域，包括数学、物理、金融等。

在本文中，我们将探讨等差数列与等比数列的定义、性质以及它们的求和公式。

一、等差数列的定义与求和公式等差数列是指具有相同公差（公差指相邻两项之间的差值）的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的一般形式为：a，a+d，a+2d，...，a+(n-1)d。

对于等差数列，我们可以利用求和公式来计算前n项的和。

其求和公式如下：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和。

例如，对于等差数列1，3，5，7，9，前5项的和可以通过求和公式计算：S5 = (5/2)(2×1 + (5-1)×2) = 5×(2+8) = 50二、等比数列的定义与求和公式等比数列是指具有相同公比（公比指相邻两项之间的比值）的数列。

通常用字母a表示首项，r表示公比，n表示项数，则等比数列的一般形式为：a，ar，ar²，...，ar^(n-1)。

对于等比数列，我们可以利用求和公式来计算前n项的和。

其求和公式如下：Sn = (a(r^n - 1))/(r - 1)其中，Sn表示前n项的和。

例如，对于等比数列1，2，4，8，16，前5项的和可以通过求和公式计算：S5 = (1(2^5 - 1))/(2 - 1) = (1(32 - 1))/1 = 31三、等差数列与等比数列的应用举例等差数列和等比数列在实际应用中具有广泛的应用。

以下是一些常见的例子：1. 财务规划：在财务规划中，等差数列和等比数列可以用来计算投资回报、贷款利息等。

通过了解数列的规律，我们可以更好地进行资金管理。

2. 物理学：在物理学中，等差数列和等比数列可以用于描述运动的加速度、速度等变化情况。

它们可以帮助我们分析并预测运动的轨迹和变化趋势。

3. 统计学：在统计学中，等差数列和等比数列可以用于分析数据集中的趋势和规律。

数列的等比数列与等差数列求和数列是数学中一个非常重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

数列可以分为不同类型，其中最常见的两种类型是等比数列和等差数列。

在求解等比数列和等差数列的和时，我们可以通过一些简单的公式来得出结果。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d对于等差数列的求和，我们可以利用求和公式来计算。

设等差数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n - 1)对于等比数列的求和，我们也可以利用求和公式来计算。

设等比数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)三、等差数列与等比数列的应用举例现假设有一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。

根据等差数列的求和公式可得：a₁ = 2, d = 3, n = 10Sₙ = 10(2 + 2 + 9 * 3) / 2 = 110再举一个等比数列的例子，假设有一个等比数列的首项为4，公比为2，求该数列的前5项和。

根据等比数列的求和公式可得：a₁ = 4, q = 2, n = 5Sₙ = 4(1 - 2⁵) / (1 - 2) = 124通过以上两个例子，我们可以看出等差数列求和和等比数列求和的公式能够方便快捷地计算出数列的前n项和。

这在数学问题的求解和实际应用中起到了重要的作用。

总结：数列的等差数列与等差数列求和，是数学中的重要概念。

等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列，等比数列则是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

通过求和公式，我们可以方便地求解出等差数列和等比数列的前n项和。

数列等差数列与等比数列的通项求和与应用数列是数学中一种常见的数值排列形式，而等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、通项公式、求和公式以及它们在实际应用中的意义和用途。

一、等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值保持恒定的数列。

数列中的公差是指相邻两项之间的差值大小。

设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，n为等差数列中的项数。

等差数列在实际应用中有广泛的用途。

例如，在财务分析中，如果一笔款项每年增加固定金额，那么这个增长可以用等差数列来表示；在物理学中，如果物体每秒的位置增加相同的距离，那么这个距离可以用等差数列来描述。

二、等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值保持恒定的数列。

数列中的公比是指相邻两项之间的比值大小。

设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，n为等比数列中的项数。

等比数列也在实际应用中有广泛的用途。

例如，在金融领域中，如果一笔投资每年按照相同的比例增长，那么这个增长可以用等比数列来表示；在生物学中，如果细菌数量每一代都以相同的比例增加，那么这个增长可以用等比数列来描述。

三、应用举例1. 等差数列的应用假设小明每天存放100元到银行，第1天存放100元，第2天存放200元，以此类推。

问第30天存放了多少钱？解答：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1=100，d=100，n=30，代入公式计算得到第30天存放了3000元。

2. 等比数列的应用假设小李投资了1万元到股票市场，每年收益率为5%。

问第10年后他的总资产是多少？解答：根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1=10000，r=1.05，n=10，代入公式计算得到第10年后他的总资产为16288.9467元。

提升训练）【清单01】等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．【清单02】等差数列的通项公式首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-.【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法(1)定义法1n n a a d +-=（或者12)n n a a dn --=≥（）(d 是常数){}n a ⇔是等差数列．(2)等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥(n N *∈){}n a ⇔是等差数列．(3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数){}n a ⇔是等差数列．（n a 可以看做关于n 的一次函数）(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数){}n a ⇔是等差数列．(n S 可以看做关于n 的二次函数，但是不含常数项C ）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法【清单04】等差数列的性质①()n m a a n m d=+-②若n m p q +=+，则n m p q a a a a +=+（特别的，当2n m p +=，有2n m p a a a +=），然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解λC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【知识点】等差数列的单调性、探求命题为真的充要条件【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若0d >，则10n n a a d +-=>，即1n n a a +>，此时，数列{}n a 为单调递增数列，即“0d >”⇒“数列{}n a 为单调递增数列”；若等差数列{}n a 为单调递增数列，则10n n d a a +=->，即“0d >”⇐“数列{}n a 为单调递增数列”.因此，“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列{}n a 是等比数列，公比为q ，“1q >”是“数列{}n a 是严格增数列”的（）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要【答案】D【知识点】既不充分也不必要条件、等比数列的单调性【分析】根据“1q >”与“数列{}n a 是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件.【详解】当1q >时，取12a =-，则21122a a q q a ==-<-=，显然{}n a 不是严格增数列，所以“1q >”不能推出“数列{}n a 是严格增数列”；当数列{}n a 是严格增数列时，设11n n a a q -=，当0q <时，{}n a 是摆动数列，不符合要求，所以0q >，若10a >，则11111n n n n a a a q a q q -+>⇔>⇔>，若10a <，则111101n n n n a a a q a q q -+>⇔>⇔<<，所以“数列{}n a 是严格增数列”不能推出“1q >”；综上所述，“1q >”是“数列{}n a 是严格增数列”的既非充分也非必要条件，故选：D.【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列{}n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则()110a q -<是“数列{}n a 递减”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要或T，数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成项为S的最大项为项和分别为【知识点】等比数列片段和性质及应用【分析】用等比数列的前n 项和的性质：当公比1q ≠-时10S ，1200S S -，3020S S -也是等比数列，即可求解.【详解】因为301013S S =，1030140S S +=，所以1010S =，30130S =，则等比数列{}n a 的公比1q ≠-，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -也是等比数列，所以10S ，1200S S -，3020S S -也是等比数列，所以22010103020()()S S S S S -=-，即2220010)10130)((S S -=-，解得2040S =或2030S =-，又101020(1)0q S S =+>，所以2040S =.故答案为：40.。

高中数学知识点总结等差数列与等比数列的求和性质等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是高中数学中常见的数列类型，它们在数学和实际问题的解决中起到了重要的作用。

本文将对等差数列和等比数列的求和性质进行总结和讨论。

一、等差数列的求和性质等差数列是指一个数列中每个相邻的两个数之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d等差数列的前n项和（即等差数列的求和）可以通过以下公式来计算：Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2其中，Sₙ表示前n项和。

例如，若我们有等差数列：2，4，6，8，10，则首项a₁为2，公差d为2。

若我们要计算前5项的和，则利用公式可以得到：S₅ = (2 + 10) × 5/2 = 12 × 5/2 = 30所以，该等差数列的前5项和为30。

二、等比数列的求和性质等比数列是指一个数列中每个相邻的两个数之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则该数列的通项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)等比数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sₙ表示前n项和。

例如，若我们有等比数列：3，6，12，24，48，则首项a₁为3，公比r为2。

若我们要计算前4项的和，则利用公式可以得到：S₄ = 3 × (1 - 2⁴)/(1 - 2) = 3 × (1 - 16)/(-1) = 3 × (-15) = -45所以，该等比数列的前4项和为-45。

以上就是等差数列和等比数列的求和性质的总结。

这些性质在解决数学问题时非常有用，可以帮助我们计算数列的和，从而更好地理解和应用这些数列。

通过掌握这些概念和公式，我们能够更加高效地解决与等差数列和等比数列相关的问题。